1. 如图,已知线段 $AB=6$,点 $C$ 在线段 $AB$ 的延长线上,且 $BC=2$,$D$ 为线段 $AC$ 的中点.
(1)求线段 $BD$ 的长.
(2)点 $E$ 在线段 $AC$ 上,且 $2CE=AB$,请判断 $E$ 是否为线段 $BD$ 的中点,并说明理由.

(1)因为 AB=6,BC=2,所以 AC=AB+BC=6+2=8.因为 D 为线段 AC 的中点,所以 $CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$,所以 $BD=CD-BC=4-2=2$.
(2)E 是线段 BD 的中点.理由如下:因为 AB=6,2CE=AB,所以 CE=3.因为 BC=2,所以 $BE=CE-BC=3-2=1$.由(1)可知,CD=4,所以 $DE=CD-CE=4-3=1$,所以 BE=DE,即 E 是线段 BD 的中点.

2. 如图,已知 $C$ 是线段 $AB$ 上一点,且 $AC=2CB$,$D$ 是线段 $AB$ 的中点,且 $AD=6$.
(1)求 $CD$ 的长.
(2)若 $F$ 是线段 $AB$ 上一点,且 $CF=\dfrac{1}{2}CD$,求 $AF$ 的长.

(1)因为 D 是线段 AB 的中点,且 AD=6,所以 AB=2AD=2×6=12.因为 AC=2CB,AC+CB=AB,所以 $AC=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}×12=8$,所以 $CD=AC-AD=8-6=2$.
(2)由(1)知,CD=2.因为 $CF=\frac{1}{2}CD$,所以 $CF=\frac{1}{2}×2=1$.如图 1,当点 F 在线段 CD 上时,$DF=CD-CF=2-1=1$,所以 $AF=AD+DF=6+1=7$;如图 2,当点 F 在线段 CB 上时,$AF=AC+CF=8+1=9$.综上所述,AF 的长为 7 或 9.

3. 已知点 $C$ 在直线 $AB$ 上,$D$、$E$ 分别是线段 $AC$、$CB$ 的中点.
(1) 如图,若点 $C$ 在线段 $AB$ 上,$AC=6,CB=10$,则线段 $DE$ 的长是.
(2) 若 $C$ 为线段 $AB$ 上任意一点,满足 $AC+CB=a$,你能求出 $DE$ 的长吗? 请说明理由.
(3) 若 $C$ 为线段 $AB$ 外任意一点,$AC=m,CB=n$,求线段 $DE$ 的长.

(1)8 解析:因为 D、E 分别是线段 AC、CB 的中点,所以 $DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$, $CE=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}×10=5$,所以 $DE=DC+CE=3+5=8$.
(2)$DE=\frac{1}{2}a$.理由如下:因为 D、E 分别是线段 AC、CB 的中点,所以 $DC=\frac{1}{2}AC$,$CE=\frac{1}{2}CB$,所以 $DE=DC+CE=\frac{1}{2}(AC+CB)=\frac{1}{2}a$.
(3)如图 1,当点 C 在线段 BA 的延长线上时,因为 D、E 分别是线段 AC、CB 的中点,所以 $DC=\frac{1}{2}AC$,$CE=\frac{1}{2}CB$,所以 $DE=CE-DC=\frac{1}{2}(CB-AC)=\frac{1}{2}(n-m)$;如图 2,当点 C 在线段 AB 的延长线上时,因为 D、E 分别是线段 AC、CB 的中点,所以 $DC=\frac{1}{2}AC$,$CE=\frac{1}{2}CB$,所以 $DE=DC-CE=\frac{1}{2}(AC-CB)=\frac{1}{2}(m-n)$.综上所述,线段 DE 的长为 $\frac{1}{2}(n-m)$或$\frac{1}{2}(m-n)$.