登录
12. 如图9所示,将底面积为$40\ \mathrm{cm}^2$的茶壶放在面积为$0.8\ \mathrm{m}^2$的水平桌面中央,茶壶内盛有$0.6\ \mathrm{kg}$水,水面到壶底的高度为$12\ \mathrm{cm}$,此时整个茶壶对桌面的压强为$2\ 500\ \mathrm{Pa}$,$g$取$10\ \mathrm{N/kg}$。求:
(1)水对茶壶底部的压强;
(2)茶壶底部受到水的压力;
(3)空茶壶的质量。
(1)水对茶壶底部的压强;
(2)茶壶底部受到水的压力;
(3)空茶壶的质量。
答案
(1) 水对茶壶底部的压强为$1200\ \mathrm{Pa}$；
(2) 茶壶底部受到水的压力为$4.8\ \mathrm{N}$；
(3) 空茶壶的质量为$0.4\ \mathrm{kg}$。
(2) 茶壶底部受到水的压力为$4.8\ \mathrm{N}$；
(3) 空茶壶的质量为$0.4\ \mathrm{kg}$。
解析
(1) 首先统一单位，水深h=12cm=0.12m，根据液体压强公式$p=\rho gh$，代入水的密度$\rho_{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$、g=10N/kg计算水对茶壶底部的压强。
(2) 茶壶底面积$S=40\ \mathrm{cm}^2=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^2$，根据压强公式变形$F=pS$，代入第一问得到的水对壶底的压强，计算茶壶底部受到水的压力。
(3) 水平桌面受到的压力等于茶壶和水的总重力，先根据$F_{总}=p_{桌}S$算出总压力即总重力，再计算出水的重力$G_{水}=m_{水}g$，用总重力减去水的重力得到空茶壶的重力，最后根据$G=mg$变形得到$m=\frac{G}{g}$，算出空茶壶的质量。
(2) 茶壶底面积$S=40\ \mathrm{cm}^2=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^2$，根据压强公式变形$F=pS$，代入第一问得到的水对壶底的压强，计算茶壶底部受到水的压力。
(3) 水平桌面受到的压力等于茶壶和水的总重力，先根据$F_{总}=p_{桌}S$算出总压力即总重力，再计算出水的重力$G_{水}=m_{水}g$，用总重力减去水的重力得到空茶壶的重力，最后根据$G=mg$变形得到$m=\frac{G}{g}$，算出空茶壶的质量。
13.一底面积为$200\ \mathrm{cm}^2$的圆柱形容器置于水平桌面上，里面盛有$30\ \mathrm{cm}$深的水。把一个体积为$1× 10^{-3}\ \mathrm{m}^3$的实心小球用细线拴好并放入水中，当小球刚好浸没在水中时（如图10甲所示），细线所受拉力刚好为$5\ \mathrm{N}$；然后手松开细线，小球静止在水中时（如图10乙所示）。$g$取$10\ \mathrm{N/kg}$。求：
（1）小球浸没在水中时受到的浮力大小；
（2）小球的密度；
（3）松开细线后，小球静止在水中时容器底部受到水的压强。
（1）小球浸没在水中时受到的浮力大小；
（2）小球的密度；
（3）松开细线后，小球静止在水中时容器底部受到水的压强。
答案
（1）小球浸没在水中时受到的浮力为$\boldsymbol{10\ \mathrm{N}}$；（2）小球的密度为$\boldsymbol{1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}$；（3）松开细线后小球静止时容器底部受到水的压强为$\boldsymbol{3500\ \mathrm{Pa}}$。
解析
（1）小球浸没在水中时，排开水的体积等于小球自身的体积，即$V_{\mathrm{排}}=V_{\mathrm{球}}=1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，根据阿基米德原理计算浮力：
$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排}}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=10\ \mathrm{N}$
（2）对甲图中静止的小球受力分析：小球受竖直向上的浮力、竖直向上的细线拉力，竖直向下的重力，三力平衡，满足$G=F_{\mathrm{浮}}+F_{\mathrm{拉}}$，代入数据得小球重力：
$G=10\ \mathrm{N}+5\ \mathrm{N}=15\ \mathrm{N}$
由$G=mg$得小球质量：$m=\frac{G}{g}=\frac{15\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=1.5\ \mathrm{kg}$
根据密度公式得小球密度：
$\rho_{\mathrm{球}}=\frac{m}{V_{\mathrm{球}}}=\frac{1.5\ \mathrm{kg}}{1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
（3）松开细线后小球沉底，仍完全浸没在水中，排开水的体积不变，容器底面积$S=200\ \mathrm{cm}^2=0.02\ \mathrm{m}^2$，水面上升的高度：
$\Delta h=\frac{V_{\mathrm{排}}}{S}=\frac{1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}{0.02\ \mathrm{m}^2}=0.05\ \mathrm{m}$
此时容器内总水深：$h=h_0+\Delta h=0.3\ \mathrm{m}+0.05\ \mathrm{m}=0.35\ \mathrm{m}$
根据液体压强公式计算容器底部受到的水的压强：
$p=\rho_{\mathrm{水}}gh=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.35\ \mathrm{m}=3500\ \mathrm{Pa}$
$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排}}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=10\ \mathrm{N}$
（2）对甲图中静止的小球受力分析：小球受竖直向上的浮力、竖直向上的细线拉力，竖直向下的重力，三力平衡，满足$G=F_{\mathrm{浮}}+F_{\mathrm{拉}}$，代入数据得小球重力：
$G=10\ \mathrm{N}+5\ \mathrm{N}=15\ \mathrm{N}$
由$G=mg$得小球质量：$m=\frac{G}{g}=\frac{15\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=1.5\ \mathrm{kg}$
根据密度公式得小球密度：
$\rho_{\mathrm{球}}=\frac{m}{V_{\mathrm{球}}}=\frac{1.5\ \mathrm{kg}}{1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
（3）松开细线后小球沉底，仍完全浸没在水中，排开水的体积不变，容器底面积$S=200\ \mathrm{cm}^2=0.02\ \mathrm{m}^2$，水面上升的高度：
$\Delta h=\frac{V_{\mathrm{排}}}{S}=\frac{1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}{0.02\ \mathrm{m}^2}=0.05\ \mathrm{m}$
此时容器内总水深：$h=h_0+\Delta h=0.3\ \mathrm{m}+0.05\ \mathrm{m}=0.35\ \mathrm{m}$
根据液体压强公式计算容器底部受到的水的压强：
$p=\rho_{\mathrm{水}}gh=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.35\ \mathrm{m}=3500\ \mathrm{Pa}$
