登录
1. 方程组$\begin{cases}2x+y=□, \\x+y=3\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2, \\y=□.\end{cases}$ 则被遮盖的两个数分别为（ ）
A.5,1
B.1,3
C.2,3
D.2,4
A.5,1
B.1,3
C.2,3
D.2,4
答案
A
解析
【分析】
解题时先找已知条件最多的部分，我们已经知道方程组解里x的值是2，还有完整的方程x+y=3，所以先把x=2代入这个完整方程求出y的值，再把算出的x、y同时代入第一个不完整的方程，就能算出第一个被遮盖的数，最后匹配选项即可。
【解析】
第一步：求被遮盖的y的值
已知x=2，将其代入方程x+y=3中，可得：
$2 + y = 3$
解得$y=3-2=1$
第二步：求第一个被遮盖的数
把$x=2$，$y=1$代入$2x+y$计算得：
$2×2 + 1=5$
因此两个被遮盖的数分别是5和1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解；代入法解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的基础考查题，解题逻辑清晰，只要理解方程组的解满足方程组里的每一个方程，会用代入法计算就能顺利求解。
【难度系数】
0.9
解题时先找已知条件最多的部分，我们已经知道方程组解里x的值是2，还有完整的方程x+y=3，所以先把x=2代入这个完整方程求出y的值，再把算出的x、y同时代入第一个不完整的方程，就能算出第一个被遮盖的数，最后匹配选项即可。
【解析】
第一步：求被遮盖的y的值
已知x=2，将其代入方程x+y=3中，可得：
$2 + y = 3$
解得$y=3-2=1$
第二步：求第一个被遮盖的数
把$x=2$，$y=1$代入$2x+y$计算得：
$2×2 + 1=5$
因此两个被遮盖的数分别是5和1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解；代入法解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的基础考查题，解题逻辑清晰，只要理解方程组的解满足方程组里的每一个方程，会用代入法计算就能顺利求解。
【难度系数】
0.9
2. 已知$\begin{cases}x=-1, \\ y=0\end{cases}$和$\begin{cases}x=2, \\ y=3\end{cases}$都是方程$y=ax+b$的解，则$a$和$b$的值是（ ）
A.$\begin{cases} a=-1, \\ b=-1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} a=1, \\ b=1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} a=-1, \\ b=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} a=1, \\ b=-1 \end{cases}$
A.$\begin{cases} a=-1, \\ b=-1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} a=1, \\ b=1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} a=-1, \\ b=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} a=1, \\ b=-1 \end{cases}$
答案
B
解析
【分析】
解题时先明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。因此题中给出的两组x、y的取值代入y=ax+b后，等式均成立，我们可以据此得到关于a、b的二元一次方程组，再解这个方程组即可求出a、b的值。
【解析】
将$\begin{cases}x=-1, \\ y=0\end{cases}$代入$y=ax+b$，可得：
$0 = -a + b$ ①
将$\begin{cases}x=2, \\ y=3\end{cases}$代入$y=ax+b$，可得：
$3 = 2a + b$ ②
用②式减去①式消去b：
$3 - 0 = (2a + b) - (-a + b)$
$3 = 3a$
解得$a=1$
把$a=1$代入①式，得$0 = -1 + b$，解得$b=1$
因此$\begin{cases} a=1, \\ b=1 \end{cases}$
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二元一次方程解的概念的应用，熟练掌握代入法列方程组、用消元法解方程组是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。因此题中给出的两组x、y的取值代入y=ax+b后，等式均成立，我们可以据此得到关于a、b的二元一次方程组，再解这个方程组即可求出a、b的值。
