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(1)如右图,一个长方形长是6 cm,宽是3 cm。如果以它的一条对称轴为轴,旋转一周就能得到一个(
(2)等底等高的圆柱和圆锥,它们的体积差是25.12 $\mathrm{dm}^3$。圆锥的体积是(
(3)一个圆柱形茶叶筒底面直径与高的比是$4:7$,高是14 cm。在这个茶叶筒的侧面贴一圈商标纸,商标纸的面积是(
(1)如右图,一个长方形长是6 cm,宽是3 cm。如果以它的一条对称轴为轴,旋转一周就能得到一个(
圆柱
),这个立体图形的底面周长是(18.84
)cm,高是(3
)cm,体积是(84.78
)$\mathrm{cm}^3$,与它等底等高的圆锥的体积是(28.26
)$\mathrm{cm}^3$。(2)等底等高的圆柱和圆锥,它们的体积差是25.12 $\mathrm{dm}^3$。圆锥的体积是(
12.56
)$\mathrm{dm}^3$,圆柱的体积是(37.68
)$\mathrm{dm}^3$。(3)一个圆柱形茶叶筒底面直径与高的比是$4:7$,高是14 cm。在这个茶叶筒的侧面贴一圈商标纸,商标纸的面积是(
351.68
)$\mathrm{cm}^2$。答案
1. (1)圆柱 18.84 3 84.78 28.26
(2)12.56 37.68 (3)351.68
(2)12.56 37.68 (3)351.68
解析
【分析】
1. 第(1)小题：首先观察图形，长方形以其一条对称轴为轴旋转一周，会形成圆柱。这条对称轴将长方形的长平分，因此圆柱的底面半径为$6÷2=3\mathrm{cm}$，高等于长方形的宽$3\mathrm{cm}$。接下来根据圆柱的底面周长公式$C=2π r$、体积公式$V=π r^2h$计算相关量；由于等底等高的圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，据此可求出圆锥体积。
2. 第(2)小题：等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，两者的体积差是圆锥体积的$3-1=2$倍，用体积差除以2即可得到圆锥体积，再乘3就能得到圆柱体积。
3. 第(3)小题：先根据底面直径与高的比和高的长度求出底面直径，再利用圆柱侧面积公式$S=π dh$计算商标纸的面积，商标纸面积等于圆柱侧面积。
【解析】
(1) ① 长方形以对称轴旋转一周得到圆柱；
② 底面半径：$6÷2=3(\mathrm{cm})$，底面周长：$2×3.14×3=18.84(\mathrm{cm})$；
③ 高等于长方形的宽，即$3\mathrm{cm}$；
④ 圆柱体积：$3.14×3^2×3=3.14×9×3=84.78(\mathrm{cm}^3)$；
⑤ 等底等高圆锥体积：$84.78×\frac{1}{3}=28.26(\mathrm{cm}^3)$。
(2) 等底等高时，圆柱体积是圆锥的3倍，体积差是圆锥体积的$3-1=2$倍。
圆锥体积：$25.12÷2=12.56(\mathrm{dm}^3)$；
圆柱体积：$12.56×3=37.68(\mathrm{dm}^3)$。
(3) 底面直径：$14÷7×4=8(\mathrm{cm})$；
侧面积（商标纸面积）：$3.14×8×14=351.68(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
1. (1)圆柱 18.84 3 84.78 28.26
(2)12.56 37.68 (3)351.68
【知识点】
1. 圆柱的形成与特征
2. 圆柱与圆锥的体积关系
3. 圆柱侧面积计算
【点评】
本题综合考查了圆柱的形成、圆柱的底面周长、体积、侧面积的计算，以及圆柱与圆锥的体积关系，需要熟练掌握相关公式和几何图形的变换特征，理清各量之间的关系进行计算。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)小题：首先观察图形，长方形以其一条对称轴为轴旋转一周，会形成圆柱。这条对称轴将长方形的长平分，因此圆柱的底面半径为$6÷2=3\mathrm{cm}$，高等于长方形的宽$3\mathrm{cm}$。接下来根据圆柱的底面周长公式$C=2π r$、体积公式$V=π r^2h$计算相关量；由于等底等高的圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，据此可求出圆锥体积。
