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一、选择题(共6题，每题4分，共24分)
1. 下列说法正确的是(
A.一点确定一条直线
B.两条射线组成的图形叫角
C.两点之间线段最短
D.若$AB = BC$，则$B$为$AC$的中点
1. 下列说法正确的是(
C
)。A.一点确定一条直线
B.两条射线组成的图形叫角
C.两点之间线段最短
D.若$AB = BC$，则$B$为$AC$的中点
答案
1.C
解析
【分析】
这是一道几何基础概念辨析题，我们可以通过逐个验证每个选项对应的定义、公理，举出反例排除错误选项的思路来解题：首先回忆直线、角、线段相关的基础定义和公理，逐一判断A到D四个说法是否成立，找出完全正确的选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
1. 选项A：根据直线的性质，两点确定一条直线，过一个点可以画出无数条直线，因此“一点确定一条直线”的说法错误。
2. 选项B：角的定义是有公共端点的两条射线组成的图形，如果两条射线没有公共端点，就不能组成角，因此该说法错误。
3. 选项C：“两点之间线段最短”是几何的基本公理，描述的是两点之间所有连线中线段的长度最短，该说法正确。
4. 选项D：若AB=BC，只有当A、B、C三点在同一条直线上时，B才是AC的中点；如果三点不共线，比如构成等腰△ABC，AB=BC时B就不是AC的中点，因此该说法错误。
综上，只有C选项的说法正确。
【答案】
C
【知识点】
直线的性质，角的定义，线段的基本事实
【点评】
本题属于几何入门的基础概念考察题，易错点是容易忽略各类定义的前置限定条件，比如角的公共端点要求、线段中点的三点共线要求，解题时要注意概念的严谨性，判断命题正误可以通过举反例的方式快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
这是一道几何基础概念辨析题，我们可以通过逐个验证每个选项对应的定义、公理，举出反例排除错误选项的思路来解题：首先回忆直线、角、线段相关的基础定义和公理，逐一判断A到D四个说法是否成立，找出完全正确的选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
1. 选项A：根据直线的性质，两点确定一条直线，过一个点可以画出无数条直线，因此“一点确定一条直线”的说法错误。
2. 选项B：角的定义是有公共端点的两条射线组成的图形，如果两条射线没有公共端点，就不能组成角，因此该说法错误。
3. 选项C：“两点之间线段最短”是几何的基本公理，描述的是两点之间所有连线中线段的长度最短，该说法正确。
4. 选项D：若AB=BC，只有当A、B、C三点在同一条直线上时，B才是AC的中点；如果三点不共线，比如构成等腰△ABC，AB=BC时B就不是AC的中点，因此该说法错误。
综上，只有C选项的说法正确。
【答案】
C
【知识点】
直线的性质，角的定义，线段的基本事实
【点评】
本题属于几何入门的基础概念考察题，易错点是容易忽略各类定义的前置限定条件，比如角的公共端点要求、线段中点的三点共线要求，解题时要注意概念的严谨性，判断命题正误可以通过举反例的方式快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
2. 将弯曲的河道改直，可以缩短航程，依据是(
A.两点确定一条直线
B.两点之间线段最短
C.垂线段最短
D.平行于同一条直线的两条直线平行
B
)。A.两点确定一条直线
B.两点之间线段最短
C.垂线段最短
D.平行于同一条直线的两条直线平行
答案
2.B
解析
【分析】
我们可以按以下思路逐步推导解题：第一步先提取题目核心场景，弯曲河道改直缩短航程，本质是两个固定端点之间的路径长度优化问题。第二步逐一匹配四个选项的适用场景做排除：A选项“两点确定一条直线”描述的是直线的唯一性，和路径长短没有关联；C选项“垂线段最短”描述的是直线外一点到直线的连线中垂线段长度最短，本题不存在点向直线作垂线的场景；D选项是平行线的传递性质，和路径长度完全无关。最后剩下的B选项刚好对应两点之间曲线路径长于线段路径的特点，完全符合改直缩短航程的逻辑。
【解析】
解：将弯曲河道的两个端点抽象为两个点，改直后的直航道就是这两个点之间的线段，逐一分析选项：
