19. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM相交于点N，∠AOE=∠BNM。
(1)请说明OE//DM。
(2)若OE平分∠AOF，∠ODC=30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数。

19.(1)证明:
∵∠BNM=∠AND,∠AOE=∠BNM,
∴∠AOE=∠AND,
∴OE//DM。
(2)解:
∵扶手AB与底座CD都平行于地面EF,
∴AB//CD,
∴∠BOD=∠ODC=30°。
∵∠AOF+∠BOD=180°,
∴∠AOF=180°−∠BOD=150°。
∵OE平分∠AOF,
∴∠EOF=1/2∠AOF=75°,
∴∠BOE=∠BOD+∠EOF=30°+75°=105°。
∵OE//DM,
∴∠ANM=∠BOE=105°。

20.中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷。如图①是一个“互”字，如图②是由图①抽象出的几何图形，其中$AB// CD$，点$E$，$M$，$F$在同一条直线上，点$G$，$H$，$N$在同一条直线上，且$∠ AEF=∠ GHD$，$MG// FN$。试说明：$∠ EFN=∠ G$。

20.解:如图,延长EF交CD于点P。
∵AB//CD,
∴∠AEF=∠EPD。
又
∵∠AEF=∠GHD,
∴∠EPD=∠GHD。
∴EP//GH。
∴∠EFN+∠FNG=180°。
又
∵MG//FN,
∴∠FNG+∠G=180°。
∴∠EFN=∠G。

数学兴趣小组活动中,小明将等腰直角三角板放到印有等宽的平行线的作业纸上,如图①,$l// m// n$,三角板的直角顶点A落在直线m上,直角边AB与直线l相交于点D,直角边AC与直线n相交于点E,斜边BC分别与直线l,m,n相交于点F,G,H。
(1)当$∠BDF=35°$时,$∠CAG=$°;
当$∠BDF=20°$时,$∠CAG=$°。
(2)请从下列的A,B两题中任选一题作答,我选择题。
A.如图①,若$∠BDF=α(0°＜α＜90°)$,求$∠CAG$的度数(用含α的代数式表示)。
B.如图②,连接GE,若$∠GEH +∠AEH=180°$,则$∠GEH$与$∠BDF$有什么数量关系?请说明理由。

【答案】(1)55 70
(2)A:解:$\because l// m,\therefore ∠BAG=∠BDF$。
$\because ∠BDF=α,\therefore ∠BAG=α$。
$\because ∠BAC=90°$,
$\therefore ∠CAG=∠BAC-∠BAG=90°-α$。
B:数量关系是:$∠GEH+∠BDF=90°$。
理由如下:$\because l// m,\therefore ∠BDF=∠BAG$。
$\because m// n,\therefore ∠CAG+∠AEH=180°$。
$\because ∠GEH+∠AEH=180°$,
$\therefore ∠GEH=∠CAG$。
$\because ∠BAC=90°,\therefore ∠BAG+∠CAG=90°$,
$\therefore ∠GEH+∠BDF=90°$。
【解析】(1)根据平行线的性质得$∠BDF=∠DAG$,又$\because ∠DAG+∠CAG=90°$,∴当$∠BDF=35°$时,$∠CAG=90°-35°=55°$;当$∠BDF=20°$时,$∠CAG=90°-20°=70°$。

(1)55 70
(2)A:解:$\because l// m,\therefore ∠BAG=∠BDF$。
$\because ∠BDF=α,\therefore ∠BAG=α$。
$\because ∠BAC=90°$,
$\therefore ∠CAG=∠BAC-∠BAG=90°-α$。
B:数量关系是:$∠GEH+∠BDF=90°$。
理由如下:$\because l// m,\therefore ∠BDF=∠BAG$。
$\because m// n,\therefore ∠CAG+∠AEH=180°$。
$\because ∠GEH+∠AEH=180°$,
$\therefore ∠GEH=∠CAG$。
$\because ∠BAC=90°,\therefore ∠BAG+∠CAG=90°$,
$\therefore ∠GEH+∠BDF=90°$。
【解析】(1)根据平行线的性质得$∠BDF=∠DAG$,又$\because ∠DAG+∠CAG=90°$,
∴当$∠BDF=35°$时,$∠CAG=90°-35°=55°$;当$∠BDF=20°$时,$∠CAG=90°-20°=70°$。