2. 第(2)小题：等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，两者的体积差是圆锥体积的$3-1=2$倍，用体积差除以2即可得到圆锥体积，再乘3就能得到圆柱体积。
3. 第(3)小题：先根据底面直径与高的比和高的长度求出底面直径，再利用圆柱侧面积公式$S=π dh$计算商标纸的面积，商标纸面积等于圆柱侧面积。
【解析】
(1) ① 长方形以对称轴旋转一周得到圆柱；
② 底面半径：$6÷2=3(\mathrm{cm})$，底面周长：$2×3.14×3=18.84(\mathrm{cm})$；
③ 高等于长方形的宽，即$3\mathrm{cm}$；
④ 圆柱体积：$3.14×3^2×3=3.14×9×3=84.78(\mathrm{cm}^3)$；
⑤ 等底等高圆锥体积：$84.78×\frac{1}{3}=28.26(\mathrm{cm}^3)$。
(2) 等底等高时，圆柱体积是圆锥的3倍，体积差是圆锥体积的$3-1=2$倍。
圆锥体积：$25.12÷2=12.56(\mathrm{dm}^3)$；
圆柱体积：$12.56×3=37.68(\mathrm{dm}^3)$。
(3) 底面直径：$14÷7×4=8(\mathrm{cm})$；
侧面积（商标纸面积）：$3.14×8×14=351.68(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
1. (1)圆柱 18.84 3 84.78 28.26
(2)12.56 37.68 (3)351.68
【知识点】
1. 圆柱的形成与特征
2. 圆柱与圆锥的体积关系
3. 圆柱侧面积计算
【点评】
本题综合考查了圆柱的形成、圆柱的底面周长、体积、侧面积的计算，以及圆柱与圆锥的体积关系，需要熟练掌握相关公式和几何图形的变换特征，理清各量之间的关系进行计算。
【难度系数】
0.6
2. 做一个底面半径1 dm、高10 dm的圆柱形铁皮通风管(接头处不计),至少要用多少平方分米铁皮?
答案
$3.14×1×2×10=62.8(\mathrm{dm}^{2})$ 答:至少要用$62.8\ \mathrm{dm}^{2}$铁皮。
解析
【分析】
首先要明确圆柱形通风管的特点：通风管是空心的，不需要上下两个底面，因此求制作通风管所需铁皮面积，实际就是求圆柱的侧面积。
接下来回忆圆柱侧面积的计算公式：圆柱侧面积=底面周长×高，而底面周长=2×π×底面半径。已知底面半径是1dm，高是10dm，先计算出底面周长，再用底面周长乘以高就能得到所需铁皮的面积。
【解析】
圆柱侧面积公式：$S_{侧}=2π rh$（其中$r$为底面半径，$h$为圆柱的高）
代入数值计算：
$2×3.14×1×10$
$=6.28×10$
$=62.8(\mathrm{dm}^{2})$
答：至少要用$62.8\ \mathrm{dm}^{2}$铁皮。
【答案】
$62.8\ \mathrm{dm}^{2}$
【知识点】
圆柱侧面积计算、圆柱表面积实际应用
【点评】
本题考查圆柱侧面积在实际生活中的应用，解题关键是准确判断出通风管无需计算上下底面面积，避免错误计算圆柱的全面积，培养学生结合实际场景分析问题的能力。
【难度系数】
0.8
首先要明确圆柱形通风管的特点：通风管是空心的，不需要上下两个底面，因此求制作通风管所需铁皮面积，实际就是求圆柱的侧面积。
接下来回忆圆柱侧面积的计算公式：圆柱侧面积=底面周长×高，而底面周长=2×π×底面半径。已知底面半径是1dm，高是10dm，先计算出底面周长，再用底面周长乘以高就能得到所需铁皮的面积。
【解析】
圆柱侧面积公式：$S_{侧}=2π rh$（其中$r$为底面半径，$h$为圆柱的高）
代入数值计算：
$2×3.14×1×10$
$=6.28×10$
$=62.8(\mathrm{dm}^{2})$
答：至少要用$62.8\ \mathrm{dm}^{2}$铁皮。
【答案】
$62.8\ \mathrm{dm}^{2}$
【知识点】
圆柱侧面积计算、圆柱表面积实际应用
【点评】
本题考查圆柱侧面积在实际生活中的应用，解题关键是准确判断出通风管无需计算上下底面面积，避免错误计算圆柱的全面积，培养学生结合实际场景分析问题的能力。
【难度系数】
0.8
3. 一个圆锥形沙堆,底面周长为12.56 m,高为1.2 m。用这堆沙在20 m宽的公路上铺2 cm厚的路面,能铺多少米?
