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1 新情境 传统文化 铜钱是我国的早期货币，外圆内方的构造彰显了数学之美.如图，铜钱外部的圆半径为$a$，内部小正方形的边长为$b$，下列能表示铜钱的面积的式子是 （
A.$2π(a - b)$
B.$π a^2 - b^2$
C.$π(b^2 - a^2)$
D.$2π(b - a)$
B
）A.$2π(a - b)$
B.$π a^2 - b^2$
C.$π(b^2 - a^2)$
D.$2π(b - a)$
答案
1. B
解析
【分析】
这道题求铜钱的面积，可采用“整体面积减空白部分面积”的思路求解。首先明确铜钱的整体是半径为$a$的圆，空白部分是边长为$b$的正方形，我们只需要分别计算出圆的面积和正方形的面积，再用圆的面积减去正方形的面积，就能得到铜钱的面积，再对应选项选出答案即可。
【解析】
1. 计算外部圆的面积：根据圆的面积公式$S_{\mathrm{圆}}=π r^2$，已知圆的半径为$a$，因此外圆面积为$π a^2$。
2. 计算内部正方形的面积：根据正方形的面积公式$S_{\mathrm{正}}=\mathrm{边长}×\mathrm{边长}$，已知正方形边长为$b$，因此内部正方形面积为$b^2$。
3. 计算铜钱的面积：铜钱面积 = 外圆面积 - 内部正方形面积，即$S=π a^2 - b^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆的面积计算，正方形面积计算，列代数式
【点评】
本题结合传统文化铜钱的构造设题，考查基础图形面积的计算，解题核心是掌握“整体减空白”的不规则图形面积求解思路，熟记常见图形的面积公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9
这道题求铜钱的面积，可采用“整体面积减空白部分面积”的思路求解。首先明确铜钱的整体是半径为$a$的圆，空白部分是边长为$b$的正方形，我们只需要分别计算出圆的面积和正方形的面积，再用圆的面积减去正方形的面积，就能得到铜钱的面积，再对应选项选出答案即可。
【解析】
1. 计算外部圆的面积：根据圆的面积公式$S_{\mathrm{圆}}=π r^2$，已知圆的半径为$a$，因此外圆面积为$π a^2$。
2. 计算内部正方形的面积：根据正方形的面积公式$S_{\mathrm{正}}=\mathrm{边长}×\mathrm{边长}$，已知正方形边长为$b$，因此内部正方形面积为$b^2$。
3. 计算铜钱的面积：铜钱面积 = 外圆面积 - 内部正方形面积，即$S=π a^2 - b^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆的面积计算，正方形面积计算，列代数式
【点评】
本题结合传统文化铜钱的构造设题，考查基础图形面积的计算，解题核心是掌握“整体减空白”的不规则图形面积求解思路，熟记常见图形的面积公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2 甲、乙两地相距150 km，一辆汽车从甲地行驶到乙地需要t h，则平均速度为
$\frac{150}{t}$
km/h(用含t的代数式表示)，当t=2.5时，平均速度为60
km/h.答案
2. 平均速度为$\frac{150}{t}$ km/h，当t=2.5时，平均速度为60 km/h
解析
【分析】
解题首先回忆行程问题的基本数量关系：速度=路程÷时间。第一问已知甲、乙两地路程为150km，行驶时间为t h，直接将已知量代入公式即可得到含t的代数式表示平均速度；第二问是代数式求值问题，把t=2.5代入第一问得到的代数式中计算即可得到具体的速度值。
【解析】
1. 求含t的平均速度代数式：
根据行程公式：$\mathrm{平均速度}=\frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}}$，已知总路程为150 km，总时间为t h，代入得平均速度为$\frac{150}{t}$ km/h。
2. 计算t=2.5时的平均速度：
把t=2.5代入$\frac{150}{t}$中，得$\frac{150}{2.5}=60$（km/h）。
【答案】
$\frac{150}{t}$；60
【知识点】
行程问题数量关系；代数式求值
【点评】
