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2. 一个盒子中有$m$个红球,8个白球,$n$个黑球,每个球除颜色外均相同,从中任取1个球. 如果取得白球的可能性与不是白球的可能性相同,那么$m$与$n$的关系是（
A.$m=3,n=5$
B.$m=n=4$
C.$m+n=4$
D.$m+n=8$
D
）A.$m=3,n=5$
B.$m=n=4$
C.$m+n=4$
D.$m+n=8$
答案
2.D
解析
【分析】首先明确“取得白球的可能性与不是白球的可能性相同”的含义是两者的概率相等。先计算总球数，再分别写出白球的概率和非白球的概率，根据概率相等列等式，化简后即可得到m与n的关系。
【解析】总球数为 $ m + 8 + n $，取得白球的概率为 $ \frac{8}{m + 8 + n} $，取得不是白球的概率为 $ \frac{m + n}{m + 8 + n} $。由题意两者可能性相同，即概率相等，因此：
$ \frac{8}{m + 8 + n} = \frac{m + n}{m + 8 + n} $
因为分母不为0，所以分子相等，得 $ m + n = 8 $，对应选项D。
【答案】D
【知识点】概率计算、可能性大小
【点评】本题是概率基础应用题，核心是理解“可能性相同”对应概率相等，通过简单的等式化简即可求解，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.7
【解析】总球数为 $ m + 8 + n $，取得白球的概率为 $ \frac{8}{m + 8 + n} $，取得不是白球的概率为 $ \frac{m + n}{m + 8 + n} $。由题意两者可能性相同，即概率相等，因此：
$ \frac{8}{m + 8 + n} = \frac{m + n}{m + 8 + n} $
因为分母不为0，所以分子相等，得 $ m + n = 8 $，对应选项D。
【答案】D
【知识点】概率计算、可能性大小
【点评】本题是概率基础应用题，核心是理解“可能性相同”对应概率相等，通过简单的等式化简即可求解，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.7
3. 在一种扑克牌游戏中,玩家可以利用“牌值”来预估还没有发出的牌的点数大小,“牌值”的计算方式为:没有发牌时,“牌值”为0;发出的牌为点数小的牌(2 至 9)时,“牌值”加 1;发出的牌为点数大的牌(10、J、Q、K、A、大王、小王)时,“牌值”减 1. 若一副完整的扑克牌已发出 34 张,且此时的“牌值”为 10,则随机发出的下一张牌的可能性判断正确的是（
A.点数小的牌可能性大
B.点数大的牌可能性大
C.两者可能性一样大
D.无法判断
C
）A.点数小的牌可能性大
B.点数大的牌可能性大
C.两者可能性一样大
D.无法判断
答案
3. C 提示:设一副完整的扑克牌已发出的34张牌中点数小的张数为x张,点数大的张数为y张.根据题意,得{x+y=34,x−y=10, 解得{x=22,y=12. 所以已发出的34张牌中点数小的张数为22张,点数大的张数为12张.所以剩余的20张牌中点数大的张数为5×4+2−12=10张,点数小的张数为8×4−22=10张.
因为剩下的牌中每一张牌被发出的机会皆相等,所以下一张发出的牌是点数大的牌的可能性是10/20=1/2,下一张发出的牌是点数小的牌的可能性是10/20=1/2,所以两者可能性一样大.
因为剩下的牌中每一张牌被发出的机会皆相等,所以下一张发出的牌是点数大的牌的可能性是10/20=1/2,下一张发出的牌是点数小的牌的可能性是10/20=1/2,所以两者可能性一样大.
