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7 我们称使$\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{a+b}{2+3}$成立的一对数$a,b$为“相伴数对”，记为$(a,b)$.例如：当$a=b=0$时，等式成立，记$(0,0)$为“相伴数对”.若$(a,3)$是“相伴数对”，则$a$的值为________.
答案
7. $-\frac{4}{3}$
解析
【分析】
首先明确“相伴数对”的定义：若$(a,b)$是相伴数对，则满足等式$\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{a+b}{2+3}$。已知$(a,3)$是相伴数对，即$b=3$，将$b=3$代入定义式即可得到关于$a$的一元一次方程，再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求出$a$的值。
【解析】
∵$(a,3)$是“相伴数对”，根据定义可得：
$\frac{a}{2}+\frac{3}{3}=\frac{a+3}{2+3}$
化简得：$\frac{a}{2}+1=\frac{a+3}{5}$
去分母，两边同时乘10（2和5的最小公倍数），得：
$5a + 10 = 2(a+3)$
去括号，得：
$5a + 10 = 2a + 6$
移项，得：
$5a - 2a = 6 - 10$
合并同类项，得：
$3a = -4$
系数化为1，得：
$a=-\frac{4}{3}$
【答案】
$-\frac{4}{3}$
【知识点】
新定义问题，去分母解一元一次方程
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的解法，解题核心是正确理解新定义规则代入得到方程，易错点为去分母时漏乘不含分母的常数项，熟练掌握解一元一次方程的步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
首先明确“相伴数对”的定义：若$(a,b)$是相伴数对，则满足等式$\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{a+b}{2+3}$。已知$(a,3)$是相伴数对，即$b=3$，将$b=3$代入定义式即可得到关于$a$的一元一次方程，再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求出$a$的值。
【解析】
∵$(a,3)$是“相伴数对”，根据定义可得：
$\frac{a}{2}+\frac{3}{3}=\frac{a+3}{2+3}$
化简得：$\frac{a}{2}+1=\frac{a+3}{5}$
去分母，两边同时乘10（2和5的最小公倍数），得：
$5a + 10 = 2(a+3)$
去括号，得：
$5a + 10 = 2a + 6$
移项，得：
$5a - 2a = 6 - 10$
合并同类项，得：
$3a = -4$
系数化为1，得：
$a=-\frac{4}{3}$
【答案】
$-\frac{4}{3}$
【知识点】
新定义问题，去分母解一元一次方程
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的解法，解题核心是正确理解新定义规则代入得到方程，易错点为去分母时漏乘不含分母的常数项，熟练掌握解一元一次方程的步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
8 解方程：
(1) $\frac{1}{2}x + 2(\frac{5}{4}x + 1) = 8 + x$；
(2) $\frac{2x + 1}{4} - 1 = x - \frac{10x + 1}{12}$；
(3) $\frac{1}{3}(m + 1) - \frac{1}{6}(m - 2) = \frac{1}{4}(4 - m)$；
(4) $\frac{x}{0.7} - \frac{1.7 - 2x}{0.3} = 1$。
(1) $\frac{1}{2}x + 2(\frac{5}{4}x + 1) = 8 + x$；
(2) $\frac{2x + 1}{4} - 1 = x - \frac{10x + 1}{12}$；
(3) $\frac{1}{3}(m + 1) - \frac{1}{6}(m - 2) = \frac{1}{4}(4 - m)$；
(4) $\frac{x}{0.7} - \frac{1.7 - 2x}{0.3} = 1$。
答案
8. (1) $x=3$ (2) $x=2$ (3) $m=\frac{4}{5}$ (4) $x=\frac{14}{17}$
解析
【分析】
解一元一次方程可根据方程形式按步骤求解：①若方程含括号，先去括号，注意不要漏乘括号内的项且要留意符号变化；②若方程含分母，先找所有分母的最小公倍数，方程两边同乘最小公倍数去分母，注意不要漏乘不含分母的常数项；③若分母是小数，先利用分数的基本性质将分子分母同乘整十/整百数，把分母化为整数后再按常规步骤求解；后续依次进行移项（移项要变号）、合并同类项、系数化为1即可得到方程的解。
