10. 同时用3、5、7这三个数字可以组成不同的真分数有（$\frac{3}{57}$）、（$\frac{3}{75}$）、（$\frac{5}{73}$）。（每个数字只能用一次）

10. $\frac{3}{5}$，$\frac{3}{7}$，$\frac{5}{7}$

【分析】
解题时首先要明确两个核心要求：①使用3、5、7三个数字，每个数字仅用一次；②组成的数是真分数。首先回忆真分数的定义：分子小于分母的分数是真分数。为了避免漏写或重复写，我们可以采用有序枚举的思路：按分子从小到大的顺序，依次找比分子大的数字作为分母，就能找出所有符合条件的真分数。
【解析】
首先明确真分数的特征：分子＜分母，且每个数字只能使用一次。
1. 当分子取3时，比3大的数字有5、7，可组成真分数$\frac{3}{5}$、$\frac{3}{7}$；
2. 当分子取5时，比5大的数字只有7，可组成真分数$\frac{5}{7}$；
3. 当分子取7时，没有比7更大的数字可以作为分母，无法组成符合要求的真分数。
综上，可组成的不同真分数为$\frac{3}{5}$、$\frac{3}{7}$、$\frac{5}{7}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$，$\frac{3}{7}$，$\frac{5}{7}$
【知识点】
真分数的认识；枚举法计数
【点评】
本题重点考查对真分数概念的掌握，采用有序枚举的方法解题可以有效避免重复和遗漏，属于基础概念应用类题目。
【难度系数】
0.8

11. 将1~8这8个数字填入下面的括号中，使下面的等式成立。（每个数字只能用一次）$\frac{(\quad)}{(\quad)}=\frac{(\quad)}{9}=\frac{(\quad)(\quad)}{(\quad)(\quad)(\quad)}$

11. 提示：$\frac{2}{6}=\frac{3}{9}=\frac{58}{174}$

【分析】
解题时优先从已知信息最多的中间分数入手：中间分数分母固定为9，分子是1~8中的数字，它的分数值需要同时等于第一个一位数分数、第三个两位数除以三位数的分数，且所有数字不重复。第一步先确定中间分数的分数值：若中间分子取3，可得$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，刚好能写成分子分母都是1~8的一位数分数；第二步找和$\frac{1}{3}$相等的一位数分数，排除已用的3，可得$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，符合要求；第三步此时剩余1、4、5、7、8五个数字，要满足$\frac{两位数}{三位数}=\frac{1}{3}$，也就是三位数=两位数×3，尝试计算可得58×3=174，刚好把剩余数字全部用上且无重复，符合要求。
【解析】
1. 分析中间分数：中间分数分母为9，尝试取分子为3，得$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，分数值为$\frac{1}{3}$。
2. 推导第一个分数：找分子分母都是1~8、且等于$\frac{1}{3}$的分数，排除已用的3，可得$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，此时已用数字为2、3、6，剩余数字为1、4、5、7、8。
3. 推导第三个分数：要求$\frac{两位数}{三位数}=\frac{1}{3}$，即三位数=两位数×3，用剩余数字尝试计算：$58×3=174$，数字5、8、1、7、4均为剩余数字，无重复，符合条件。
因此等式为$\frac{2}{6}=\frac{3}{9}=\frac{58}{174}$。
【答案】
$\frac{2}{6}=\frac{3}{9}=\frac{58}{174}$
【知识点】
分数的基本性质，多位数乘法，数字谜
【点评】
本题属于巧填数字的趣味题型，解题关键是从已知条件最多的部分切入，逐步缩小可选范围，结合尝试验证就能找到正确答案，解题时要注意牢记每个数字只能使用一次的要求。
【难度系数】
0.3

二、判断。（对的在括号里画“√”，错的画“×”）
1. 3米的$\frac{1}{5}$和1米的$\frac{3}{5}$一样长。 （）
2. 分母是5的真分数有5个。 （）
3. 一个分数的分母越小，它的分数单位就越大。 （）
4. 生活中，真分数和假分数的个数都是有限的。 （）
5. 小于$\frac{7}{8}$的真分数只有6个，大于$\frac{7}{8}$的假分数只有2个。 （）

