1. 建筑工地要用 $ 500 \, \mathrm{m}^3 $ 的沙石，现取这种沙石 $ 1 × 10^{-3} \, \mathrm{m}^3 $，测得其质量为 $ 2.6 \, \mathrm{kg} $，则：
（1）这种沙石的密度是多大？
（2）若用载重为 $ 4 \, \mathrm{t} $ 的卡车运送，需要多少辆车？

（1）这种沙石的密度$\rho = \frac{m}{V} = \frac{2.6\ \mathrm{kg}}{1 × 10^{-3}\ \mathrm{m}^3} = 2.6 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$（2）由$\rho = \frac{m}{V}$可得，沙石的总质量$m_{\mathrm{总}} = \rho V_{\mathrm{总}} = 2.6 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 500\ \mathrm{m}^3 = 1.3 × 10^6\ \mathrm{kg} = 1300\ \mathrm{t}$，则需运送的车数$n = \frac{m_{\mathrm{总}}}{m_{\mathrm{载}}} = \frac{1300\ \mathrm{t}}{4\ \mathrm{t}} = 325$

2. （2024·盐城滨海段考）小华家的晒谷场上有一堆稻谷，体积为 $ 6 \, \mathrm{m}^3 $，为了估测这堆稻谷的质量，他用一只空桶平平地装满一桶稻谷，测得桶中的稻谷的质量为 $ 13.2 \, \mathrm{kg} $，再用这只桶装满一桶水，测得桶中水的质量为 $ 12 \, \mathrm{kg} $，则：
（1）桶的容积是多少？
（2）稻谷的密度是多少？
（3）这堆稻谷的总质量为多少吨？

（1）由$\rho = \frac{m}{V}$可得，桶的容积$V_{\mathrm{桶}} = V_{\mathrm{水}} = \frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{12\ \mathrm{kg}}{1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3} = 0.012\ \mathrm{m}^3$（2）空桶平平地装满一桶稻谷时，稻谷的体积$V = V_{\mathrm{桶}} = 0.012\ \mathrm{m}^3$，稻谷的密度$\rho = \frac{m}{V} = \frac{13.2\ \mathrm{kg}}{0.012\ \mathrm{m}^3} = 1.1 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$（3）这堆稻谷的总质量$m_{\mathrm{总}} = \rho V_{\mathrm{总}} = 1.1 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 6\ \mathrm{m}^3 = 6.6 × 10^3\ \mathrm{kg} = 6.6\ \mathrm{t}$

3. （2025·苏州期中）一个空瓶的质量为 $ 105 \, \mathrm{g} $，装满水后总质量为 $ 605 \, \mathrm{g} $，在空瓶中装某种陶瓷碎片若干，瓶与陶瓷碎片的总质量为 $ 339 \, \mathrm{g} $，再装满水，瓶子、陶瓷碎片和水的总质量为 $ 749 \, \mathrm{g} $。求：
（1）瓶子的容积。
（2）陶瓷碎片的体积。
（3）陶瓷碎片的密度。

（1）根据题意可得，装满水时水的质量$m_{\mathrm{水}} = 605\ \mathrm{g} - 105\ \mathrm{g} = 500\ \mathrm{g}$，根据$\rho = \frac{m}{V}$可得水的体积，即瓶子的容积$V_{\mathrm{容}} = V_{\mathrm{水}} = \frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{500\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3} = 500\ \mathrm{cm}^3$（2）陶瓷碎片排开水的质量$m_{\mathrm{排}} = 500\ \mathrm{g} - (749\ \mathrm{g} - 339\ \mathrm{g}) = 90\ \mathrm{g}$，陶瓷碎片的体积等于排开水的体积，即$V = V_{\mathrm{排}} = \frac{m_{\mathrm{排}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{90\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3} = 90\ \mathrm{cm}^3$（3）陶瓷碎片的质量$m = 339\ \mathrm{g} - 105\ \mathrm{g} = 234\ \mathrm{g}$，陶瓷碎片的密度$\rho = \frac{m}{V} = \frac{234\ \mathrm{g}}{90\ \mathrm{cm}^3} = 2.6\ \mathrm{g/cm}^3$

（1）装满水时水的质量：$m_{\mathrm{水}} = 605\ \mathrm{g} - 105\ \mathrm{g} = 500\ \mathrm{g}$，由$\rho = \frac{m}{V}$得瓶子的容积：$V_{\mathrm{容}} = V_{\mathrm{水}} = \frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{500\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3} = 500\ \mathrm{cm}^3$
（2）陶瓷碎片的质量：$m = 339\ \mathrm{g} - 105\ \mathrm{g} = 234\ \mathrm{g}$，装入陶瓷碎片后再装满水时水的质量：$m_{\mathrm{水}}' = 749\ \mathrm{g} - 339\ \mathrm{g} = 410\ \mathrm{g}$，陶瓷碎片排开水的质量：$m_{\mathrm{排}} = 500\ \mathrm{g} - 410\ \mathrm{g} = 90\ \mathrm{g}$，陶瓷碎片的体积：$V = V_{\mathrm{排}} = \frac{m_{\mathrm{排}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{90\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3} = 90\ \mathrm{cm}^3$
（3）陶瓷碎片的密度：$\rho = \frac{m}{V} = \frac{234\ \mathrm{g}}{90\ \mathrm{cm}^3} = 2.6\ \mathrm{g/cm}^3$

4. （2025·苏州姑苏模拟）如图，我国自主研发的新一代隐身战斗机歼 - 20，利用高性能碳纤维复合材料，提高了抗疲劳、耐腐蚀等性能，同时降低了自重。将一个边长分别为 $ 0.1 \, \mathrm{m} $、$ 0.4 \, \mathrm{m} $、$ 0.5 \, \mathrm{m} $ 的长方体钢制零件用某种碳纤维复合材料零件替换，在体积不变的情况下，质量减少了 $ 122 \, \mathrm{kg} $。已知钢的密度 $ \rho_{\mathrm{钢}} = 7.9 × 10^3 \, \mathrm{kg/m}^3 $，求：
（1）钢制零件的质量。
（2）此碳纤维复合材料的密度。

（1）钢制零件的体积$V = 0.1\ \mathrm{m} × 0.4\ \mathrm{m} × 0.5\ \mathrm{m} = 0.02\ \mathrm{m}^3$；由$\rho = \frac{m}{V}$可得，钢制零件的质量$m_{\mathrm{钢}} = \rho_{\mathrm{钢}} V = 7.9 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 0.02\ \mathrm{m}^3 = 158\ \mathrm{kg}$（2）因钢制零件用某种碳纤维复合材料零件替换时，在体积不变的情况下，质量减少了$122\ \mathrm{kg}$，所以，此碳纤维复合材料零件的质量$m_{\mathrm{碳}} = m_{\mathrm{钢}} - \Delta m = 158\ \mathrm{kg} - 122\ \mathrm{kg} = 36\ \mathrm{kg}$，则此碳纤维复合材料的密度$\rho_{\mathrm{碳}} = \frac{m_{\mathrm{碳}}}{V} = \frac{36\ \mathrm{kg}}{0.02\ \mathrm{m}^3} = 1.8 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$