本题是基础的实际应用类题目，核心考查对行程问题基本公式的记忆与运用，以及代数式代入求值的运算能力，只要理清三个量的对应关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
解题首先回忆行程问题的基本数量关系：速度=路程÷时间。第一问已知甲、乙两地路程为150km，行驶时间为t h，直接将已知量代入公式即可得到含t的代数式表示平均速度；第二问是代数式求值问题，把t=2.5代入第一问得到的代数式中计算即可得到具体的速度值。
【解析】
1. 求含t的平均速度代数式：
根据行程公式：$\mathrm{平均速度}=\frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}}$，已知总路程为150 km，总时间为t h，代入得平均速度为$\frac{150}{t}$ km/h。
2. 计算t=2.5时的平均速度：
把t=2.5代入$\frac{150}{t}$中，得$\frac{150}{2.5}=60$（km/h）。
【答案】
$\frac{150}{t}$；60
【知识点】
行程问题数量关系；代数式求值
【点评】
本题是基础的实际应用类题目，核心考查对行程问题基本公式的记忆与运用，以及代数式代入求值的运算能力，只要理清三个量的对应关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
3 教材P81练习T2变式 一个长方体纸箱的长是m，宽是n，高是p，这个纸箱的表面积S是
$2mn+2mp+2np$
；如果m=80，n=30，p=20，那么S=9 200
。答案
3. 这个纸箱的表面积S是$2mn+2mp+2np$；如果m=80，n=30，p=20，那么S=9 200
解析
【分析】
解题首先要明确所求为长方体的表面积，先回忆长方体表面积的计算逻辑：长方体共有6个面，可分为3组相对的面，每组2个面的面积相等，分别对应长×宽、长×高、宽×高的面积，因此表面积等于三组面面积之和的2倍，据此可写出用字母表示的表面积公式；第二问属于代数式求值，将给定的m、n、p的数值代入公式，按照先乘法后加法的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
1. 推导表面积的字母表达式：
长方体表面积 = 2×（上/下底面面积 + 前/后侧面面积 + 左/右侧面面积）
代入长m、宽n、高p，可得：
$S = 2mn + 2mp + 2np$
2. 代入数值计算：
把$m=80$，$n=30$，$p=20$代入公式：
$\begin{aligned}S&=2×80×30 + 2×80×20 + 2×30×20\\&=4800 + 3200 + 1200\\&=9200\end{aligned}$
【答案】
$2mn+2mp+2np$；$9200$
【知识点】
长方体表面积公式；代数式求值
【点评】
本题侧重考查基础公式的应用与基础运算能力，需要准确识记长方体表面积公式，代入计算时注意运算顺序，避免乘法计算错误。
【难度系数】
0.85
解题首先要明确所求为长方体的表面积，先回忆长方体表面积的计算逻辑：长方体共有6个面，可分为3组相对的面，每组2个面的面积相等，分别对应长×宽、长×高、宽×高的面积，因此表面积等于三组面面积之和的2倍，据此可写出用字母表示的表面积公式；第二问属于代数式求值，将给定的m、n、p的数值代入公式，按照先乘法后加法的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
1. 推导表面积的字母表达式：
长方体表面积 = 2×（上/下底面面积 + 前/后侧面面积 + 左/右侧面面积）
代入长m、宽n、高p，可得：
$S = 2mn + 2mp + 2np$
2. 代入数值计算：
把$m=80$，$n=30$，$p=20$代入公式：
$\begin{aligned}S&=2×80×30 + 2×80×20 + 2×30×20\\&=4800 + 3200 + 1200\\&=9200\end{aligned}$
【答案】
$2mn+2mp+2np$；$9200$
【知识点】
长方体表面积公式；代数式求值
【点评】
本题侧重考查基础公式的应用与基础运算能力，需要准确识记长方体表面积公式，代入计算时注意运算顺序，避免乘法计算错误。
【难度系数】
0.85
4 教材P81例4变式 一把三角尺的形状和尺寸如图所示，如果圆孔的半径是r，三角尺的厚度是h，用式子表示这块三角尺的体积V.若a=6，r=0.5，h=0.2，求V的值(π取3).