【解析】
将$\begin{cases}x=-1, \\ y=0\end{cases}$代入$y=ax+b$，可得：
$0 = -a + b$ ①
将$\begin{cases}x=2, \\ y=3\end{cases}$代入$y=ax+b$，可得：
$3 = 2a + b$ ②
用②式减去①式消去b：
$3 - 0 = (2a + b) - (-a + b)$
$3 = 3a$
解得$a=1$
把$a=1$代入①式，得$0 = -1 + b$，解得$b=1$
因此$\begin{cases} a=1, \\ b=1 \end{cases}$
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二元一次方程解的概念的应用，熟练掌握代入法列方程组、用消元法解方程组是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 如果$x,y$满足方程组$\begin{cases}x+y=-1, \\2x-y=7.\end{cases}$那么$x-2y$的值是（ ）
A.$-4$
B.$2$
C.$6$
D.$8$
A.$-4$
B.$2$
C.$6$
D.$8$
答案
D
解析
【分析】
要解这道题，我们可以先求解给定的二元一次方程组，得到x和y的具体值，再将其代入待求代数式x-2y计算结果即可。观察方程组的系数特点，两个方程中y的系数互为相反数，优先选择加减消元法消去y，能更快算出x的值，再代入求y更简便。
【解析】
先给方程组的两个方程编号：
$\begin{cases}x+y=-1&① \\2x-y=7&② \end{cases}$
将①+②，左右两边分别相加得：
$x+y+2x-y=-1+7$
化简得$3x=6$，解得$x=2$。
把$x=2$代入①式，得$2+y=-1$，解得$y=-3$。
将$x=2$、$y=-3$代入$x-2y$计算：
$x-2y=2-2×(-3)=2+6=8$
【答案】
D
【知识点】
解二元一次方程组，加减消元法，代数式求值
【点评】
本题是基础运算类题型，主要考察二元一次方程组的求解能力，只要熟练掌握消元法，计算时注意符号问题就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要解这道题，我们可以先求解给定的二元一次方程组，得到x和y的具体值，再将其代入待求代数式x-2y计算结果即可。观察方程组的系数特点，两个方程中y的系数互为相反数，优先选择加减消元法消去y，能更快算出x的值，再代入求y更简便。
【解析】
先给方程组的两个方程编号：
$\begin{cases}x+y=-1&① \\2x-y=7&② \end{cases}$
将①+②，左右两边分别相加得：
$x+y+2x-y=-1+7$
化简得$3x=6$，解得$x=2$。
把$x=2$代入①式，得$2+y=-1$，解得$y=-3$。
将$x=2$、$y=-3$代入$x-2y$计算：
$x-2y=2-2×(-3)=2+6=8$
【答案】
D
【知识点】
解二元一次方程组，加减消元法，代数式求值
【点评】
本题是基础运算类题型，主要考察二元一次方程组的求解能力，只要熟练掌握消元法，计算时注意符号问题就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
4. 已知方程组$\begin{cases}3x+y=3, \\x+3y=5,\end{cases}$则$(x+y)(x-y)$的值为 （ ）
A.16
B.$-16$
C.2
D.$-2$
A.16
B.$-16$
C.2
D.$-2$
答案
D
解析
【分析】
要计算$(x+y)(x-y)$的值，有两种解题思路：一是先解给定的二元一次方程组，求出x、y的具体数值，再代入代数式计算结果；二是观察方程组中两个方程的系数特点，将两个方程直接相加、相减，分别求出$x+y$和$x-y$的值，再整体代入计算，这种方法更简便，不用单独求解x和y。
【解析】
给方程组编号：
$\begin{cases}3x+y=3 ① \\x+3y=5 ②\end{cases}$
步骤1：求$x+y$的值
将①+②，左边相加得$3x+y+x+3y=4x+4y$，右边相加得$3+5=8$，即：
$4x+4y=8$
两边同时除以4，得$x+y=2$。
步骤2：求$x-y$的值
将①-②，左边相减得$3x+y-(x+3y)=2x-2y$，右边相减得$3-5=-2$，即：
$2x-2y=-2$
两边同时除以2，得$x-y=-1$。
步骤3：代入计算
把$x+y=2$，$x-y=-1$代入$(x+y)(x-y)$，得：
$(x+y)(x-y)=2×(-1)=-2$
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组求解；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题考查二元一次方程组的应用，解题时可先观察式子特征，灵活选择计算方法，运用整体思想能减少计算量，提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