1. 选项A：两点确定一条直线的作用是确定直线的位置，无法解释航程缩短的原理，不符合题意；
2. 选项B：两点之间的所有连线中，线段的长度是最短的，把弯曲的河道改直，就是将两点间的曲线路径替换为更短的线段路径，因此可以缩短航程，符合题意；
3. 选项C：垂线段最短是点到直线距离的相关性质，本题不存在点向直线作垂线的场景，不符合题意；
4. 选项D：平行于同一条直线的两条直线平行是平行线的传递性，和航程缩短没有关联，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】B
【知识点】
两点之间线段最短；几何公理辨析
【点评】
本题是几何公理结合生活实际的基础应用题，易错点是容易混淆“两点之间线段最短”和“垂线段最短”的适用场景，解题时只要先明确题干对应的场景特征，区分不同几何公理的适用范围，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
我们可以按以下思路逐步推导解题：第一步先提取题目核心场景，弯曲河道改直缩短航程，本质是两个固定端点之间的路径长度优化问题。第二步逐一匹配四个选项的适用场景做排除：A选项“两点确定一条直线”描述的是直线的唯一性，和路径长短没有关联；C选项“垂线段最短”描述的是直线外一点到直线的连线中垂线段长度最短，本题不存在点向直线作垂线的场景；D选项是平行线的传递性质，和路径长度完全无关。最后剩下的B选项刚好对应两点之间曲线路径长于线段路径的特点，完全符合改直缩短航程的逻辑。
【解析】
解：将弯曲河道的两个端点抽象为两个点，改直后的直航道就是这两个点之间的线段，逐一分析选项：
1. 选项A：两点确定一条直线的作用是确定直线的位置，无法解释航程缩短的原理，不符合题意；
2. 选项B：两点之间的所有连线中，线段的长度是最短的，把弯曲的河道改直，就是将两点间的曲线路径替换为更短的线段路径，因此可以缩短航程，符合题意；
3. 选项C：垂线段最短是点到直线距离的相关性质，本题不存在点向直线作垂线的场景，不符合题意；
4. 选项D：平行于同一条直线的两条直线平行是平行线的传递性，和航程缩短没有关联，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】B
【知识点】
两点之间线段最短；几何公理辨析
【点评】
本题是几何公理结合生活实际的基础应用题，易错点是容易混淆“两点之间线段最短”和“垂线段最短”的适用场景，解题时只要先明确题干对应的场景特征，区分不同几何公理的适用范围，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
3. 如图，点$O$在直线$AB$上，射线$OD$是$∠ AOC$的平分线。若$∠ COB = 40^{\circ}$，则$∠ DOC$的度数为(
A.$20^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$70^{\circ}$
D
)。A.$20^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$70^{\circ}$
答案
3.D
解析
解：
∵点$O$在直线$AB$上，
$\therefore ∠ AOB = 180^{\circ}$。
$\because ∠ COB = 40^{\circ}$，
$\therefore ∠ AOC=∠ AOB - ∠ COB=180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}$。
∵射线$OD$是$∠ AOC$的平分线，
$\therefore ∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×140^{\circ}=70^{\circ}$。
D
∵点$O$在直线$AB$上，
$\therefore ∠ AOB = 180^{\circ}$。
$\because ∠ COB = 40^{\circ}$，
$\therefore ∠ AOC=∠ AOB - ∠ COB=180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}$。
∵射线$OD$是$∠ AOC$的平分线，
$\therefore ∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×140^{\circ}=70^{\circ}$。