答案
$2\ \mathrm{cm}=0.02\ \mathrm{m}$ $\frac{1}{3}×3.14×(12.56÷3.14÷2)^{2}×1.2÷(20×0.02)=12.56(\mathrm{m})$ 答:能铺$12.56\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
这道题的核心是利用“沙的体积不变”的等积变形思想来解题。首先要明确：圆锥形沙堆的体积等于铺在公路上的长方体路面的体积。解题思路为：先统一单位，避免单位不统一导致计算错误；接着根据圆锥底面周长求出底面半径，再用圆锥体积公式算出沙堆体积；最后结合长方体体积公式，用沙堆体积除以路面宽与厚度的乘积，即可求出能铺的长度。
【解析】
1. 单位换算：将路面厚度的单位统一为米，$2\ \mathrm{cm}=0.02\ \mathrm{m}$。
2. 求圆锥底面半径：根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面半径$r=12.56÷3.14÷2=2\ \mathrm{m}$。
3. 计算圆锥形沙堆的体积：利用圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，代入数据得：
$V=\frac{1}{3}×3.14×2^2×1.2=5.024\ \mathrm{m^3}$
4. 计算能铺的路面长度：路面为长方体，根据长方体体积公式$V=长×宽×厚$，变形可得长$=V÷(宽×厚)$，代入数据：
$5.024÷(20×0.02)=12.56\ \mathrm{m}$
答：能铺$12.56\ \mathrm{m}$。
【答案】
$12.56\ \mathrm{m}$
【知识点】
圆锥体积计算、长方体体积计算、单位换算
【点评】
本题考查圆锥与长方体体积的综合应用，关键是抓住“沙的体积不变”这一等积变形关系，解题时需注意单位统一，熟练掌握两种立体图形的体积公式是解题核心。
【难度系数】
0.6
这道题的核心是利用“沙的体积不变”的等积变形思想来解题。首先要明确：圆锥形沙堆的体积等于铺在公路上的长方体路面的体积。解题思路为：先统一单位，避免单位不统一导致计算错误；接着根据圆锥底面周长求出底面半径，再用圆锥体积公式算出沙堆体积；最后结合长方体体积公式，用沙堆体积除以路面宽与厚度的乘积，即可求出能铺的长度。
【解析】
1. 单位换算：将路面厚度的单位统一为米，$2\ \mathrm{cm}=0.02\ \mathrm{m}$。
2. 求圆锥底面半径：根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面半径$r=12.56÷3.14÷2=2\ \mathrm{m}$。
3. 计算圆锥形沙堆的体积：利用圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，代入数据得：
$V=\frac{1}{3}×3.14×2^2×1.2=5.024\ \mathrm{m^3}$
4. 计算能铺的路面长度：路面为长方体，根据长方体体积公式$V=长×宽×厚$，变形可得长$=V÷(宽×厚)$，代入数据：
$5.024÷(20×0.02)=12.56\ \mathrm{m}$
答：能铺$12.56\ \mathrm{m}$。
【答案】
$12.56\ \mathrm{m}$
【知识点】
圆锥体积计算、长方体体积计算、单位换算
【点评】
本题考查圆锥与长方体体积的综合应用，关键是抓住“沙的体积不变”这一等积变形关系，解题时需注意单位统一，熟练掌握两种立体图形的体积公式是解题核心。
【难度系数】
0.6
4. 一个圆柱形水管,它的内直径为6 cm,水管内水流的速度为10 cm/s。这根水管5 min流过的水量是多少升?