要计算$(x+y)(x-y)$的值，有两种解题思路：一是先解给定的二元一次方程组，求出x、y的具体数值，再代入代数式计算结果；二是观察方程组中两个方程的系数特点，将两个方程直接相加、相减，分别求出$x+y$和$x-y$的值，再整体代入计算，这种方法更简便，不用单独求解x和y。
【解析】
给方程组编号：
$\begin{cases}3x+y=3 ① \\x+3y=5 ②\end{cases}$
步骤1：求$x+y$的值
将①+②，左边相加得$3x+y+x+3y=4x+4y$，右边相加得$3+5=8$，即：
$4x+4y=8$
两边同时除以4，得$x+y=2$。
步骤2：求$x-y$的值
将①-②，左边相减得$3x+y-(x+3y)=2x-2y$，右边相减得$3-5=-2$，即：
$2x-2y=-2$
两边同时除以2，得$x-y=-1$。
步骤3：代入计算
把$x+y=2$，$x-y=-1$代入$(x+y)(x-y)$，得：
$(x+y)(x-y)=2×(-1)=-2$
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组求解；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题考查二元一次方程组的应用，解题时可先观察式子特征，灵活选择计算方法，运用整体思想能减少计算量，提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
5.若$x^{3m-n}-2y^{n-1}=5$是二元一次方程，则$m+n=$
3
.答案
3
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的定义：含有2个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。结合本题的方程，我们可以得到两个关于m、n的等量关系：一是x的次数为1，二是y的次数为1，通过这两个等量关系先分别求出m、n的值，最后计算m+n的结果即可。
【解析】
根据二元一次方程的定义可知：
1. 含y的项的次数为1，列方程得：$n-1=1$，解得$n=2$；
2. 含x的项的次数为1，列方程得：$3m-n=1$；
将$n=2$代入$3m-n=1$中，可得$3m-2=1$，解得$m=1$；
因此$m+n=1+2=3$。
【答案】
3
【知识点】
二元一次方程的定义，解一元一次方程，代数式求值
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是准确把握二元一次方程中“二元”“一次”的核心特征，据此列方程求解未知数即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的定义：含有2个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。结合本题的方程，我们可以得到两个关于m、n的等量关系：一是x的次数为1，二是y的次数为1，通过这两个等量关系先分别求出m、n的值，最后计算m+n的结果即可。
【解析】
根据二元一次方程的定义可知：
1. 含y的项的次数为1，列方程得：$n-1=1$，解得$n=2$；
2. 含x的项的次数为1，列方程得：$3m-n=1$；
将$n=2$代入$3m-n=1$中，可得$3m-2=1$，解得$m=1$；
因此$m+n=1+2=3$。
【答案】
3
【知识点】
二元一次方程的定义，解一元一次方程，代数式求值
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是准确把握二元一次方程中“二元”“一次”的核心特征，据此列方程求解未知数即可。
【难度系数】
0.8
6.若将$2x - y = 3$写成用含$x$的代数式表示$y$的形式，则$y=$
2x-3
答案
2x-3
解析
【分析】
要将方程写成用含x的代数式表示y的形式，核心目标是把y单独放在等号的一侧，其余项移到另一侧，需要用到等式的基本性质，移项时注意改变符号。具体思考步骤：先找到含y的项，再通过移项把其他项都移到等号的另一边，最后整理得到y的表达式。
【解析】
已知方程$2x - y = 3$，
第一步进行移项：将$-y$移到等号右侧变为$+y$，将常数项$3$移到等号左侧变为$-3$，可得：
$2x - 3 = y$
整理后即$y = 2x - 3$。
【答案】
$2x-3$
【知识点】
等式的性质；移项法则；代数式表示
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考察等式变形的基本能力，解题时需注意移项要变号，熟练掌握该技能是后续解二元一次方程组的基础。
【难度系数】
0.9
要将方程写成用含x的代数式表示y的形式，核心目标是把y单独放在等号的一侧，其余项移到另一侧，需要用到等式的基本性质，移项时注意改变符号。具体思考步骤：先找到含y的项，再通过移项把其他项都移到等号的另一边，最后整理得到y的表达式。