答案
4. 这把三角尺的体积$V=\frac{1}{2}a^2h - π r^2 h$ 因为$a=6,r=0.5$，$h=0.2$,所以$V=\frac{1}{2}×6^2×0.2 - 3×0.5^2×0.2=3.45$,即V的值是3.45
解析
【分析】
要计算这块三角尺的体积，首先明确它是等腰直角三角柱中间挖去一个圆柱的组合体，组合体体积等于整体体积减去挖去部分的体积。柱体体积公式为“体积=底面积×厚度”，我们先分别计算完整三角柱的体积和挖去的圆柱体积，二者作差即可得到三角尺的体积公式，最后代入对应数值计算结果即可。
【解析】
1. 推导体积表达式：
等腰直角三角形的面积为$\frac{1}{2}a^2$，完整三角柱的体积为三角形底面积乘厚度，即$\frac{1}{2}a^2h$；
中间圆孔是圆柱，底面积为$π r^2$，圆柱体积为$π r^2h$；
因此三角尺体积$V = 完整三角柱体积 - 圆柱体积 = \frac{1}{2}a^2h - π r^2h$。
2. 代入数值计算：
将$a=6$，$r=0.5$，$h=0.2$，$π=3$代入公式：
$\begin{aligned}V&=\frac{1}{2}×6^2×0.2 - 3×0.5^2×0.2\\&=\frac{1}{2}×36×0.2 - 3×0.25×0.2\\&=3.6 - 0.15\\&=3.45\end{aligned}$
【答案】
$V=\frac{1}{2}a^2h - π r^2h$，V的值为3.45
【知识点】
列代数式，代数式求值，组合体体积计算
【点评】
本题考查组合体的体积计算，解题关键是将组合体拆分为熟悉的基础几何图形，利用“整体减空白”的思路求解，代入数值计算时注意运算顺序，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
要计算这块三角尺的体积，首先明确它是等腰直角三角柱中间挖去一个圆柱的组合体，组合体体积等于整体体积减去挖去部分的体积。柱体体积公式为“体积=底面积×厚度”，我们先分别计算完整三角柱的体积和挖去的圆柱体积，二者作差即可得到三角尺的体积公式，最后代入对应数值计算结果即可。
【解析】
1. 推导体积表达式：
等腰直角三角形的面积为$\frac{1}{2}a^2$，完整三角柱的体积为三角形底面积乘厚度，即$\frac{1}{2}a^2h$；
中间圆孔是圆柱，底面积为$π r^2$，圆柱体积为$π r^2h$；
因此三角尺体积$V = 完整三角柱体积 - 圆柱体积 = \frac{1}{2}a^2h - π r^2h$。
2. 代入数值计算：
将$a=6$，$r=0.5$，$h=0.2$，$π=3$代入公式：
$\begin{aligned}V&=\frac{1}{2}×6^2×0.2 - 3×0.5^2×0.2\\&=\frac{1}{2}×36×0.2 - 3×0.25×0.2\\&=3.6 - 0.15\\&=3.45\end{aligned}$
【答案】
$V=\frac{1}{2}a^2h - π r^2h$，V的值为3.45
【知识点】
列代数式，代数式求值，组合体体积计算
【点评】
本题考查组合体的体积计算，解题关键是将组合体拆分为熟悉的基础几何图形，利用“整体减空白”的思路求解，代入数值计算时注意运算顺序，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
5 如图，长为a、宽为b的长方形中涂色部分的面积是 （
A.$\frac{ab}{4}$
B.$\frac{ab}{2}$
C.$ab$
D.$\frac{a+b}{2}$
B
）A.$\frac{ab}{4}$
B.$\frac{ab}{2}$
C.$ab$
D.$\frac{a+b}{2}$
答案
5. B
解析
【分析】
首先观察涂色部分的构成：是两个高相等的三角形，高均等于长方形的宽$b$，两个三角形的底都在长方形的长边上，底的长度之和恰好等于长方形的长$a$。我们可以先分别写出两个三角形的面积表达式，再相加合并，即可求出涂色部分的总面积。
【解析】
设左侧阴影三角形的底长为$ x $，则右侧阴影三角形的底长为$ a-x $，两个三角形的高均为长方形的宽$ b $。
根据三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}×底×高 $：
左侧阴影面积：$ S_1=\frac{1}{2}xb $
右侧阴影面积：$ S_2=\frac{1}{2}(a-x)b $
涂色总面积：
$ S=S_1+S_2=\frac{1}{2}xb+\frac{1}{2}(a-x)b $
提取公因式化简得：
$ S=\frac{1}{2}b(x+a-x)=\frac{1}{2}ab $
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形面积计算
2. 整式的加减运算
【点评】
本题属于组合图形面积计算的基础题，解题的核心是发现两个阴影三角形的底之和等于长方形的长，无需单独计算两个三角形的底，利用整体思想代入计算即可快速得到结果，能有效考查学生对几何图形特征的观察能力和代数化简的能力。
【难度系数】
0.8