D
4. 如图，已知点$A$在点$O$的北偏东$42^{\circ}40'$方向上，点$B$在点$O$的正南方向，$OE$平分$∠ AOB$，则点$E$相对于点$O$的方位可表示为(
A.南偏东$68^{\circ}40'$方向
B.南偏东$69^{\circ}40'$方向
C.南偏东$68^{\circ}20'$方向
D.南偏东$69^{\circ}10'$方向
A
)。A.南偏东$68^{\circ}40'$方向
B.南偏东$69^{\circ}40'$方向
C.南偏东$68^{\circ}20'$方向
D.南偏东$69^{\circ}10'$方向
答案
4.A
解析
点A在点O的北偏东$42°40'$方向，所以$∠ AON = 42°40'$（N为正北方向）。
点B在点O的正南方向，所以$∠ NOB = 180°$。
则$∠ AOB=∠ AON+∠ NOB = 42°40'+180°=222°40'$。
OE平分$∠ AOB$，所以$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×222°40' = 111°20'$。
$∠ EON=∠ AOE-∠ AON=111°20'-42°40' = 68°40'$。
$∠ EOS=180°-∠ EON = 180° - 68°40'=111°20'$（S为正南方向），此为OE与正南方向的夹角，所以点E在点O的南偏东$68°40'$方向。
A
点B在点O的正南方向，所以$∠ NOB = 180°$。
则$∠ AOB=∠ AON+∠ NOB = 42°40'+180°=222°40'$。
OE平分$∠ AOB$，所以$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×222°40' = 111°20'$。
$∠ EON=∠ AOE-∠ AON=111°20'-42°40' = 68°40'$。
$∠ EOS=180°-∠ EON = 180° - 68°40'=111°20'$（S为正南方向），此为OE与正南方向的夹角，所以点E在点O的南偏东$68°40'$方向。
A
5. 杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的高铁票(
A.$20$种
B.$15$种
C.$10$种
D.$5$种
A
)。A.$20$种
B.$15$种
C.$10$种
D.$5$种
答案
5.A
解析
衢州、金华、义乌、诸暨、杭州共5个城市，每个城市到其他4个城市有4种车票，5×4=20种，不同的高铁票有20种。
A
A
6. 已知点$A$，$B$，$P$在一条直线上，有下列等式：①$AP = BP$；②$BP = \frac{1}{2}AB$；③$AB = 2AP$；④$AP + PB = AB$。其中，能判断点$P$是线段$AB$的中点的有(
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
A
)。A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
答案
6.A
解析
①当点P在线段AB中点时，AP=BP成立；当点P在线段AB延长线或反向延长线上时，AP=BP也可能成立，故①不能判断。
②当点P为线段AB中点时，BP=$\frac{1}{2}$AB成立；当点P在BA延长线上时，BP=$\frac{1}{2}$AB也可能成立，故②不能判断。
③当点P为线段AB中点时，AB=2AP成立；当点P在AB延长线上时，AB=2AP也可能成立，故③不能判断。
④对于线段AB上任意点P，均有AP+PB=AB，故④不能判断。
综上，能判断点P是线段AB中点的有0个。
A
②当点P为线段AB中点时，BP=$\frac{1}{2}$AB成立；当点P在BA延长线上时，BP=$\frac{1}{2}$AB也可能成立，故②不能判断。
③当点P为线段AB中点时，AB=2AP成立；当点P在AB延长线上时，AB=2AP也可能成立，故③不能判断。
④对于线段AB上任意点P，均有AP+PB=AB，故④不能判断。
综上，能判断点P是线段AB中点的有0个。
A
二、填空题(共4题，每题5分，共20分)
7. 生活中有下列现象(如图所示)，对于这个现象，用数学知识解释：