答案
$3.14×(6÷2)^{2}×10×(5×60)=84780(\mathrm{cm}^{3})=84.78(\mathrm{L})$ 答:这根水管5 min流过的水量是$84.78\ \mathrm{L}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确：水管内流过的水量相当于一个圆柱的体积，这个圆柱的底面是水管的内横截面，高是水流在5分钟内流动的总长度。解题思路如下：
1. 先统一时间单位，将5分钟换算成秒，匹配水流速度的单位；
2. 由水管内直径算出内半径，进而求出内横截面的面积；
3. 用横截面面积乘以水流速度得到每秒流过的水量；
4. 再乘以总时间得到5分钟流过的总体积；
5. 最后将体积单位从立方厘米换算成升，完成计算。
【解析】
1. 时间单位换算：
$5\ \mathrm{min}=5×60=300\ \mathrm{s}$
2. 计算水管内半径：
$r=6÷2=3\ \mathrm{cm}$
3. 计算5分钟流过的水量（综合算式）：
$3.14×(6÷2)^{2}×10×(5×60)$
$=3.14×9×10×300$
$=28.26×3000$
$=84780(\mathrm{cm}^{3})$
4. 体积单位换算：
因为$1\ \mathrm{L}=1000\ \mathrm{cm}^{3}$，所以$84780\ \mathrm{cm}^{3}=84780÷1000=84.78(\mathrm{L})$
答：这根水管5 min流过的水量是$84.78\ \mathrm{L}$。
【答案】
$84.78$升
【知识点】
圆柱体积计算、单位换算
【点评】
本题是圆柱体积公式的实际应用，核心是将水流形态转化为圆柱模型。解题时需注意单位的统一换算，避免因单位不匹配导致结果错误，同时要熟练掌握圆柱体积公式$V=Sh$的灵活运用。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确：水管内流过的水量相当于一个圆柱的体积，这个圆柱的底面是水管的内横截面，高是水流在5分钟内流动的总长度。解题思路如下：
1. 先统一时间单位，将5分钟换算成秒，匹配水流速度的单位；
2. 由水管内直径算出内半径，进而求出内横截面的面积；
3. 用横截面面积乘以水流速度得到每秒流过的水量；
4. 再乘以总时间得到5分钟流过的总体积；
5. 最后将体积单位从立方厘米换算成升，完成计算。
【解析】
1. 时间单位换算：
$5\ \mathrm{min}=5×60=300\ \mathrm{s}$
2. 计算水管内半径：
$r=6÷2=3\ \mathrm{cm}$
3. 计算5分钟流过的水量（综合算式）：
$3.14×(6÷2)^{2}×10×(5×60)$
$=3.14×9×10×300$
$=28.26×3000$
$=84780(\mathrm{cm}^{3})$
4. 体积单位换算：
因为$1\ \mathrm{L}=1000\ \mathrm{cm}^{3}$，所以$84780\ \mathrm{cm}^{3}=84780÷1000=84.78(\mathrm{L})$
答：这根水管5 min流过的水量是$84.78\ \mathrm{L}$。
【答案】
$84.78$升
【知识点】
圆柱体积计算、单位换算
【点评】
本题是圆柱体积公式的实际应用，核心是将水流形态转化为圆柱模型。解题时需注意单位的统一换算，避免因单位不匹配导致结果错误，同时要熟练掌握圆柱体积公式$V=Sh$的灵活运用。
【难度系数】
0.7
5. 【提优挑战】如右图,一根圆柱形木料高15 dm,若沿底面直径切成两个半圆柱,表面积增加了60 $\mathrm{dm}^2$,这根木料原来的体积是多少立方分米? 若把这根木料削成一个最大的圆锥,则圆锥的体积是多少立方分米?