首先观察涂色部分的构成：是两个高相等的三角形，高均等于长方形的宽$b$，两个三角形的底都在长方形的长边上，底的长度之和恰好等于长方形的长$a$。我们可以先分别写出两个三角形的面积表达式，再相加合并，即可求出涂色部分的总面积。
【解析】
设左侧阴影三角形的底长为$ x $，则右侧阴影三角形的底长为$ a-x $，两个三角形的高均为长方形的宽$ b $。
根据三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}×底×高 $：
左侧阴影面积：$ S_1=\frac{1}{2}xb $
右侧阴影面积：$ S_2=\frac{1}{2}(a-x)b $
涂色总面积：
$ S=S_1+S_2=\frac{1}{2}xb+\frac{1}{2}(a-x)b $
提取公因式化简得：
$ S=\frac{1}{2}b(x+a-x)=\frac{1}{2}ab $
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形面积计算
2. 整式的加减运算
【点评】
本题属于组合图形面积计算的基础题，解题的核心是发现两个阴影三角形的底之和等于长方形的长，无需单独计算两个三角形的底，利用整体思想代入计算即可快速得到结果，能有效考查学生对几何图形特征的观察能力和代数化简的能力。
【难度系数】
0.8
6 小强周末从家里出发去书店，期间先步行一段路程，再坐公交车到书店。步行的平均速度为4 km/h，公交车的平均速度为45 km/h，小强先步行x min，再乘车y min，则小强家离书店的路程是
$(\frac{1}{15}x+\frac{3}{4}y)$
km；当x=45，y=10时，小强家离书店的路程是10.5
km。答案
6. 小强家离书店的路程是$(\frac{1}{15}x+\frac{3}{4}y)$ km；当x=45，y=10时，小强家离书店的路程是10.5 km
解析
【分析】
解题思路：本题属于行程问题，核心公式为“路程=速度×时间”。总路程为步行路程与乘车路程之和，解题时首先要统一单位：题目中速度单位为km/h，而给出的步行、乘车时间单位为min，需先将时间换算为以小时为单位，再分别计算两段路程后求和得到总路程的代数式；第二问只需将x、y的取值代入所得代数式，计算即可得到具体路程。
【解析】
1. 单位换算：
1小时=60分钟，因此步行时间$x\ \mathrm{min}=\frac{x}{60}\ \mathrm{h}$，乘车时间$y\ \mathrm{min}=\frac{y}{60}\ \mathrm{h}$。
2. 计算两段路程：
步行路程：$4×\frac{x}{60}=\frac{x}{15}\ \mathrm{km}$
乘车路程：$45×\frac{y}{60}=\frac{3y}{4}\ \mathrm{km}$
3. 总路程为两段路程之和，即总路程$=(\frac{1}{15}x+\frac{3}{4}y)\ \mathrm{km}$。
4. 代入$x=45$，$y=10$计算：
$\frac{1}{15}×45+\frac{3}{4}×10=3+7.5=10.5\ \mathrm{km}$
【答案】
$(\frac{1}{15}x+\frac{3}{4}y)$；$10.5$
【知识点】
列代数式；代数式求值；行程问题公式
【点评】
本题是基础的代数应用类题目，解题的关键是注意单位的统一，避免直接用分钟与km/h的速度相乘导致错误，代入求值时需注意运算的准确性。
【难度系数】
0.8
解题思路：本题属于行程问题，核心公式为“路程=速度×时间”。总路程为步行路程与乘车路程之和，解题时首先要统一单位：题目中速度单位为km/h，而给出的步行、乘车时间单位为min，需先将时间换算为以小时为单位，再分别计算两段路程后求和得到总路程的代数式；第二问只需将x、y的取值代入所得代数式，计算即可得到具体路程。
【解析】
1. 单位换算：
1小时=60分钟，因此步行时间$x\ \mathrm{min}=\frac{x}{60}\ \mathrm{h}$，乘车时间$y\ \mathrm{min}=\frac{y}{60}\ \mathrm{h}$。
2. 计算两段路程：
步行路程：$4×\frac{x}{60}=\frac{x}{15}\ \mathrm{km}$
乘车路程：$45×\frac{y}{60}=\frac{3y}{4}\ \mathrm{km}$
3. 总路程为两段路程之和，即总路程$=(\frac{1}{15}x+\frac{3}{4}y)\ \mathrm{km}$。
4. 代入$x=45$，$y=10$计算：
$\frac{1}{15}×45+\frac{3}{4}×10=3+7.5=10.5\ \mathrm{km}$
【答案】
$(\frac{1}{15}x+\frac{3}{4}y)$；$10.5$
【知识点】
列代数式；代数式求值；行程问题公式
【点评】
本题是基础的代数应用类题目，解题的关键是注意单位的统一，避免直接用分钟与km/h的速度相乘导致错误，代入求值时需注意运算的准确性。
【难度系数】
0.8
7 一根弹簧原长15 cm，它的所挂物体质量不能超过18 kg，并且所挂物体质量每增加1 kg，弹簧就伸长0.5 cm.