解析
【分析】首先明确完整扑克牌的构成：点数小的牌（2-9）共8种，每种4张，合计32张；点数大的牌（10、J、Q、K、A、大王、小王）共22张，总牌数54张。根据牌值规则，设已发的小牌数为x，大牌数为y，结合已发牌总数和牌值可列二元一次方程组，求解已发的小、大牌数量，再计算剩余牌的小、大牌数量，最后通过概率公式判断可能性大小。
【解析】一副完整扑克牌中，点数小的牌（2~9）总张数为$8×4=32$张；点数大的牌总张数为$5×4+2=22$张，总牌数为$32+22=54$张。
设已发出的34张牌中点数小的牌有$x$张，点数大的牌有$y$张，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 34 \\ x - y = 10\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 22 \\ y = 12\end{cases}$
因此，剩余牌中点数小的牌有$32 - 22 = 10$张，点数大的牌有$22 - 12 = 10$张，剩余总牌数为$54 - 34 = 20$张。
下一张发出的牌是点数小的概率为$\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$，是点数大的概率为$\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$，故两者可能性一样大。
【答案】C
【知识点】二元一次方程组应用，概率计算
【点评】本题结合扑克牌游戏场景，考查二元一次方程组的实际应用与概率计算，关键是准确掌握扑克牌的构成，通过方程求出已发牌数量后，再计算剩余牌的对应数量，进而判断概率，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】一副完整扑克牌中，点数小的牌（2~9）总张数为$8×4=32$张；点数大的牌总张数为$5×4+2=22$张，总牌数为$32+22=54$张。
设已发出的34张牌中点数小的牌有$x$张，点数大的牌有$y$张，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 34 \\ x - y = 10\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 22 \\ y = 12\end{cases}$
因此，剩余牌中点数小的牌有$32 - 22 = 10$张，点数大的牌有$22 - 12 = 10$张，剩余总牌数为$54 - 34 = 20$张。
下一张发出的牌是点数小的概率为$\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$，是点数大的概率为$\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$，故两者可能性一样大。
【答案】C
【知识点】二元一次方程组应用，概率计算
【点评】本题结合扑克牌游戏场景，考查二元一次方程组的实际应用与概率计算，关键是准确掌握扑克牌的构成，通过方程求出已发牌数量后，再计算剩余牌的对应数量，进而判断概率，难度适中。
【难度系数】0.6
4. 小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数,从中随机抽取2张,并将它们上面的数相加.重复这样做,每次所得的和都是6,8,10,12 中的一个数,并且这四个数都能取到.给出下列四个结论：
①卡片上的数最小可以是1；
②卡片上的数最大可以是10；
③卡片上的数可以是4个连续的整数；
④卡片上的数有且仅有2个数相等.
其中所有正确结论的序号是
①卡片上的数最小可以是1；
②卡片上的数最大可以是10；
③卡片上的数可以是4个连续的整数；
④卡片上的数有且仅有2个数相等.
其中所有正确结论的序号是
①④
.答案
4. ①④ 提示:设这四个数字分别为A,B,C,D且A≤B≤C≤D.因为每次所得两个数字的和最小是6,所以A+B=6.又因为每次所得两个数字的和最大是12,所以C+D=12.因为每次所得两个数字的和有且仅有4种,所以四个数字中有且仅有两个数字相同.若A=1,则B=5,所以C=5,D=7,符合题意,故①正确;若D=10,则C=2,所以A≤B≤2,A+B≤4,不符合题意,故②错误;因为必有两个数字相同,所以不可能是4个连续整数,故③错误,④正确.
解析
【分析】
首先设四个卡片上的正整数按从小到大排列为$A ≤ B ≤ C ≤ D$，根据“抽取2张相加的和最小为6，最大为12”，可得最小和$A+B=6$，最大和$C+D=12$；再结合“和仅有6、8、10、12四种”，推断四个数中存在且仅存在两个相等的数（若四个数全不同，两两和有6种，超过4种；若三个数相等，和的种类也不符合）。最后逐一验证四个结论的正确性。
【解析】
设四个正整数按从小到大排列为$A ≤ B ≤ C ≤ D$，根据题意：
1. 两两相加的最小和为$A+B$，最大和为$C+D$，因此$A+B=6$，$C+D=12$；
2. 由于两两相加的和仅有6、8、10、12四种，说明四个数中存在重复：若四个数全不同，两两组合有6种和，与题意矛盾；若三个数相等，和的种类也会超过4种，故四个数中有且仅有两个数相等。
验证各结论：
①若卡片上最小数为1，即$A=1$，则$B=6-1=5$，结合$C+D=12$，取$C=5$，$D=7$，此时两两和为$1+5=6$、$1+7=8$、$5+5=10$、$5+7=12$，恰好为题目要求的四个和，故①正确；
②若最大数为10，即$D=10$，则$C=12-10=2$，又$A+B=6$，且$A ≤ B ≤ 2$，则$A+B ≤ 2+2=4 ＜ 6$，矛盾，故②错误；