【解析】
(1) 先去括号：
$\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}x + 2 = 8 + x$
合并同类项得：
$3x + 2 = 8 + x$
移项得：
$3x - x = 8 - 2$
$2x = 6$
系数化为1得：
$x=3$
(2) 分母最小公倍数为12，两边同乘12去分母：
$3(2x+1) - 12 = 12x - (10x+1)$
去括号得：
$6x + 3 - 12 = 12x - 10x -1$
合并同类项得：
$6x -9 = 2x -1$
移项得：
$6x - 2x = -1 +9$
$4x=8$
系数化为1得：
$x=2$
(3) 分母最小公倍数为12，两边同乘12去分母：
$4(m+1) - 2(m-2) = 3(4-m)$
去括号得：
$4m +4 -2m +4 = 12 -3m$
合并同类项得：
$2m +8 =12 -3m$
移项得：
$2m +3m =12 -8$
$5m=4$
系数化为1得：
$m=\frac{4}{5}$
(4) 利用分数基本性质将分母化为整数：
$\frac{10x}{7} - \frac{17 -20x}{3} = 1$
分母最小公倍数为21，两边同乘21去分母：
$30x -7(17 -20x) =21$
去括号得：
$30x -119 +140x =21$
合并同类项得：
$170x =140$
系数化为1得：
$x=\frac{14}{17}$
【答案】
(1) $x=3$ (2) $x=2$ (3) $m=\frac{4}{5}$ (4) $x=\frac{14}{17}$
【知识点】
解一元一次方程；去括号法则；分数的基本性质
【点评】
这组题目覆盖了一元一次方程的常见考查类型，解题时要注意去分母时勿漏乘常数项、去括号时留意符号变化、移项要变号这些易错点，熟练掌握基础步骤即可准确求解。
【难度系数】
0.75
解一元一次方程可根据方程形式按步骤求解：①若方程含括号，先去括号，注意不要漏乘括号内的项且要留意符号变化；②若方程含分母，先找所有分母的最小公倍数，方程两边同乘最小公倍数去分母，注意不要漏乘不含分母的常数项；③若分母是小数，先利用分数的基本性质将分子分母同乘整十/整百数，把分母化为整数后再按常规步骤求解；后续依次进行移项（移项要变号）、合并同类项、系数化为1即可得到方程的解。
【解析】
(1) 先去括号：
$\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}x + 2 = 8 + x$
合并同类项得：
$3x + 2 = 8 + x$
移项得：
$3x - x = 8 - 2$
$2x = 6$
系数化为1得：
$x=3$
(2) 分母最小公倍数为12，两边同乘12去分母：
$3(2x+1) - 12 = 12x - (10x+1)$
去括号得：
$6x + 3 - 12 = 12x - 10x -1$
合并同类项得：
$6x -9 = 2x -1$
移项得：
$6x - 2x = -1 +9$
$4x=8$
系数化为1得：
$x=2$
(3) 分母最小公倍数为12，两边同乘12去分母：
$4(m+1) - 2(m-2) = 3(4-m)$
去括号得：
$4m +4 -2m +4 = 12 -3m$
合并同类项得：
$2m +8 =12 -3m$
移项得：
$2m +3m =12 -8$
$5m=4$
系数化为1得：
$m=\frac{4}{5}$
(4) 利用分数基本性质将分母化为整数：
$\frac{10x}{7} - \frac{17 -20x}{3} = 1$
分母最小公倍数为21，两边同乘21去分母：
$30x -7(17 -20x) =21$
去括号得：
$30x -119 +140x =21$
合并同类项得：
$170x =140$
系数化为1得：
$x=\frac{14}{17}$
【答案】
(1) $x=3$ (2) $x=2$ (3) $m=\frac{4}{5}$ (4) $x=\frac{14}{17}$
【知识点】
解一元一次方程；去括号法则；分数的基本性质
【点评】
这组题目覆盖了一元一次方程的常见考查类型，解题时要注意去分母时勿漏乘常数项、去括号时留意符号变化、移项要变号这些易错点，熟练掌握基础步骤即可准确求解。
【难度系数】
0.75
9 小明解方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{2}-3$，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的$-3$没有乘$6$，由此求得的解为$x=2$.求：
（1）$a$的值；
（2）方程正确的解.
（1）$a$的值；
（2）方程正确的解.
答案
9. (1) 由题意,得$x=2$是方程$2(2x-1)=3(x+a)-3$的解.
