【典例1】如图，在△AOB中，点C，D分别在OB，AB上，∠1=∠2，CD=OA，求证：BD=OB.

证明:
方法一:在OC上取点M,使CM=AD，
∴△AOD≌△CDM，
∴OD=DM，
∴∠BDO=∠DMO=∠DOB，
∴BD=BO.
方法二:延长BA至点M,使AM=BC，
∴△AMO≌△CBD，
∴∠M=∠B，
OM=BD，
∴BD=OB.
方法三:在BD上取点M,使OM=AO，
△BOM≌△BDC，
∴BD=OB.

【分析】
要证明BD=OB，可转化为证明△BDO为等腰三角形，即证∠BDO=∠BOD。题中给出∠1=∠2、CD=OA两组相等条件，但不存在现成的全等三角形，因此需通过截长补短的方式构造全等三角形，将分散的边、角相等条件整合，利用全等三角形的性质推导角的等量关系，最终得到边相等的结论。构造思路为截取或补出等长线段，构造包含OA、CD和∠1、∠2的全等三角形。
【解析】
方法一：
在OC上取点M，使CM=AD，
已知∠1=∠2，OA=CD，结合构造的AD=CM，可由SAS判定△AOD≌△CDM，得OD=DM、∠ODA=∠DMC；
由等边对等角得∠DOM=∠DMO，结合∠BDO与∠ODA互补、∠DMO与∠DMC互补，可得∠BDO=∠DMO，等量代换得∠BDO=∠DOB，最后由等角对等边得BD=BO。
方法二：
延长BA至点M，使AM=BC，
由∠1=∠2，结合∠OAM与∠1互补、∠BCD与∠2互补，得∠OAM=∠BCD；
已知OA=CD，结合构造的AM=BC，可由SAS判定△AMO≌△CBD，得∠M=∠B、OM=BD；
由等角对等边得OM=OB，等量代换得BD=OB。
方法三：
在BD上取点M，使OM=AO，
由OA=CD得OM=CD，结合∠1=∠2和公共角∠B，可由AAS判定△BOM≌△BDC，由全等三角形对应边相等得BD=OB。
【答案】
证明:
方法一:在OC上取点M,使CM=AD，
∴△AOD≌△CDM，
∴OD=DM，
∴∠BDO=∠DMO=∠DOB，
∴BD=BO.
方法二:延长BA至点M,使AM=BC，
∴△AMO≌△CBD，
∴∠M=∠B，
OM=BD，
∴BD=OB.
方法三:在BD上取点M,使OM=AO，
△BOM≌△BDC，
∴BD=OB.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，截长补短辅助线
【点评】
本题是几何证明中构造全等的典型题型，核心是利用截长补短的辅助线作法整合分散的已知条件，结合等腰三角形的性质推导结论，有助于提升辅助线构造能力和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

【典例2】如图，P为△ABC内的点，连接CP，BP，AP，∠PBA＝30°，PC平分∠BCA，∠BPC＝150°，求证：BC＝AC＋PA.

证明:
方法一:在BC上取点M,使CM=CA，
易证△CPA≌△CPM，
延长CP交AB于点E,连接ME，
∠BPE=30°，
PE=BE，
又
∵∠CEM=∠CEA=60°，
∴ME垂直平分BP，
∴BM=PM=PA,
∴BC=AC+PA.
方法二:延长CA至点M,使CM=CB，
易证△CBP≌△CMP，
∠BPM=60°，
∴△PBM为等边三角形，
∴BA为PM的垂直平分线，
∴PA=AM,
∴BC=AC+PA.