③若四个数为连续整数，设为$n, n+1, n+2, n+3$，两两和最小为$2n+1$，最大为$2n+5$，中间会产生$2n+2、2n+3、2n+4$共5种和，与题意仅4种和矛盾，故③错误；
④由上述分析，四个数中有且仅有两个数相等，故④正确。
【答案】
①④
【知识点】
数的组合推理、一元一次方程应用
【点评】
本题通过设数排序，利用两两和的最值建立等式，结合和的数量限制推断数的重复特征，再逐一验证结论，重点考查逻辑推理能力，需注意数的大小关系对和的影响，是一道中等难度的数论推理题。
【难度系数】
0.5
首先设四个卡片上的正整数按从小到大排列为$A ≤ B ≤ C ≤ D$，根据“抽取2张相加的和最小为6，最大为12”，可得最小和$A+B=6$，最大和$C+D=12$；再结合“和仅有6、8、10、12四种”，推断四个数中存在且仅存在两个相等的数（若四个数全不同，两两和有6种，超过4种；若三个数相等，和的种类也不符合）。最后逐一验证四个结论的正确性。
【解析】
设四个正整数按从小到大排列为$A ≤ B ≤ C ≤ D$，根据题意：
1. 两两相加的最小和为$A+B$，最大和为$C+D$，因此$A+B=6$，$C+D=12$；
2. 由于两两相加的和仅有6、8、10、12四种，说明四个数中存在重复：若四个数全不同，两两组合有6种和，与题意矛盾；若三个数相等，和的种类也会超过4种，故四个数中有且仅有两个数相等。
验证各结论：
①若卡片上最小数为1，即$A=1$，则$B=6-1=5$，结合$C+D=12$，取$C=5$，$D=7$，此时两两和为$1+5=6$、$1+7=8$、$5+5=10$、$5+7=12$，恰好为题目要求的四个和，故①正确；
②若最大数为10，即$D=10$，则$C=12-10=2$，又$A+B=6$，且$A ≤ B ≤ 2$，则$A+B ≤ 2+2=4 ＜ 6$，矛盾，故②错误；
③若四个数为连续整数，设为$n, n+1, n+2, n+3$，两两和最小为$2n+1$，最大为$2n+5$，中间会产生$2n+2、2n+3、2n+4$共5种和，与题意仅4种和矛盾，故③错误；
④由上述分析，四个数中有且仅有两个数相等，故④正确。
【答案】
①④
【知识点】
数的组合推理、一元一次方程应用
【点评】
本题通过设数排序，利用两两和的最值建立等式，结合和的数量限制推断数的重复特征，再逐一验证结论，重点考查逻辑推理能力，需注意数的大小关系对和的影响，是一道中等难度的数论推理题。
【难度系数】
0.5
5. 小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有7根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜.若由小明先取，且小明一定能获胜，则小明第一次应该取走火柴棒的根数是
1
.答案
5. 1 提示:若小明第一次取走1根,小丽也取走1根,小明第二次取2根,则接下来小丽不论取走1根还是2根,小明都将取走最后一根;若小明第一次取走1根,小丽取走2根,小明第二次取1根,则接下来小丽不论取走1根还是2根,小明都将取走最后一根.所以若由小明先取,且小明一定能获胜,则小明第一次应取走火柴棒的根数为1.
解析
【分析】
要解决这个火柴棒游戏的必胜问题，核心是找到控制每轮取火柴总数的策略。已知每次可取1根或2根，两人每轮取的火柴总数可控制为1+2=3根。总共有7根火柴，先计算7除以3的余数，余数就是小明第一次要取的火柴数，这样剩下的火柴数为3的倍数，之后不管小丽取1还是2根，小明都取对应数量让每轮取数和为3，就能保证小明取到最后一根获胜。
【解析】
1. 确定每轮可控取数和：因为每次取1根或2根，所以两人每轮取的总数可固定为1+2=3根。
2. 计算总火柴数与3的关系：7÷3=2……1，即7=3×2+1，余数为1。
3. 小明第一次取余数对应的1根，此时剩下7-1=6根，6是3的倍数。
4. 后续操作：若小丽取1根，小明就取2根；若小丽取2根，小明就取1根，每轮共取3根，6根刚好两轮，小明会取走最后一根，获胜。
【答案】
1
【知识点】
游戏必胜策略；有余数除法
【点评】
本题是典型的策略类数学应用题，通过有余数除法的余数确定先手的必胜取数，掌握“控制每轮取数和为固定值”的思路即可快速解题，能锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
要解决这个火柴棒游戏的必胜问题，核心是找到控制每轮取火柴总数的策略。已知每次可取1根或2根，两人每轮取的火柴总数可控制为1+2=3根。总共有7根火柴，先计算7除以3的余数，余数就是小明第一次要取的火柴数，这样剩下的火柴数为3的倍数，之后不管小丽取1还是2根，小明都取对应数量让每轮取数和为3，就能保证小明取到最后一根获胜。
【解析】
1. 确定每轮可控取数和：因为每次取1根或2根，所以两人每轮取的总数可固定为1+2=3根。
2. 计算总火柴数与3的关系：7÷3=2……1，即7=3×2+1，余数为1。
3. 小明第一次取余数对应的1根，此时剩下7-1=6根，6是3的倍数。
4. 后续操作：若小丽取1根，小明就取2根；若小丽取2根，小明就取1根，每轮共取3根，6根刚好两轮，小明会取走最后一根，获胜。
【答案】
1
【知识点】
游戏必胜策略；有余数除法
【点评】
本题是典型的策略类数学应用题，通过有余数除法的余数确定先手的必胜取数，掌握“控制每轮取数和为固定值”的思路即可快速解题，能锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
6. 如图，A，B是数轴上的两点，在线段AB上
任取一点C，则点C到表示−1的点的距离
不大于2的可能性
的点的距离不大于1的可能性(填“大于”
“小于”或“等于”).