1. √ 2. × 3. √ 4. × 5. ×

【分析】
这组判断题围绕分数基础概念设置，解题时可对应知识点逐个分析：1. 求一个数的几分之几用乘法，分别计算两个长度再比较即可；2. 先回忆真分数定义，再数出分母为5的真分数数量判断对错；3. 结合分数单位的定义，分析分母大小和分数单位大小的关系；4. 结合自然数个数无限的特点，判断真分数、假分数的总数量；5. 注意不要仅考虑同分母分数，不同分母的符合要求的分数数量很多。
【解析】
1. 计算可得：3米的$\frac{1}{5}$为$3×\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$米，1米的$\frac{3}{5}$为$1×\frac{3}{5}=\frac{3}{5}$米，二者长度相等，表述正确。
2. 真分数的分子小于分母，分母是5的真分数分子只能是1、2、3、4，共4个，不是5个，表述错误。
3. 分数单位是把单位“1”平均分后取1份的数，分母越小说明平均分的份数越少，每份的大小就越大，即分数单位越大，表述正确。
4. 自然数的个数是无限的，只要符合真分数、假分数的定义，就能构造出无数个对应的分数，因此二者的个数都是无限的，表述错误。
5. 小于$\frac{7}{8}$的真分数除了同分母的6个，还有$\frac{1}{2}$、$\frac{3}{4}$等无数个不同分母的真分数；大于$\frac{7}{8}$的假分数也有无数个，表述错误。
【答案】
1. √ 2. × 3. √ 4. × 5. ×
【知识点】
分数的意义，真分数与假分数，分数单位
【点评】
本题主要考察分数基础概念的掌握程度，解题时要注意不要被同分母的情况局限，吃透定义本质就能准确判断。
【难度系数】
0.7

1. 和$\frac{4}{9}$相等的分数是（ ）。
①$\frac{2}{3}$
②$\frac{8}{18}$
③$\frac{12}{36}$
④$\frac{12}{24}$

1. ②

【分析】
拿到这道题，首先明确题目要求是找到和$\frac{4}{9}$相等的分数，解题依据是我们学过的分数基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变。解题时可以用两种思路验证：一是把$\frac{4}{9}$的分子分母同时扩大相同倍数，对比是否和选项一致；二是把所有选项的分数约分成最简分数，看哪个等于$\frac{4}{9}$，两种方法结合验证准确率更高。
【解析】
根据分数的基本性质，逐个分析选项：
1. 分析选项①：$\frac{2}{3}$通分成分母为9的分数可得$\frac{2×3}{3×3}=\frac{6}{9}$，$\frac{6}{9}≠\frac{4}{9}$，不符合要求；
2. 分析选项②：$\frac{8}{18}$的分子分母同时除以2，可得$\frac{8÷2}{18÷2}=\frac{4}{9}$，和题干分数相等，符合要求；
3. 分析选项③：$\frac{12}{36}$的分子分母同时除以12，可得$\frac{12÷12}{36÷12}=\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}≠\frac{4}{9}$，不符合要求；
4. 分析选项④：$\frac{12}{24}$的分子分母同时除以12，可得$\frac{12÷12}{24÷12}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}≠\frac{4}{9}$，不符合要求。
综上，只有选项②的分数和$\frac{4}{9}$相等。
【答案】
②
【知识点】
分数的基本性质；分数约分
【点评】
本题属于基础类题目，核心考察对分数基本性质的运用，计算时注意分子分母要同时乘除同一个非0数，细心计算即可避免失误。
【难度系数】
0.8

2. 在$\frac{3}{7}$、$\frac{9}{12}$、$\frac{7}{8}$、$\frac{25}{36}$、$\frac{13}{91}$中，最简分数有（$\quad$）个。
①4
②3
③2
④1

2. ②

【分析】
要解决这道题，首先要明确最简分数的定义：分子和分母只有公因数1（即分子分母互质）的分数是最简分数。解题时我们需要逐个判断给出的5个分数是否符合最简分数的要求，最后统计符合要求的数量即可。判断时只需要找每个分数分子和分母除了1之外有没有其他公因数，如果没有就是最简分数，有就不是。
【解析】
首先明确最简分数的判定标准：分子、分母的公因数只有1的分数为最简分数。我们逐个判断：
1. 对于$\frac{3}{7}$：3和7都是质数，二者只有公因数1，是最简分数；
2. 对于$\frac{9}{12}$：9和12的公因数有1、3，还可以约分为$\frac{3}{4}$，不是最简分数；
3. 对于$\frac{7}{8}$：7是质数，和8只有公因数1，是最简分数；
4. 对于$\frac{25}{36}$：25的因数为1、5、25，36的因数为1、2、3、4、6、9、12、18、36，二者只有公因数1，是最简分数；
5. 对于$\frac{13}{91}$：$91=13×7$，13和91的公因数有1、13，还可以约分为$\frac{1}{7}$，不是最简分数。
综上，最简分数共有3个，对应选项②。
【答案】
②
【知识点】
最简分数的认识、公因数的判断、约分
【点评】
本题核心考查对最简分数概念的掌握，解题时要耐心逐个判断分子分母的公因数情况，容易出错的点是容易误认为91是质数，忽略13是91的因数，导致判断错误。
【难度系数】
0.7

