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13.两个直角三角板如图摆放，其中∠ABC=∠BDE=90°，∠A=45°，∠E=30°。若C是DE上一点且AC//BD，则∠ABE 的度数为 （
A.50°
B.60°
C.75°
D.80°
C
）A.50°
B.60°
C.75°
D.80°
答案
13.C
解析
【分析】
解题时先从已知条件AC//BD出发，回忆平行线的性质，可得到∠A和∠ABD的数量关系，算出∠ABD的度数；再根据直角三角板的角度特征，计算出Rt△BDE中∠EBD的度数；最后观察图形得出∠ABE=∠ABD-∠EBD，代入数值即可求出结果。
【解析】
解：
∵AC//BD，根据“两直线平行，同旁内角互补”
∴∠A + ∠ABD = 180°
已知∠A=45°，代入得：
∠ABD = 180° - 45° = 135°
在Rt△BDE中，∠BDE=90°，∠E=30°，根据直角三角形两锐角互余：
∠EBD = 90° - ∠E = 90° - 30° = 60°
观察图形可知∠ABE = ∠ABD - ∠EBD，代入得：
∠ABE = 135° - 60° = 75°
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质、直角三角形两锐角互余、角度和差计算
【点评】
本题结合常用直角三角板的固定角度考查角度计算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，准确识别图中角的和差关系，是角度计算类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件AC//BD出发，回忆平行线的性质，可得到∠A和∠ABD的数量关系，算出∠ABD的度数；再根据直角三角板的角度特征，计算出Rt△BDE中∠EBD的度数；最后观察图形得出∠ABE=∠ABD-∠EBD，代入数值即可求出结果。
【解析】
解：
∵AC//BD，根据“两直线平行，同旁内角互补”
∴∠A + ∠ABD = 180°
已知∠A=45°，代入得：
∠ABD = 180° - 45° = 135°
在Rt△BDE中，∠BDE=90°，∠E=30°，根据直角三角形两锐角互余：
∠EBD = 90° - ∠E = 90° - 30° = 60°
观察图形可知∠ABE = ∠ABD - ∠EBD，代入得：
∠ABE = 135° - 60° = 75°
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质、直角三角形两锐角互余、角度和差计算
【点评】
本题结合常用直角三角板的固定角度考查角度计算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，准确识别图中角的和差关系，是角度计算类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
14.如图,已知$△ ABC ≌ △ ADE$,BC 的延长线交 DA 于点 F,交 DE 于点 G,$∠ D=25°$,$∠ DAC=30°$,$∠ DAE=35°$,则$∠ DFG=$
90
$°$。答案
14.90
解析
【分析】
解题时先利用全等三角形对应角相等的性质，得到∠B和∠BAC的度数，再结合已知的∠DAC求出∠BAF的度数，接着在△ABF中用三角形内角和定理算出∠AFB的度数，最后根据对顶角相等即可得到∠DFG的度数。
【解析】
解：
∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D=25°，∠BAC=∠DAE=35°。
∴∠BAF=∠BAC + ∠DAC=35°+30°=65°。
在△ABF中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠AFB=180° - ∠B - ∠BAF=180°-25°-65°=90°。
∵∠DFG与∠AFB是对顶角，
∴∠DFG=∠AFB=90°。
【答案】
90
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质得到对应角相等，再结合三角形内角和定理完成角度推导，计算时注意角度的和差关系不要出错。
【难度系数】
0.7
解题时先利用全等三角形对应角相等的性质，得到∠B和∠BAC的度数，再结合已知的∠DAC求出∠BAF的度数，接着在△ABF中用三角形内角和定理算出∠AFB的度数，最后根据对顶角相等即可得到∠DFG的度数。
【解析】
解：
∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D=25°，∠BAC=∠DAE=35°。
∴∠BAF=∠BAC + ∠DAC=35°+30°=65°。
在△ABF中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠AFB=180° - ∠B - ∠BAF=180°-25°-65°=90°。
∵∠DFG与∠AFB是对顶角，
∴∠DFG=∠AFB=90°。
【答案】
90
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质得到对应角相等，再结合三角形内角和定理完成角度推导，计算时注意角度的和差关系不要出错。
【难度系数】
0.7
15.如图，D是△ABC的边BC上一点，AE平分∠BAD，∠CAE=∠CEA，∠C=∠BAD，若∠B=40°，求∠CAE的度数。
答案
15.解:如图
,因为AE平分∠BAD，所以设∠1=∠2=x,所以∠4=180°−∠AEB=∠1+∠B=x+40°。
因为∠CAE=∠CEA，
所以x+40°=x+∠3,所以∠3=40°。
因为∠1+∠2+∠3+∠B+∠C=180°,∠C=∠BAD=2x，
所以x+x+40°+40°+2x=180°,所以x=25°,
所以∠CAE=∠2+∠3=25°+40°=65°。
解析
【分析】
解题时先利用角平分线的性质，设两个相等的角为未知数x，简化角度的表示；再根据三角形外角的性质得到∠CEA与已知角∠B、未知数x的关系，结合∠CAE=∠CEA的条件推导出∠3的度数；接着利用三角形内角和为180°，结合∠C=∠BAD的条件列出关于x的方程，求解x后代入即可算出∠CAE的度数。
【解析】
解：如图，因为AE平分∠BAD，所以设∠1=∠2=x。
根据三角形外角的性质，∠CEA是△ABE的外角，因此∠CEA=∠1+∠B=x+40°。
已知∠CAE=∠CEA，且∠CAE=∠2+∠3，所以x+40°=x+∠3，解得∠3=40°。
由题意得∠C=∠BAD=∠1+∠2=2x，在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠1+∠2+∠3+∠B+∠C=180°
将各角代入得：x+x+40°+40°+2x=180°
整理得4x=100°，解得x=25°。
因此∠CAE=∠2+∠3=25°+40°=65°。
【答案】
∠CAE的度数为65°
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查了三角形角度相关的计算，核心是通过设未知数将分散的角度条件关联起来，结合方程思想求解，解题时要注意梳理清楚各个角之间的和差、等量关系。
【难度系数】
0.65
解题时先利用角平分线的性质，设两个相等的角为未知数x，简化角度的表示；再根据三角形外角的性质得到∠CEA与已知角∠B、未知数x的关系，结合∠CAE=∠CEA的条件推导出∠3的度数；接着利用三角形内角和为180°，结合∠C=∠BAD的条件列出关于x的方程，求解x后代入即可算出∠CAE的度数。
【解析】
解：如图
，因为AE平分∠BAD，所以设∠1=∠2=x。根据三角形外角的性质，∠CEA是△ABE的外角，因此∠CEA=∠1+∠B=x+40°。
已知∠CAE=∠CEA，且∠CAE=∠2+∠3，所以x+40°=x+∠3，解得∠3=40°。
由题意得∠C=∠BAD=∠1+∠2=2x，在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠1+∠2+∠3+∠B+∠C=180°
将各角代入得：x+x+40°+40°+2x=180°
整理得4x=100°，解得x=25°。
因此∠CAE=∠2+∠3=25°+40°=65°。
【答案】
∠CAE的度数为65°
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查了三角形角度相关的计算，核心是通过设未知数将分散的角度条件关联起来，结合方程思想求解，解题时要注意梳理清楚各个角之间的和差、等量关系。
【难度系数】
0.65
16.为了提高学生遭遇火灾时的逃生能力,学校组织学生进行模拟逃生演练,需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境。设计小组准备制作两边长分别为2 m和5 m、第三边长为偶数的不同规格的三角形框架,他们到建材市场收集到的数据如下:
(1)根据市场能购买到的铁条制作满足条件的三角形框架,共有
(2)若(1)中符合条件的每种规格的框架各制作一个,则购买铁条共需多少元?