任取一点C，则点C到表示−1的点的距离
不大于2的可能性
大于
点C到表示0的点的距离不大于1的可能性(填“大于”
“小于”或“等于”).
答案
6. 大于 提示:如图,点C落在线段AB上任一点的可能性相同.当点C落在线段AG上时,事件“点C到表示−1的点的距离不大于2”发生;当点C落在线段EG上时,事件“点C到表示0的点的距离不大于1”发生.所以事件“点C到表示−1的点的距离不大于2”发生的可能性大于事件“点C到表示0的点的距离不大于1”发生的可能性。
解析
【分析】首先确定数轴上A、B的位置，A点表示-3，B点表示2，线段AB总长度为5。由于点C在线段AB上任意选取的可能性相同，因此事件发生的可能性大小由对应符合条件的线段长度决定。需分别解两个距离不等式，找到对应的线段范围并计算长度，再比较长度大小即可判断可能性。
【解析】1. 确定线段AB的总长度：A点为-3，B点为2，总长度为$2 - (-3)=5$。
2. 计算“点C到表示-1的点的距离不大于2”对应的线段：
距离不大于2即$|C - (-1)| ≤ 2$，解不等式得：$-2 ≤ C +1 ≤ 2$，即$-3 ≤ C ≤ 1$，该线段长度为$1 - (-3)=4$。
3. 计算“点C到表示0的点的距离不大于1”对应的线段：
距离不大于1即$|C - 0| ≤ 1$，解不等式得：$-1 ≤ C ≤ 1$，该线段长度为$1 - (-1)=2$。
4. 比较可能性：因为$4＞2$，所以“点C到表示-1的点的距离不大于2”的可能性更大。
【答案】大于
【知识点】数轴、绝对值不等式、概率初步
【点评】本题结合数轴与概率基本概念，通过计算符合条件的线段长度比较可能性，关键是正确解绝对值不等式确定线段范围，属于基础应用题型。
【难度系数】0.5
【解析】1. 确定线段AB的总长度：A点为-3，B点为2，总长度为$2 - (-3)=5$。
2. 计算“点C到表示-1的点的距离不大于2”对应的线段：
距离不大于2即$|C - (-1)| ≤ 2$，解不等式得：$-2 ≤ C +1 ≤ 2$，即$-3 ≤ C ≤ 1$，该线段长度为$1 - (-3)=4$。
3. 计算“点C到表示0的点的距离不大于1”对应的线段：
距离不大于1即$|C - 0| ≤ 1$，解不等式得：$-1 ≤ C ≤ 1$，该线段长度为$1 - (-1)=2$。
4. 比较可能性：因为$4＞2$，所以“点C到表示-1的点的距离不大于2”的可能性更大。
【答案】大于
【知识点】数轴、绝对值不等式、概率初步
【点评】本题结合数轴与概率基本概念，通过计算符合条件的线段长度比较可能性，关键是正确解绝对值不等式确定线段范围，属于基础应用题型。
【难度系数】0.5
7. 某人要去一风景区游玩,每天某一时段开往该风景区有三辆汽车(票价相同),但是他不知道这些车的舒适程度,也不知道汽车开过来的顺序.他采用了这样的乘车方案:先观察后上车.当第一辆车开来时,他不上车,而是仔细观察车的舒适状况:如果第二辆车的状况比第一辆好,他就上第二辆车;如果第二辆车的状况比第一辆差,他就上第三辆车.如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等,请尝试着解决下面的问题:
(1) 三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能?
(2) 你认为此人采用的方案,使自己乘坐上等车的可能性有多大?
(1) 三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能?
(2) 你认为此人采用的方案,使自己乘坐上等车的可能性有多大?
答案
7. 解:(1)三辆车按出现的先后顺序有6种可能:(上、中、下),(上、下、中),(中、上、下),(中、下、上),(下、上、中),(下、中、上).