【解析】
已知方程$2x - y = 3$，
第一步进行移项：将$-y$移到等号右侧变为$+y$，将常数项$3$移到等号左侧变为$-3$，可得：
$2x - 3 = y$
整理后即$y = 2x - 3$。
【答案】
$2x-3$
【知识点】
等式的性质；移项法则；代数式表示
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考察等式变形的基本能力，解题时需注意移项要变号，熟练掌握该技能是后续解二元一次方程组的基础。
【难度系数】
0.9
7. 解下列方程组：
(1) $\begin{cases} x - y = 3, ① \\ 3x - 8y = 14; ② \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 3x + 2y = 4, ① \\ 6x - 2y = -1; ② \end{cases}$
(3) $\begin{cases} x + 2y = 10, ① \\ 2x - y = 5; ② \end{cases}$
(4) $\begin{cases} 4x + y = 15, ① \\ 3x - 2y = 3. ② \end{cases}$
(1) $\begin{cases} x - y = 3, ① \\ 3x - 8y = 14; ② \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 3x + 2y = 4, ① \\ 6x - 2y = -1; ② \end{cases}$
(3) $\begin{cases} x + 2y = 10, ① \\ 2x - y = 5; ② \end{cases}$
(4) $\begin{cases} 4x + y = 15, ① \\ 3x - 2y = 3. ② \end{cases}$
答案
(1)$\begin{cases} x=2, \\ y=-1. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=\dfrac{1}{3}, \\ y=\dfrac{3}{2}. \end{cases}$
(3)$\begin{cases} x=4, \\ y=3. \end{cases}$
(4)$\begin{cases} x=3, \\ y=3. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=\dfrac{1}{3}, \\ y=\dfrac{3}{2}. \end{cases}$
(3)$\begin{cases} x=4, \\ y=3. \end{cases}$
(4)$\begin{cases} x=3, \\ y=3. \end{cases}$
解析
【分析】
解二元一次方程组的核心思路是消元，将二元转化为一元方程求解，常用方法为代入消元法和加减消元法。拿到方程组先观察未知数系数特征选择合适的方法：①若某方程中某个未知数的系数为±1，优先选代入消元法，将该未知数用含另一个未知数的代数式表示，代入另一方程先求出一个未知数的值，再回代求另一个未知数；②若两个方程中同一个未知数的系数互为相反数或相等，优先选加减消元法，通过两式相加/相减消去该未知数，先求一个未知数的值，再回代求另一个未知数。
【解析】
(1) 观察到方程①中x的系数为1，选用代入消元法：
由①得：$x = y + 3$ ③
将③代入②得：$3(y + 3) - 8y = 14$
展开计算：$3y + 9 - 8y = 14$，即$-5y = 5$，解得$y = -1$
将$y = -1$代入③得：$x = -1 + 3 = 2$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=-1 \end{cases}$
(2) 观察到两个方程中y的系数分别为2和-2，互为相反数，选用加减消元法：
①+②得：$3x + 2y + 6x - 2y = 4 + (-1)$，即$9x = 3$，解得$x = \dfrac{1}{3}$
将$x = \dfrac{1}{3}$代入①得：$3×\dfrac{1}{3} + 2y = 4$，即$1 + 2y = 4$，解得$y = \dfrac{3}{2}$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=\dfrac{1}{3} \\ y=\dfrac{3}{2} \end{cases}$
(3) 选用加减消元法消去y：
将②×2得：$4x - 2y = 10$ ③
①+③得：$x + 2y + 4x - 2y = 10 + 10$，即$5x = 20$，解得$x = 4$
将$x = 4$代入①得：$4 + 2y = 10$，解得$y = 3$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=4 \\ y=3 \end{cases}$
