4. 如图,直线 AC、EF 相交于点 O,OD 是$∠ AOB$ 的平分线,OE 在$∠ BOC$ 内,$∠ BOE=$$\dfrac{1}{2}∠ EOC,∠ DOE=72°,$求$∠ AOF$ 的度数.

设$∠BOE=x$,因为$∠BOE=\frac{1}{2}∠EOC$,所以$∠EOC=2x$,因为$∠AOB+∠BOC=180°$,所以$∠AOB=180°-3x$,因为 OD 是 $∠AOB$ 的平分线,所以 $∠AOD = ∠DOB = \frac{1}{2}∠AOB=\frac{180°-3x}{2}$,又因为$∠DOE=72°$,所以$∠DOB+∠BOE=72°$,即 $\frac{180°-3x}{2}+x=72°$,解得 $x = 36°$,即$∠BOE=36°$,所以$∠AOF=∠EOC=2x=72°$.

5. 如图,直线 $AB$、$CD$ 相交于点 $O$,$OE ⊥ AB$,$OF ⊥ CD$,垂足都为 $O$.
(1)求证: $∠ EOF = ∠ AOC$.
(2)若 $∠ AOD = 5∠ EOF$,求 $∠ EOF$ 的度数.

(1)证明:因为 $OE⊥AB$,$OF⊥CD$,所以$∠AOE=∠COF=∠DOF=90°$,所以$∠EOF+∠AOF=∠AOC+∠AOF=90°$,所以$∠EOF=∠AOC$.
(2)设$∠EOF=x$,所以$∠AOD=5∠EOF=5x$,$∠AOF=90°-x$,因为$∠AOD=∠AOF+∠DOF=∠AOF+90°$,所以 $90°-x+90°=5x$,解得 $x=30°$,所以$∠EOF=30°$.

6. 如图 1,已知$∠ AOB=120°$,$∠ COD=60°$,$OM$在$∠ AOC$内,$ON$在$∠ BOD$内,$∠ AOM=$$\dfrac{1}{3}∠ AOC$,$∠ BON=\dfrac{1}{3}∠ BOD$.(本题中所有角均大于$0°$且小于等于$180°$)
(1)$∠ COD$从图 1 中的位置绕点$O$逆时针旋转到$OC$与$OB$重合时,如图 2,则$∠ MON$的度数为.
(2)$∠ COD$从图 2 中的位置绕点$O$逆时针旋转$n°(0 ＜ n ＜ 120$且$n ≠ 60)$,求$∠ MON$的度数.
(3)$∠ COD$从图 2 中的位置绕点$O$顺时针旋转$n°(0 ＜ n ＜ 180$且$n ≠ 60a$,其中$a$为正整数),直接写出所有使$∠ MON=2∠ BOC$的$n$值.

(1)100° 解析:因为$∠AOM=\frac{1}{3}∠AOC$,$∠BON=\frac{1}{3}∠BOD$,所以$∠MOC=\frac{2}{3}∠AOC$,$∠DON=\frac{2}{3}∠BOD$,当$∠COD$从图 1 中的位置绕点 O 逆时针旋转到 OC 与 OB 重合时,如题图 2,所以$∠MON=∠MOB+∠BON=\frac{2}{3}∠AOC+\frac{1}{3}∠BOD=\frac{2}{3}×120°+\frac{1}{3}×60°=80°+20°=100°$.
(2)①当 $0＜n＜60$ 时,如图 3,因为$∠BOC=n°$,所以$∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°-n°$,$∠BOD=∠COD-∠BOC=60°-n°$,所以$∠MON=∠MOC+∠BOC+∠BON=\frac{2}{3}(120°-n°)+n°+\frac{1}{3}(60°-n°)=100°$;②当 $60＜n＜120$ 时,如图 4,因为$∠BOC=n°$,所以$∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°-n°$,$∠BOD=∠BOC-∠DOC=n°-60°$,所以$∠MON=∠MOC+∠DOC+∠DON=\frac{2}{3}(120°-n°)+60°+\frac{2}{3}(n°-60°)=100°$.综上所述,$∠MON$ 的度数为 100°.
(3)①当 $0＜n＜60$ 时,如图 5,因为$∠BOC=n°$,所以$∠MON=2∠BOC=2n°$,所以$∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+n°$,$∠BOD=∠BOC+∠DOC=n°+60°$,所以$∠MON=∠MOC+∠DOC-∠DON=\frac{2}{3}(120°+n°)+60°-\frac{2}{3}(n°+60°)=100°$,所以 $2n°=100°$,所以 $n=50$;②当 $60＜n＜120$ 时,如图 6,因为$∠BOC=n°$,所以$∠MON=2∠BOC=2n°$,所以$∠AOC=360°-(∠AOB+∠BOC)=360°-(120°+n°)=240°-n°$,$∠BOD=∠BOC+∠DOC=n°+60°$,所以$∠MON=360°-∠AOM-∠AOB-∠BON=360°-\frac{1}{3}(240°-n°)-120°-\frac{1}{3}(60°+n°)=140°$,所以 $2n°=140°$,所以 $n=70$;③当 $120＜n＜180$ 时,如图 7,因为$∠BOC=n°$,所以$∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-120°-n°-60°=180°-n°$,所以$∠AOC=∠AOD+∠COD=180°-n°+60°=240°-n°$,$∠BOD=∠AOD+∠AOB=180°-n°+120°=300°-n°$,因为$∠AOM=\frac{1}{3}∠AOC$,$∠BON=\frac{1}{3}∠BOD$,所以$∠MON=∠BOM-∠BON=(∠AOB+∠AOM)-∠BON=(120°+\frac{240°-n°}{3})-\frac{300°-n°}{3}=100°$,所以 $2n°=100°$,所以 $n=50$(不符合题意,舍去).综上所述,$n$ 的值为 50 或 70.