将$x=2$代入方程$2(2x-1)=3(x+a)-3$,得$2(2×2-1)=3(2+a)-3$,解得$a=1$
(2) 由(1),得原方程为$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+1}{2}-3$.去分母,得$2(2x-1)=3(x+1)-18$.去括号,得$4x-2=3x+3-18$.移项,得$x=-13$
将$x=2$代入方程$2(2x-1)=3(x+a)-3$,得$2(2×2-1)=3(2+a)-3$,解得$a=1$
(2) 由(1),得原方程为$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+1}{2}-3$.去分母,得$2(2x-1)=3(x+1)-18$.去括号,得$4x-2=3x+3-18$.移项,得$x=-13$
解析
【分析】
（1）小明去分母时漏乘了方程右边的-3，因此他求解的是错误变形后的方程，已知他得到的解$x=2$满足这个错误方程，将$x=2$代入错误方程即可求出$a$的值；
（2）将求出的$a$代入原方程，按照解一元一次方程的规范步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项）计算，即可得到原方程的正确解，注意去分母时所有项都要乘分母的最小公倍数，避免漏乘。
【解析】
（1）由题意可知，小明去分母后错误得到的方程为：$2(2x-1)=3(x+a)-3$
已知$x=2$是该方程的解，将$x=2$代入方程得：
$2×(2×2-1)=3(2+a)-3$
计算左边得$2×3=6$，右边化简得$3+3a$
即$6=3+3a$，解得$a=1$
（2）将$a=1$代入原方程，得$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+1}{2}-3$
去分母，两边同乘6：$2(2x-1)=3(x+1)-18$
去括号：$4x-2=3x+3-18$
移项合并同类项：$x=-13$
【答案】
（1）$\boldsymbol{a=1}$；（2）$\boldsymbol{x=-13}$
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程，错解求参
【点评】
本题是一元一次方程的典型错解类题型，解题核心是明确错解仅满足错误变形后的方程，先通过错解求出未知参数，再代入原方程按规范步骤求解。去分母时常数项漏乘最小公倍数是解带分母的一元一次方程的高频易错点，解题时需重点注意。
【难度系数】
0.7
（1）小明去分母时漏乘了方程右边的-3，因此他求解的是错误变形后的方程，已知他得到的解$x=2$满足这个错误方程，将$x=2$代入错误方程即可求出$a$的值；
（2）将求出的$a$代入原方程，按照解一元一次方程的规范步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项）计算，即可得到原方程的正确解，注意去分母时所有项都要乘分母的最小公倍数，避免漏乘。
【解析】
（1）由题意可知，小明去分母后错误得到的方程为：$2(2x-1)=3(x+a)-3$
已知$x=2$是该方程的解，将$x=2$代入方程得：
$2×(2×2-1)=3(2+a)-3$
计算左边得$2×3=6$，右边化简得$3+3a$
即$6=3+3a$，解得$a=1$
（2）将$a=1$代入原方程，得$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+1}{2}-3$
去分母，两边同乘6：$2(2x-1)=3(x+1)-18$
去括号：$4x-2=3x+3-18$
移项合并同类项：$x=-13$
【答案】
（1）$\boldsymbol{a=1}$；（2）$\boldsymbol{x=-13}$
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程，错解求参
【点评】
本题是一元一次方程的典型错解类题型，解题核心是明确错解仅满足错误变形后的方程，先通过错解求出未知参数，再代入原方程按规范步骤求解。去分母时常数项漏乘最小公倍数是解带分母的一元一次方程的高频易错点，解题时需重点注意。
【难度系数】
0.7
10 教材 P134 复习题 T5 变式 已知代数式$\frac{y+4}{2}$的值比代数式$\frac{12y-13}{6}$的值小 2,求 y 的值.