【分析】
要证明BC=AC+PA，属于线段和差类证明问题，优先考虑截长补短法：结合已知PC是∠BCA的角平分线，可通过在长线段BC上截取一段等于AC，或者延长短线段CA至与BC等长的方式，构造以PC为公共边的全等三角形，将PA转化为等长线段，再结合已知角度条件推导等腰、垂直平分线性质，证明剩余线段相等即可。
【解析】
方法一（截长法）
1. 在BC上取点M，使CM=CA，连接PM。
因为PC平分∠BCA，所以∠ACP=∠MCP，又CA=CM、CP=CP，根据SAS可证$△ CPA ≌ △ CPM$，得$PA=PM$。
2. 延长CP交AB于点E，连接ME。
由$∠ BPC=150°$，得邻补角$∠ BPE=180°-150°=30°$，结合已知$∠ PBA=30°$，得$∠ PBA=∠ BPE$，因此$BE=PE$。
3. 由全等得$∠ CEM=∠ CEA$，计算得$∠ PEB=180°-30°-30°=120°$，因此$∠ CEM=∠ CEA=60°$，即ME平分$∠ BEP$。
结合$BE=PE$，根据等腰三角形三线合一，ME垂直平分BP，因此$BM=PM$，结合$PM=PA$得$BM=PA$。
4. 因为$BC=CM+BM$，$CM=AC$，$BM=PA$，所以$BC=AC+PA$。
---
方法二（补短法）
1. 延长CA至点M，使CM=CB，连接PM、BM。
因为PC平分∠BCA，所以$∠ BCP=∠ MCP$，又$CB=CM$、$CP=CP$，根据SAS可证$△ CBP ≌ △ CMP$，得$PB=PM$，$∠ BPC=∠ MPC=150°$。
2. 计算得$∠ BPM=360°-150°-150°=60°$，结合$PB=PM$，得$△ PBM$是等边三角形，因此$∠ PBM=60°$。
3. 已知$∠ PBA=30°$，得$∠ ABM=∠ PBA=30°$，即BA平分等边三角形的顶角$∠ PBM$，因此BA是PM的垂直平分线，得$PA=AM$。
4. 因为$CM=AC+AM$，$CM=BC$，$AM=PA$，所以$BC=AC+PA$。
【答案】
证明:
方法一:在BC上取点M,使CM=CA，
易证△CPA≌△CPM，
延长CP交AB于点E,连接ME，
∠BPE=30°，
PE=BE，
又
∵∠CEM=∠CEA=60°，
∴ME垂直平分BP，
∴BM=PM=PA,
∴BC=AC+PA.
方法二:延长CA至点M,使CM=CB，
易证△CBP≌△CMP，
∠BPM=60°，
∴△PBM为等边三角形，
∴BA为PM的垂直平分线，
∴PA=AM,
∴BC=AC+PA.
【知识点】
全等三角形判定与性质，角平分线的定义，垂直平分线的性质
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心考查截长补短辅助线的运用，结合角平分线条件构造全等实现线段转化，再通过角度推导特殊三角形和垂直平分线的性质完成证明，对辅助线构造能力和角度分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4

变式.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,∠BCD的平分线交AB于点E,BE=AD,连接DE,求证:BC=CD+AE.

证明:在BC上取点M,使CM=CD，
则△CDE≌△CME(SAS)，
∴EM=DE，
∴Rt△ADE≌Rt△BEM，
∴AE=BM，
∴BC=CD+AE.

【分析】
要证明BC=CD+AE，属于线段和差类证明，优先考虑截长补短法。观察到CE是∠BCD的平分线，可采用截长法：在较长的BC上截取一段等于CD，将问题转化为证明剩余线段等于AE即可。首先利用角平分线和公共边构造全等三角形得到边相等的条件，再结合已知的边相等和直角条件证明另一组直角三角形全等，完成线段的等量转化。
【解析】
证明：在BC上取点M，使CM=CD。
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠MCE。
在△CDE和△CME中：
$\{\begin{array}{l}CD=CM\\ ∠ DCE=∠ MCE\\ CE=CE\end{array} $
∴△CDE≌△CME（SAS），
∴EM=DE。
∵∠A=∠B=90°，
∴△ADE和△BEM均为直角三角形。
在Rt△ADE和Rt△BEM中：
$\{\begin{array}{l}AD=BE\\ DE=EM\end{array} $
∴Rt△ADE≌Rt△BEM（HL），
∴AE=BM。
∵BC=CM+BM，且CM=CD，BM=AE，
∴BC=CD+AE。
【答案】
证明:在BC上取点M,使CM=CD，
则△CDE≌△CME(SAS)，
∴EM=DE，
∴Rt△ADE≌Rt△BEM，
∴AE=BM，
∴BC=CD+AE.
【知识点】
截长补短法；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题是利用截长补短法证明线段和差关系的典型题型，解题核心是结合角平分线的条件构造全等三角形，将待证的线段和差问题转化为线段相等问题，考察了辅助线的构造能力和全等性质的应用能力。
【难度系数】
0.6