7. 生活中有下列现象(如图所示)，对于这个现象，用数学知识解释：
两点确定一条直线
。答案
7.两点确定一条直线
解析
【分析】
首先观察图中的弹墨线操作：木工师傅将沾有墨汁的棉线两端分别固定在木板的A点和B点，将棉线拉紧后弹动，就能在木板上得到一条笔直的墨线。我们可以发现，这个过程只预先确定了两个不同的点，就得到了唯一的一条直的线条，对应所学的直线相关基本公理，直接匹配对应的结论即可。
【解析】
在木板上弹墨线时，通过固定A、B两个点，拉紧的棉线就代表了连接这两个点的直线路径，最终弹出的墨线就是经过这两个点的唯一一条直线，该现象对应的数学原理是两点确定一条直线。
【答案】
两点确定一条直线
【知识点】
两点确定一条直线
【点评】
本题结合木工弹墨线的生活实际场景，考察对直线基本性质的掌握，将数学知识和生产生活应用结合，引导学生发现生活中的数学原理，场景直观易懂。
【难度系数】
0.9
首先观察图中的弹墨线操作：木工师傅将沾有墨汁的棉线两端分别固定在木板的A点和B点，将棉线拉紧后弹动，就能在木板上得到一条笔直的墨线。我们可以发现，这个过程只预先确定了两个不同的点，就得到了唯一的一条直的线条，对应所学的直线相关基本公理，直接匹配对应的结论即可。
【解析】
在木板上弹墨线时，通过固定A、B两个点，拉紧的棉线就代表了连接这两个点的直线路径，最终弹出的墨线就是经过这两个点的唯一一条直线，该现象对应的数学原理是两点确定一条直线。
【答案】
两点确定一条直线
【知识点】
两点确定一条直线
【点评】
本题结合木工弹墨线的生活实际场景，考察对直线基本性质的掌握，将数学知识和生产生活应用结合，引导学生发现生活中的数学原理，场景直观易懂。
【难度系数】
0.9
8. 单位换算：
(1)$34.37^{\circ}=\_\_\_\_\_\_^{\circ}\_\_\_\_\_\_'\_\_\_\_\_\_''$；
(2)$34^{\circ}18'36''=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$。
(1)$34.37^{\circ}=\_\_\_\_\_\_^{\circ}\_\_\_\_\_\_'\_\_\_\_\_\_''$；
(2)$34^{\circ}18'36''=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$。
答案
8.(1)34 22 12 (2)34.31
解析
【分析】
这道题是角度单位度、分、秒的互化，核心要记住度分秒是60进制，也就是1°=60'，1'=60''。解题思路是：第(1)题把用度表示的数拆成整数度和小数度，小数度乘60转化为分，再把得到的分的小数部分乘60转化为秒；第(2)题把带度分秒的数转化为以度为单位的数，先把秒除以60转化为分，和原有分相加后再除以60转化为度，最后和原有度数相加得到结果。
【解析】
(1) 拆分34.37°的整数部分和小数部分：
整数部分直接作为度数，即34°，将剩余的小数部分0.37°转化为分：
$0.37° × 60 = 22.2'$
取分的整数部分为22'，将剩余的小数部分0.2'转化为秒：
$0.2' × 60 = 12''$
因此$34.37°=34°22'12''$。
(2) 先将秒转化为分：
$36'' ÷ 60 = 0.6'$
和原有18'相加得到总分数：$18' + 0.6' = 18.6'$
再将总分数转化为度：
$18.6' ÷ 60 = 0.31°$
和原有34°相加得到总度数：$34° + 0.31° = 34.31°$
因此$34°18'36''=34.31°$。
【答案】
(1)34；22；12 (2)34.31
【知识点】
度分秒换算
【点评】
本题属于角度单位换算的基础题型，易错点是容易混淆进制，误把60进制当成十进制/百进制计算，只要牢记度分秒相邻单位进率为60，按照分步转化的思路计算就不容易出错。
【难度系数】
0.8
这道题是角度单位度、分、秒的互化，核心要记住度分秒是60进制，也就是1°=60'，1'=60''。解题思路是：第(1)题把用度表示的数拆成整数度和小数度，小数度乘60转化为分，再把得到的分的小数部分乘60转化为秒；第(2)题把带度分秒的数转化为以度为单位的数，先把秒除以60转化为分，和原有分相加后再除以60转化为度，最后和原有度数相加得到结果。
【解析】
(1) 拆分34.37°的整数部分和小数部分：