答案
$60÷2÷15÷2=1(\mathrm{dm})$ $3.14×1^{2}×15=47.1(\mathrm{dm}^{3})$ $47.1÷3=15.7(\mathrm{dm}^{3})$ 答:这根木料原来的体积是$47.1\ \mathrm{dm}^{3}$,若把这根木料削成一个最大的圆锥,圆锥的体积是$15.7\ \mathrm{dm}^{3}$。
解析
【分析】
首先，我们需要明确沿底面直径切开圆柱后，表面积增加的部分是两个以圆柱的高为长、底面直径为宽的长方形的面积。所以先通过增加的总面积求出一个长方形的面积，再用这个面积除以圆柱的高得到底面直径，进而求出底面半径。接着利用圆柱体积公式求出木料原来的体积；因为削成的最大圆锥与原圆柱等底等高，所以圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，用圆柱体积除以3即可得到圆锥体积。
【解析】
1. 计算底面半径：
沿底面直径切开后，增加的2个长方形总面积为$60\ \mathrm{dm}^2$，则单个长方形面积为：$60÷2=30(\mathrm{dm}^2)$
已知长方形的长为圆柱的高$15\ \mathrm{dm}$，因此底面直径为：$30÷15=2(\mathrm{dm})$
底面半径为：$2÷2=1(\mathrm{dm})$
2. 计算圆柱的体积：
根据圆柱体积公式$V=π r^2h$，代入数据得：
$3.14×1^2×15=47.1(\mathrm{dm}^3)$
3. 计算最大圆锥的体积：
由于等底等高的圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，因此圆锥体积为：
$47.1÷3=15.7(\mathrm{dm}^3)$
【答案】
这根木料原来的体积是$47.1\ \mathrm{dm}^{3}$，若把这根木料削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是$15.7\ \mathrm{dm}^{3}$。
【知识点】
圆柱体积计算、圆锥体积计算、圆柱切割表面积变化
【点评】
本题关键是理解圆柱沿底面直径切割后表面积增加部分的形状，以此求出底面半径；同时要牢记等底等高的圆锥与圆柱的体积关系，计算时需注意步骤的准确性，避免半径计算错误。
【难度系数】
0.6
首先，我们需要明确沿底面直径切开圆柱后，表面积增加的部分是两个以圆柱的高为长、底面直径为宽的长方形的面积。所以先通过增加的总面积求出一个长方形的面积，再用这个面积除以圆柱的高得到底面直径，进而求出底面半径。接着利用圆柱体积公式求出木料原来的体积；因为削成的最大圆锥与原圆柱等底等高，所以圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，用圆柱体积除以3即可得到圆锥体积。
【解析】
1. 计算底面半径：
沿底面直径切开后，增加的2个长方形总面积为$60\ \mathrm{dm}^2$，则单个长方形面积为：$60÷2=30(\mathrm{dm}^2)$
已知长方形的长为圆柱的高$15\ \mathrm{dm}$，因此底面直径为：$30÷15=2(\mathrm{dm})$
底面半径为：$2÷2=1(\mathrm{dm})$
2. 计算圆柱的体积：
根据圆柱体积公式$V=π r^2h$，代入数据得：
$3.14×1^2×15=47.1(\mathrm{dm}^3)$
3. 计算最大圆锥的体积：
由于等底等高的圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，因此圆锥体积为：
$47.1÷3=15.7(\mathrm{dm}^3)$
【答案】
这根木料原来的体积是$47.1\ \mathrm{dm}^{3}$，若把这根木料削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是$15.7\ \mathrm{dm}^{3}$。
【知识点】
圆柱体积计算、圆锥体积计算、圆柱切割表面积变化
【点评】
本题关键是理解圆柱沿底面直径切割后表面积增加部分的形状，以此求出底面半径；同时要牢记等底等高的圆锥与圆柱的体积关系，计算时需注意步骤的准确性，避免半径计算错误。
【难度系数】
0.6
