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7. 生活应用。
（1）一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨1级或2级。登上第10级台阶有多少种不同的走法？
提示:登上第1级台阶有(
（2）15颗糖，如果每天至少吃3颗，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
提示：
（1）一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨1级或2级。登上第10级台阶有多少种不同的走法？
提示:登上第1级台阶有(
1
)种走法，登上第2级台阶有(2
)种走法，登上第3级台阶有(3
)种走法，登上第4级台阶有(5
)种走法……（2）15颗糖，如果每天至少吃3颗，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
提示：
答案
(1) 用递推法。要到第10级只能从第9级或第8级直接登上。于是先求出登到第9级或第8级各有多少种方式，再把这两个数相加即可。照这样递推，共有 34+55=89(种)
(2) 如果有 3 颗糖、4 颗糖或者 5 颗糖，都只有 1 种吃法；如果有 6 颗糖，就有 2 种吃法；如果有 7 颗糖，就有 3 种吃法；如果有 8 颗糖，就有 4 种吃法；如果有 9 颗糖，就有 6 种吃法。这样的数列和斐波那契数列不同的是，每次都是跳过中间的那个数，再把第 1,3 两个数相加，等于第 4 个数。照这样递推，15 颗糖一共有 60 种吃法
(2) 如果有 3 颗糖、4 颗糖或者 5 颗糖，都只有 1 种吃法；如果有 6 颗糖，就有 2 种吃法；如果有 7 颗糖，就有 3 种吃法；如果有 8 颗糖，就有 4 种吃法；如果有 9 颗糖，就有 6 种吃法。这样的数列和斐波那契数列不同的是，每次都是跳过中间的那个数，再把第 1,3 两个数相加，等于第 4 个数。照这样递推，15 颗糖一共有 60 种吃法
解析
【分析】
（1）解决台阶走法问题可以从低级台阶的走法推导规律：要登上第n级台阶，最后一步只能是从第n-1级跨1级，或者从第n-2级跨2级，因此第n级的走法总数等于第n-1级和第n-2级的走法数之和，我们从第1级开始逐步递推到第10级即可。
（2）解决吃糖问题可以参考表格给出的已知吃法找规律：糖数≤5时都只有1种吃法，从6颗糖开始，数量为n颗时的吃法数等于n-1颗和n-3颗的吃法数之和，按照这个规律逐步递推到15颗糖就能得到结果。
【解析】
（1）依次计算各级台阶的走法数：
登上第1级台阶：1种走法（直接跨1级）
登上第2级台阶：2种走法（①分两次跨1级；②直接跨2级）
登上第3级台阶：$1+2=3$种
登上第4级台阶：$2+3=5$种
登上第5级台阶：$3+5=8$种
登上第6级台阶：$5+8=13$种
登上第7级台阶：$8+13=21$种
登上第8级台阶：$13+21=34$种
登上第9级台阶：$21+34=55$种
登上第10级台阶：$34+55=89$种
（2）设n颗糖的吃法数为$a_n$，已知$a_3=1$，$a_4=1$，$a_5=1$，递推规律为$a_n=a_{n-1}+a_{n-3}$：
$a_6=a_5+a_3=1+1=2$
$a_7=a_6+a_4=2+1=3$
$a_8=a_7+a_5=3+1=4$
$a_9=a_8+a_6=4+2=6$
$a_{10}=a_9+a_7=6+3=9$
$a_{11}=a_{10}+a_8=9+4=13$
$a_{12}=a_{11}+a_9=13+6=19$
$a_{13}=a_{12}+a_{10}=19+9=28$
$a_{14}=a_{13}+a_{11}=28+13=41$
$a_{15}=a_{14}+a_{12}=41+19=60$
【答案】
（1）89种；（2）60种
【知识点】
递推找规律，斐波那契数列应用，计数方法
【点评】
这两道题都需要从简单情况入手推导递推规律，避免了复杂的枚举过程，核心是找准前后数量之间的运算关系，这类方法可以广泛应用在同类的计数类问题中。
【难度系数】
0.6
（1）解决台阶走法问题可以从低级台阶的走法推导规律：要登上第n级台阶，最后一步只能是从第n-1级跨1级，或者从第n-2级跨2级，因此第n级的走法总数等于第n-1级和第n-2级的走法数之和，我们从第1级开始逐步递推到第10级即可。
（2）解决吃糖问题可以参考表格给出的已知吃法找规律：糖数≤5时都只有1种吃法，从6颗糖开始，数量为n颗时的吃法数等于n-1颗和n-3颗的吃法数之和，按照这个规律逐步递推到15颗糖就能得到结果。
【解析】
（1）依次计算各级台阶的走法数：
登上第1级台阶：1种走法（直接跨1级）
登上第2级台阶：2种走法（①分两次跨1级；②直接跨2级）
登上第3级台阶：$1+2=3$种
登上第4级台阶：$2+3=5$种
登上第5级台阶：$3+5=8$种
登上第6级台阶：$5+8=13$种
登上第7级台阶：$8+13=21$种
登上第8级台阶：$13+21=34$种
登上第9级台阶：$21+34=55$种
登上第10级台阶：$34+55=89$种
（2）设n颗糖的吃法数为$a_n$，已知$a_3=1$，$a_4=1$，$a_5=1$，递推规律为$a_n=a_{n-1}+a_{n-3}$：
$a_6=a_5+a_3=1+1=2$
$a_7=a_6+a_4=2+1=3$
$a_8=a_7+a_5=3+1=4$
$a_9=a_8+a_6=4+2=6$
$a_{10}=a_9+a_7=6+3=9$
$a_{11}=a_{10}+a_8=9+4=13$
$a_{12}=a_{11}+a_9=13+6=19$
$a_{13}=a_{12}+a_{10}=19+9=28$
$a_{14}=a_{13}+a_{11}=28+13=41$
$a_{15}=a_{14}+a_{12}=41+19=60$
【答案】
（1）89种；（2）60种
【知识点】
递推找规律，斐波那契数列应用，计数方法
【点评】
这两道题都需要从简单情况入手推导递推规律，避免了复杂的枚举过程，核心是找准前后数量之间的运算关系，这类方法可以广泛应用在同类的计数类问题中。
【难度系数】
0.6