整数部分直接作为度数，即34°，将剩余的小数部分0.37°转化为分：
$0.37° × 60 = 22.2'$
取分的整数部分为22'，将剩余的小数部分0.2'转化为秒：
$0.2' × 60 = 12''$
因此$34.37°=34°22'12''$。
(2) 先将秒转化为分：
$36'' ÷ 60 = 0.6'$
和原有18'相加得到总分数：$18' + 0.6' = 18.6'$
再将总分数转化为度：
$18.6' ÷ 60 = 0.31°$
和原有34°相加得到总度数：$34° + 0.31° = 34.31°$
因此$34°18'36''=34.31°$。
【答案】
(1)34；22；12 (2)34.31
【知识点】
度分秒换算
【点评】
本题属于角度单位换算的基础题型，易错点是容易混淆进制，误把60进制当成十进制/百进制计算，只要牢记度分秒相邻单位进率为60，按照分步转化的思路计算就不容易出错。
【难度系数】
0.8
9. 晚上$8$时$30$分，钟面上时针和分针的夹角为
75
$^{\circ}$。答案
9.75
解析
【分析】
解题时我们可以按以下思路推进：首先明确钟面的基础角度规则，整个钟面一圈为360°，平均划分成12个大格，因此相邻两个数字对应的大格夹角为360°÷12=30°。接下来分别确定8时30分时针和分针的位置：首先分针走30分时正好指向数字6，位置是固定的；而时针不会停留在数字8的位置，因为经过30分钟，时针会从8向9转动，我们先算出30分钟内时针转过的角度，再计算两个指针之间间隔的大格总数，最后乘以单大格的30°就能得到最终夹角。这里要注意不能直接默认时针指向8，这是本题最容易出错的地方。
【解析】
步骤1：计算钟面单个大格的夹角度数
钟面一周总角度为360°，共分为12个相等的大格，因此每个大格的角度为：
$360° ÷ 12 = 30°$
步骤2：确定分针位置
8时30分，分针走过30分钟，正好指向数字6。
步骤3：确定时针位置
时针每1小时转动1个大格，也就是每小时转动30°，30分钟等于0.5小时，因此从8点整开始，时针额外转动的角度为：
$30° × 0.5 = 15°$
即8时30分时针位于数字8和9的正中间。
步骤4：计算两针夹角
分针指向6，时针在8和9的正中间，两针之间间隔的大格数为：$8 - 6 + 0.5 = 2.5$个
因此夹角为：$2.5 × 30° = 75°$
【答案】
75
【知识点】
钟面夹角计算，角度运算
【点评】
本题属于基础的钟面角度计算题，核心易错点是忽略时针会随分钟推移同步转动，不少同学会误将时针位置当作整点8，直接算出60°的错误结果，解题时要牢记时针和分针都是同步运动的，不能默认时针固定在整点刻度上。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以按以下思路推进：首先明确钟面的基础角度规则，整个钟面一圈为360°，平均划分成12个大格，因此相邻两个数字对应的大格夹角为360°÷12=30°。接下来分别确定8时30分时针和分针的位置：首先分针走30分时正好指向数字6，位置是固定的；而时针不会停留在数字8的位置，因为经过30分钟，时针会从8向9转动，我们先算出30分钟内时针转过的角度，再计算两个指针之间间隔的大格总数，最后乘以单大格的30°就能得到最终夹角。这里要注意不能直接默认时针指向8，这是本题最容易出错的地方。
【解析】
步骤1：计算钟面单个大格的夹角度数
钟面一周总角度为360°，共分为12个相等的大格，因此每个大格的角度为：
$360° ÷ 12 = 30°$
步骤2：确定分针位置
8时30分，分针走过30分钟，正好指向数字6。
步骤3：确定时针位置
时针每1小时转动1个大格，也就是每小时转动30°，30分钟等于0.5小时，因此从8点整开始，时针额外转动的角度为：
$30° × 0.5 = 15°$
即8时30分时针位于数字8和9的正中间。
步骤4：计算两针夹角
分针指向6，时针在8和9的正中间，两针之间间隔的大格数为：$8 - 6 + 0.5 = 2.5$个
因此夹角为：$2.5 × 30° = 75°$
【答案】
75
【知识点】
钟面夹角计算，角度运算
【点评】
本题属于基础的钟面角度计算题，核心易错点是忽略时针会随分钟推移同步转动，不少同学会误将时针位置当作整点8，直接算出60°的错误结果，解题时要牢记时针和分针都是同步运动的，不能默认时针固定在整点刻度上。
【难度系数】
0.7