答案
10. 根据题意,得$\frac{y+4}{2}=\frac{12y-13}{6}-2$.去分母,得$3(y+4)=12y-13-12$.去括号,得$3y+12=12y-13-12$.移项、合并同类项,得$-9y=-37$.系数化为1,得$y=\frac{37}{9}$
解析
【分析】
首先根据题目中的数量关系列方程：已知$\frac{y+4}{2}$比$\frac{12y-13}{6}$小2，即前者等于后者减去2，得到含分母的一元一次方程。再按照解一元一次方程的标准步骤求解：先去分母（注意给所有项都乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项），再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1即可得到y的值。
【解析】
根据题意，列方程得：
$\frac{y+4}{2}=\frac{12y-13}{6}-2$
去分母，两边同时乘6得：
$3(y+4)=12y-13-12$
去括号得：
$3y+12=12y-13-12$
移项、合并同类项得：
$-9y=-37$
系数化为1得：
$y=\frac{37}{9}$
【答案】
$y=\frac{37}{9}$
【知识点】
列一元一次方程；解含分母的一元一次方程
【点评】
本题解题关键是准确理解两个代数式的大小关系正确列出方程，去分母时需注意不要漏乘不含分母的常数项，熟练掌握一元一次方程的求解步骤就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
首先根据题目中的数量关系列方程：已知$\frac{y+4}{2}$比$\frac{12y-13}{6}$小2，即前者等于后者减去2，得到含分母的一元一次方程。再按照解一元一次方程的标准步骤求解：先去分母（注意给所有项都乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项），再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1即可得到y的值。
【解析】
根据题意，列方程得：
$\frac{y+4}{2}=\frac{12y-13}{6}-2$
去分母，两边同时乘6得：
$3(y+4)=12y-13-12$
去括号得：
$3y+12=12y-13-12$
移项、合并同类项得：
$-9y=-37$
系数化为1得：
$y=\frac{37}{9}$
【答案】
$y=\frac{37}{9}$
【知识点】
列一元一次方程；解含分母的一元一次方程
【点评】
本题解题关键是准确理解两个代数式的大小关系正确列出方程，去分母时需注意不要漏乘不含分母的常数项，熟练掌握一元一次方程的求解步骤就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
11 已知关于 $ x $ 的方程 $ \frac{2kx + a}{3} = 2 + \frac{x - bk}{6} $，无论 $ k $ 为何值，方程的解总是 $ x = 1 $，求 $ a, b $ 的值。
答案
11. 把$x=1$代入$\frac{2kx+a}{3}=2+\frac{x-bk}{6}$,得$\frac{2k+a}{3}=2+\frac{1-bk}{6}$.去分母并整理,得$(4+b)k=13-2a$.因为无论$k$为何值,此等式都成立,所以$4+b=0,13-2a=0$.所以$a=\frac{13}{2},b=-4$
解析
【分析】
题目明确无论k取何值，方程的解总是x=1，首先根据方程解的定义，把x=1代入原方程，就能得到一个包含k、a、b的等式；由于该等式对任意k都成立，说明式子中k的系数必须为0，同时等式两边的常数项相等，这样才能保证k取任意值时等式都成立，最后解关于a、b的方程即可求出两个参数的值。
【解析】
解：把$x=1$代入方程$\frac{2kx + a}{3} = 2 + \frac{x - bk}{6}$，得：
$\frac{2k + a}{3} = 2 + \frac{1 - bk}{6}$
两边同时乘6去分母，得：
$2(2k+a)=12+(1-bk)$
去括号，得：
$4k + 2a = 13 - bk$
移项、合并同类项，得：
$(4+b)k=13-2a$
∵无论k为何值，上述等式都成立
∴k的系数和常数项分别为0，即：
$\begin{cases}4+b=0 \\13-2a=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-4 \\a=\frac{13}{2}\end{cases}$
【答案】
$a=\frac{13}{2},b=-4$
【知识点】
方程的解的定义；去分母解方程；恒等式性质
【点评】
本题的关键是利用“方程解与k无关”的条件，先代入固定解x=1将原方程转化为关于k的恒等式，再根据恒等式成立的要求构建参数方程求解，能有效考察对一元一次方程解的理解和参数问题的处理能力。
【难度系数】
0.6
题目明确无论k取何值，方程的解总是x=1，首先根据方程解的定义，把x=1代入原方程，就能得到一个包含k、a、b的等式；由于该等式对任意k都成立，说明式子中k的系数必须为0，同时等式两边的常数项相等，这样才能保证k取任意值时等式都成立，最后解关于a、b的方程即可求出两个参数的值。
【解析】
解：把$x=1$代入方程$\frac{2kx + a}{3} = 2 + \frac{x - bk}{6}$，得：
$\frac{2k + a}{3} = 2 + \frac{1 - bk}{6}$
两边同时乘6去分母，得：
$2(2k+a)=12+(1-bk)$
去括号，得：
$4k + 2a = 13 - bk$
移项、合并同类项，得：
$(4+b)k=13-2a$
∵无论k为何值，上述等式都成立
∴k的系数和常数项分别为0，即：
$\begin{cases}4+b=0 \\13-2a=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-4 \\a=\frac{13}{2}\end{cases}$
【答案】
$a=\frac{13}{2},b=-4$
【知识点】
方程的解的定义；去分母解方程；恒等式性质
【点评】
本题的关键是利用“方程解与k无关”的条件，先代入固定解x=1将原方程转化为关于k的恒等式，再根据恒等式成立的要求构建参数方程求解，能有效考察对一元一次方程解的理解和参数问题的处理能力。
【难度系数】
0.6