3. x是大于10的自然数，下列分数中，分数值最小的是（）。
①$\frac{10}{x}$
②$\frac{x}{10}$
③$\frac{11}{x}$
④$\frac{x}{11}$

3. ①

【分析】
解题时可按以下思路思考：首先明确x是大于10的自然数，最小取11；其次借助“真分数小于1，假分数大于等于1”的特点，先区分出四个分数中数值≥1和＜1的类别，先排除数值更大的假分数选项；最后对剩余的同分母真分数，按照同分母分数比较大小的规则判断，就能快速找到最小的分数。
【解析】
已知x是大于10的自然数，即x≥11。
1. 先将各分数和1比较大小：
①$\frac{10}{x}$：x＞10，分子10小于分母x，属于真分数，因此$\frac{10}{x}＜1$；
②$\frac{x}{10}$：x＞10，分子x大于分母10，属于假分数，因此$\frac{x}{10}＞1$；
③$\frac{11}{x}$：x≥11，当x=11时$\frac{11}{x}=1$，x＞11时$\frac{11}{x}＜1$，最大值为1；
④$\frac{x}{11}$：x≥11，分子x大于等于分母11，属于假分数，因此$\frac{x}{11}≥1$。
由此可知②、④的分数值都≥1，比①的数值大，先排除②和④。
2. 再比较①和③的大小：
$\frac{10}{x}$和$\frac{11}{x}$分母相同，根据“分母相同的分数，分子越小，分数值越小”的规则，因为10＜11，所以$\frac{10}{x}＜\frac{11}{x}$。
综上，四个分数中分数值最小的是$\frac{10}{x}$。
【答案】
①
【知识点】
1. 分数大小比较 2. 真分数与假分数
【点评】
本题是分数比较大小的基础应用题，解题时先和1比较可以快速缩小判断范围，也可以代入符合条件的具体数值验证结果，能有效降低解题难度。
【难度系数】
0.7

4. 在$\frac{1}{2}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{4}{5}$和$\frac{7}{9}$这四个分数中，分数单位最小的一个是（ ）。
①$\frac{1}{2}$
②$\frac{2}{3}$
③$\frac{7}{9}$
④$\frac{4}{5}$

4. ③

【分析】
要解决这道题，首先我们要明确两个核心要点：第一，分数单位的定义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数就是这个分数的分数单位，所有分数的分数单位分子都是1，分母和原分数分母相同。第二，同分子分数比较大小的规则：分子相同的情况下，分母越大，分数越小，因为平均分的份数越多，每一份的量就越小。解题时我们先找出四个分数各自的分数单位，再按照同分子分数比较大小的规则找出最小的分数单位，对应匹配原分数即可。
【解析】
第一步：分别写出四个分数的分数单位：
$\frac{1}{2}$的分数单位是$\frac{1}{2}$
$\frac{2}{3}$的分数单位是$\frac{1}{3}$
$\frac{4}{5}$的分数单位是$\frac{1}{5}$
$\frac{7}{9}$的分数单位是$\frac{1}{9}$
第二步：比较四个分数单位的大小，分子都为1，分母越大分数越小：
$\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}＞\frac{1}{5}＞\frac{1}{9}$
可得最小的分数单位是$\frac{1}{9}$，对应的原分数是$\frac{7}{9}$。
【答案】
③
【知识点】
分数单位的认识；同分子分数大小比较
【点评】
本题属于基础概念类题型，解题时要注意区分分数单位的大小和分数本身数值的大小，避免误将分数值最小的选项当作答案，只要熟练掌握分数单位的定义和同分子分数比较规则就能快速作答。
【难度系数】
0.8