(4) 选用加减消元法消去y：
将①×2得：$8x + 2y = 30$ ③
③+②得：$8x + 2y + 3x - 2y = 30 + 3$，即$11x = 33$，解得$x = 3$
将$x = 3$代入①得：$4×3 + y = 15$，解得$y = 3$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=3 \end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=2, \\ y=-1. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=\dfrac{1}{3}, \\ y=\dfrac{3}{2}. \end{cases}$
(3)$\begin{cases} x=4, \\ y=3. \end{cases}$
(4)$\begin{cases} x=3, \\ y=3. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法、代入消元法、加减消元法
【点评】
这几道题是二元一次方程组消元解法的基础训练，核心考查对代入消元、加减消元法的灵活运用能力，解题时先观察系数特点选对方法能大幅提升解题效率，计算过程中要注意符号运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
解二元一次方程组的核心思路是消元，将二元转化为一元方程求解，常用方法为代入消元法和加减消元法。拿到方程组先观察未知数系数特征选择合适的方法：①若某方程中某个未知数的系数为±1，优先选代入消元法，将该未知数用含另一个未知数的代数式表示，代入另一方程先求出一个未知数的值，再回代求另一个未知数；②若两个方程中同一个未知数的系数互为相反数或相等，优先选加减消元法，通过两式相加/相减消去该未知数，先求一个未知数的值，再回代求另一个未知数。
【解析】
(1) 观察到方程①中x的系数为1，选用代入消元法：
由①得：$x = y + 3$ ③
将③代入②得：$3(y + 3) - 8y = 14$
展开计算：$3y + 9 - 8y = 14$，即$-5y = 5$，解得$y = -1$
将$y = -1$代入③得：$x = -1 + 3 = 2$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=-1 \end{cases}$
(2) 观察到两个方程中y的系数分别为2和-2，互为相反数，选用加减消元法：
①+②得：$3x + 2y + 6x - 2y = 4 + (-1)$，即$9x = 3$，解得$x = \dfrac{1}{3}$
将$x = \dfrac{1}{3}$代入①得：$3×\dfrac{1}{3} + 2y = 4$，即$1 + 2y = 4$，解得$y = \dfrac{3}{2}$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=\dfrac{1}{3} \\ y=\dfrac{3}{2} \end{cases}$
(3) 选用加减消元法消去y：
将②×2得：$4x - 2y = 10$ ③
①+③得：$x + 2y + 4x - 2y = 10 + 10$，即$5x = 20$，解得$x = 4$
将$x = 4$代入①得：$4 + 2y = 10$，解得$y = 3$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=4 \\ y=3 \end{cases}$
(4) 选用加减消元法消去y：
将①×2得：$8x + 2y = 30$ ③
③+②得：$8x + 2y + 3x - 2y = 30 + 3$，即$11x = 33$，解得$x = 3$
将$x = 3$代入①得：$4×3 + y = 15$，解得$y = 3$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=3 \end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=2, \\ y=-1. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=\dfrac{1}{3}, \\ y=\dfrac{3}{2}. \end{cases}$
(3)$\begin{cases} x=4, \\ y=3. \end{cases}$
(4)$\begin{cases} x=3, \\ y=3. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法、代入消元法、加减消元法
【点评】
这几道题是二元一次方程组消元解法的基础训练，核心考查对代入消元、加减消元法的灵活运用能力，解题时先观察系数特点选对方法能大幅提升解题效率，计算过程中要注意符号运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