(1) 求弹簧长度 y(cm)与所挂物体质量 x(kg)之间满足的关系.
(2) 当所挂物体质量为8 kg时，弹簧长度是多少？
(3) 当弹簧长度为20 cm时，所挂物体质量是多少？
(1) 求弹簧长度 y(cm)与所挂物体质量 x(kg)之间满足的关系.
(2) 当所挂物体质量为8 kg时，弹簧长度是多少？
(3) 当弹簧长度为20 cm时，所挂物体质量是多少？
答案
7. (1) 由题意,得 $y=15+0.5x$ (2) 将 $x=8$ 代入(1)中的式子,得 $y=15+0.5×8=19$,所以弹簧长度是19 cm (3) 因为$20-15=5(\mathrm{cm}),5÷0.5=10(\mathrm{kg})$,所以所挂物体质量是10 kg
解析
【分析】
解决这道题首先要理清弹簧长度的组成逻辑：弹簧总长度=弹簧原长+挂物体后伸长的长度。（1）根据“每挂1kg物体弹簧伸长0.5cm”，可得挂x kg物体时弹簧伸长0.5x cm，加上固定原长15cm即可写出y与x的关系式；（2）已知所挂物体质量x，属于已知自变量求因变量，直接把x的值代入第一问得到的关系式计算，就能求出弹簧长度；（3）已知弹簧长度y，属于已知因变量求自变量，把y的值代入关系式解简单方程，或先算伸长总长度再除以每千克对应的伸长量，都能求出所挂物体质量。
【解析】
(1) 由题意，弹簧原长为15cm，挂x kg物体时弹簧伸长的长度为0.5x cm，因此弹簧总长度为原长加伸长长度，可得关系式：$y=15+0.5x$，其中所挂物体质量取值范围为$0≤ x≤18$。
(2) 当所挂物体质量$x=8\ \mathrm{kg}$时，将$x=8$代入$y=15+0.5x$得：
$y=15+0.5×8=19$
因此此时弹簧长度为19 cm。
(3) 当弹簧长度为20 cm时，先计算弹簧相比原长的伸长量：$20-15=5(\mathrm{cm})$，已知每挂1kg物体弹簧伸长0.5cm，因此所挂物体质量为：$5÷0.5=10(\mathrm{kg})$，10kg未超过限定的18kg，符合要求。
【答案】
(1) $y=15+0.5x$（$0≤ x≤18$）
(2) 19 cm
(3) 10 kg
【知识点】
列变量关系式、代数式求值、一元一次方程应用
【点评】
本题是结合弹簧伸长规律的实际应用问题，核心是理清弹簧总长度、原长、伸长长度三者的数量关系，掌握代入法求对应值的方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要理清弹簧长度的组成逻辑：弹簧总长度=弹簧原长+挂物体后伸长的长度。（1）根据“每挂1kg物体弹簧伸长0.5cm”，可得挂x kg物体时弹簧伸长0.5x cm，加上固定原长15cm即可写出y与x的关系式；（2）已知所挂物体质量x，属于已知自变量求因变量，直接把x的值代入第一问得到的关系式计算，就能求出弹簧长度；（3）已知弹簧长度y，属于已知因变量求自变量，把y的值代入关系式解简单方程，或先算伸长总长度再除以每千克对应的伸长量，都能求出所挂物体质量。
【解析】
(1) 由题意，弹簧原长为15cm，挂x kg物体时弹簧伸长的长度为0.5x cm，因此弹簧总长度为原长加伸长长度，可得关系式：$y=15+0.5x$，其中所挂物体质量取值范围为$0≤ x≤18$。
(2) 当所挂物体质量$x=8\ \mathrm{kg}$时，将$x=8$代入$y=15+0.5x$得：
$y=15+0.5×8=19$
因此此时弹簧长度为19 cm。
(3) 当弹簧长度为20 cm时，先计算弹簧相比原长的伸长量：$20-15=5(\mathrm{cm})$，已知每挂1kg物体弹簧伸长0.5cm，因此所挂物体质量为：$5÷0.5=10(\mathrm{kg})$，10kg未超过限定的18kg，符合要求。
【答案】
(1) $y=15+0.5x$（$0≤ x≤18$）
(2) 19 cm
(3) 10 kg
【知识点】
列变量关系式、代数式求值、一元一次方程应用
【点评】
本题是结合弹簧伸长规律的实际应用问题，核心是理清弹簧总长度、原长、伸长长度三者的数量关系，掌握代入法求对应值的方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