(2)由于不知道任何信息,所以只能假定6种顺序出现的可能性相同.由(1)知,6种顺序的结果依次是下、中、上、上、上、中,所以此人乘坐上等车的可能性是1/2.
(2)由于不知道任何信息,所以只能假定6种顺序出现的可能性相同.由(1)知,6种顺序的结果依次是下、中、上、上、上、中,所以此人乘坐上等车的可能性是1/2.
解析
【分析】
首先，第(1)问需明确三辆车（上、中、下三等）的先后顺序是三个不同元素的全排列，共6种可能，需逐一列举；第(2)问需根据给定的乘车方案，对应每种顺序判断乘坐的车辆，统计其中乘坐上等车的情况数，再除以总情况数6，即可得到乘坐上等车的概率。
【解析】
(1) 三辆车按舒适程度分为上、中、下三等，它们出现的先后顺序是三个不同元素的全排列，共有 $3! = 6$ 种不同可能，分别为：(上、中、下)、(上、下、中)、(中、上、下)、(中、下、上)、(下、上、中)、(下、中、上)。
(2) 假设6种顺序出现的可能性相同，根据乘车方案：第一辆车不上，若第二辆车比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，逐一分析每种顺序下乘坐的车辆：
顺序(上、中、下)：第一辆上，第二辆中比上差，上第三辆→下等车；
顺序(上、下、中)：第一辆上，第二辆下比上差，上第三辆→中等车；
顺序(中、上、下)：第一辆中，第二辆上比中好，上第二辆→上等车；
顺序(中、下、上)：第一辆中，第二辆下比中差，上第三辆→上等车；
顺序(下、上、中)：第一辆下，第二辆上比下好，上第二辆→上等车；
顺序(下、中、上)：第一辆下，第二辆中比下好，上第二辆→中等车；
其中乘坐上等车的情况有3种，因此此人乘坐上等车的概率为 $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 三辆车按出现的先后顺序共有6种不同的可能，分别是(上、中、下)、(上、下、中)、(中、上、下)、(中、下、上)、(下、上、中)、(下、中、上)；
(2) 此人采用的方案使自己乘坐上等车的可能性为 $\frac{1}{2}$。
【知识点】
排列组合、概率的计算
【点评】
本题结合实际场景考查排列与概率的应用，关键是准确列举所有可能的车辆顺序，再根据给定的乘车规则判断每种顺序下的乘车结果，进而计算概率，难度适中，需注意逻辑对应关系。
【难度系数】
0.6
首先，第(1)问需明确三辆车（上、中、下三等）的先后顺序是三个不同元素的全排列，共6种可能，需逐一列举；第(2)问需根据给定的乘车方案，对应每种顺序判断乘坐的车辆，统计其中乘坐上等车的情况数，再除以总情况数6，即可得到乘坐上等车的概率。
【解析】
(1) 三辆车按舒适程度分为上、中、下三等，它们出现的先后顺序是三个不同元素的全排列，共有 $3! = 6$ 种不同可能，分别为：(上、中、下)、(上、下、中)、(中、上、下)、(中、下、上)、(下、上、中)、(下、中、上)。
(2) 假设6种顺序出现的可能性相同，根据乘车方案：第一辆车不上，若第二辆车比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，逐一分析每种顺序下乘坐的车辆：
顺序(上、中、下)：第一辆上，第二辆中比上差，上第三辆→下等车；
顺序(上、下、中)：第一辆上，第二辆下比上差，上第三辆→中等车；
顺序(中、上、下)：第一辆中，第二辆上比中好，上第二辆→上等车；
顺序(中、下、上)：第一辆中，第二辆下比中差，上第三辆→上等车；
顺序(下、上、中)：第一辆下，第二辆上比下好，上第二辆→上等车；
顺序(下、中、上)：第一辆下，第二辆中比下好，上第二辆→中等车；
其中乘坐上等车的情况有3种，因此此人乘坐上等车的概率为 $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 三辆车按出现的先后顺序共有6种不同的可能，分别是(上、中、下)、(上、下、中)、(中、上、下)、(中、下、上)、(下、上、中)、(下、中、上)；
(2) 此人采用的方案使自己乘坐上等车的可能性为 $\frac{1}{2}$。
【知识点】
排列组合、概率的计算
【点评】
本题结合实际场景考查排列与概率的应用，关键是准确列举所有可能的车辆顺序，再根据给定的乘车规则判断每种顺序下的乘车结果，进而计算概率，难度适中，需注意逻辑对应关系。
【难度系数】
0.6