(1)根据市场能购买到的铁条制作满足条件的三角形框架,共有
2
种制作方案。(2)若(1)中符合条件的每种规格的框架各制作一个,则购买铁条共需多少元?
答案
16.解:(1)2
(2)当三角形框架的三边长分别为2 m,4 m,5 m时,所需费用为6+10+15=31(元),
当三角形框架的三边长分别为2 m,5 m,6 m时,所需费用为6+15+20=41(元),31+41=72(元)。
答:购买铁条共需72元。
(2)当三角形框架的三边长分别为2 m,4 m,5 m时,所需费用为6+10+15=31(元),
当三角形框架的三边长分别为2 m,5 m,6 m时,所需费用为6+15+20=41(元),31+41=72(元)。
答:购买铁条共需72元。
解析
【分析】
解决第(1)问时，首先利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合第三边为偶数、市场可购买的铁条规格两个限制条件，筛选出符合要求的第三边长度，统计方案数。第(2)问分别计算每种方案制作一个框架的总费用，再将两种方案的费用相加即可得到总花费。
【解析】
(1) 设三角形框架的第三边长为$x\ \mathrm{m}$，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，可得：
$5-2 ＜ x ＜ 5+2$，即$3 ＜ x ＜7$。
已知第三边长为偶数，因此$x$的可能取值为4、6，两种长度的铁条市场均有售，故共有2种制作方案。
(2) 两种符合条件的三角形框架三边长分别为$2\ \mathrm{m},4\ \mathrm{m},5\ \mathrm{m}$和$2\ \mathrm{m},5\ \mathrm{m},6\ \mathrm{m}$：
① 三边长为$2\ \mathrm{m},4\ \mathrm{m},5\ \mathrm{m}$的框架费用：$6+10+15=31$（元）
② 三边长为$2\ \mathrm{m},5\ \mathrm{m},6\ \mathrm{m}$的框架费用：$6+15+20=41$（元）
总费用为$31+41=72$（元）
答：购买铁条共需72元。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{72}$元
【知识点】
三角形三边关系，有理数加法，方案选择
【点评】
本题结合生活实际场景考查三角形三边关系的应用，解题时需注意不能忽略题干给出的限制条件，避免多算或者漏算符合要求的方案，计算费用时要对应好各规格铁条的单价，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问时，首先利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合第三边为偶数、市场可购买的铁条规格两个限制条件，筛选出符合要求的第三边长度，统计方案数。第(2)问分别计算每种方案制作一个框架的总费用，再将两种方案的费用相加即可得到总花费。
【解析】
(1) 设三角形框架的第三边长为$x\ \mathrm{m}$，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，可得：
$5-2 ＜ x ＜ 5+2$，即$3 ＜ x ＜7$。
已知第三边长为偶数，因此$x$的可能取值为4、6，两种长度的铁条市场均有售，故共有2种制作方案。
(2) 两种符合条件的三角形框架三边长分别为$2\ \mathrm{m},4\ \mathrm{m},5\ \mathrm{m}$和$2\ \mathrm{m},5\ \mathrm{m},6\ \mathrm{m}$：
① 三边长为$2\ \mathrm{m},4\ \mathrm{m},5\ \mathrm{m}$的框架费用：$6+10+15=31$（元）
② 三边长为$2\ \mathrm{m},5\ \mathrm{m},6\ \mathrm{m}$的框架费用：$6+15+20=41$（元）
总费用为$31+41=72$（元）
答：购买铁条共需72元。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{72}$元
【知识点】
三角形三边关系，有理数加法，方案选择
【点评】
本题结合生活实际场景考查三角形三边关系的应用，解题时需注意不能忽略题干给出的限制条件，避免多算或者漏算符合要求的方案，计算费用时要对应好各规格铁条的单价，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
