14. （★★）（2025·西藏）如图，在四边形 ABCD中，AD//BC，BC=2AD，E是BC的中点，且AC平分 $ ∠ D A E $
(1) 求证：四边形 ADCE是菱形；
(2) 已知 AB=3，AE=2，求线段 AC的长.

14. (1)
∵ $AD// BC$,E是BC的中点,
∴ $AD// CE$,$∠DAC=∠ECA$,$CE=BE=\frac{1}{2}BC$.
∵ $BC=2AD$,
∴ $AD=\frac{1}{2}BC$.
∴ $AD=CE$.
∴ 四边形ADCE是平行四边形.
∵ AC平分$∠DAE$,
∴ $∠DAC=∠EAC$.
∴ $∠EAC=∠ECA$.
∴ $AE=CE$.
∴ $□ ADCE$是菱形,即四边形ADCE是菱形.
(2)
∵ $AE=CE=BE=2$,
∴ $∠EAB=∠B$,$BC=2BE=4$.
∵ $∠EAC=∠ECA$,
∴ $∠BAC=∠EAB+∠EAC=∠B+∠ECA$.
∵ $∠BAC+∠B+∠ECA=180°$,
∴ $∠BAC=90°$.
∵ $AB=3$,
∴ $AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$,即AC的长为$\sqrt{7}$.

 15. （★★★）如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC
于点 M，连接 DE，BO. 若 $ ∠ COB=60°, FO=FC $有下列结论： $ \textcircled{1} FB\bot OC, OM=CM $ $ \textcircled{2} △ EOB≌ △ CMB $ $ \textcircled{3} $四边形 EBFD是菱形； $ \textcircled{4} MB:OE= 3:2 $其中正确结论的个数是【】

A.1
B.2
C.3
D.4

15. C

 16. （★★★）在 Rt $ △ ABC $中， $ ∠ BAC=90° $ D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作 AF//BC交BE的延长线于点F.求证：
(1) $ △ A E F≌ △ D E B; $
(2) 四边形 ADCF是菱形.

16. (1)
∵ $AF// BC$,
∴ $∠AFE=∠DBE$.
∵ E是AD的中点,
∴ $AE=DE$.
在$△ AEF$和$△ DEB$中,
$\begin{cases}∠AFE=∠DBE, \\∠FEA=∠BED, \\AE=DE,\end{cases}$
∴ $△ AEF≌△ DEB(\mathrm{AAS})$.
(2)由(1)知,$△ AEF≌△ DEB$.
∴ $AF=DB$.
∵ D是BC的中点,
∴ $DB=DC$.
∴ $AF=DC$.
∵ $AF// BC$,
∴ 四边形ADCF是平行四边形.
∵ $∠BAC=90°$,D是BC的中点,
∴ $AD=DC=\frac{1}{2}BC$.
∴ $□ ADCF$是菱形,即四边形ADCF是菱形.