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8. 如图，两块三角板的直角顶点 O 重叠在一起，且 OB 恰好平分∠COD，则∠AOD 的度数是
$ 135^{\circ} $
。答案
8. $ 135^{\circ} $
解析
解：因为两块三角板的直角顶点O重叠，所以∠AOB=∠COD=90°。
因为OB平分∠COD，所以∠COB=∠BOD=∠COD/2=45°。
因为∠AOC=∠AOB - ∠COB，所以∠AOC=90° - 45°=45°。
因为∠AOD=∠AOC + ∠COD，所以∠AOD=45° + 90°=135°。
故∠AOD的度数是$135^{\circ}$。
因为OB平分∠COD，所以∠COB=∠BOD=∠COD/2=45°。
因为∠AOC=∠AOB - ∠COB，所以∠AOC=90° - 45°=45°。
因为∠AOD=∠AOC + ∠COD，所以∠AOD=45° + 90°=135°。
故∠AOD的度数是$135^{\circ}$。
9. 如图，∠AOB = 120°，OD 平分∠BOC，OE 平分∠AOC，求∠EOD 的度数。
答案
9. $ 60^{\circ} $
解析
解：设∠AOC = $2α$，∠BOC = $2β$。
因为OE平分∠AOC，所以∠EOC = $α$。
因为OD平分∠BOC，所以∠DOC = $β$。
因为∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = $2α + 2β = 120°$，所以$α + β = 60°$。
∠EOD = ∠EOC + ∠DOC = $α + β = 60°$。
答：∠EOD的度数为$60°$。
因为OE平分∠AOC，所以∠EOC = $α$。
因为OD平分∠BOC，所以∠DOC = $β$。
因为∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = $2α + 2β = 120°$，所以$α + β = 60°$。
∠EOD = ∠EOC + ∠DOC = $α + β = 60°$。
答：∠EOD的度数为$60°$。
10. 如图，O 为直线 AB 上一点，∠AOC = 50°，OD 平分∠AOC，∠DOE = 90°。
（1）请你数一数，图中有多少个小于平角的角；
（2）求出∠BOD 的度数；
（3）请通过计算说明 OE 是否平分∠BOC。
（1）请你数一数，图中有多少个小于平角的角；
（2）求出∠BOD 的度数；
（3）请通过计算说明 OE 是否平分∠BOC。
答案
10. 解：(1) 小于平角的角有$ ∠ AOD $，$ ∠ AOC $，$ ∠ AOE $，$ ∠ DOC $，$ ∠ DOE $，$ ∠ DOB $，$ ∠ COE $，$ ∠ COB $，$ ∠ EOB $，共9个。
(2) $ ∠ BOD = 155^{\circ} $。
(3) 因为$ ∠ DOE = 90^{\circ} $，$ ∠ DOC = \dfrac{1}{2} ∠ AOC = 25^{\circ} $，所以$ ∠ COE = ∠ DOE - ∠ DOC = 90^{\circ} - 25^{\circ} = 65^{\circ} $。又因为$ ∠ BOE = ∠ BOD - ∠ DOE = 155^{\circ} - 90^{\circ} = 65^{\circ} $，所以$ ∠ COE = ∠ BOE $，即OE平分$ ∠ BOC $。
(2) $ ∠ BOD = 155^{\circ} $。
(3) 因为$ ∠ DOE = 90^{\circ} $，$ ∠ DOC = \dfrac{1}{2} ∠ AOC = 25^{\circ} $，所以$ ∠ COE = ∠ DOE - ∠ DOC = 90^{\circ} - 25^{\circ} = 65^{\circ} $。又因为$ ∠ BOE = ∠ BOD - ∠ DOE = 155^{\circ} - 90^{\circ} = 65^{\circ} $，所以$ ∠ COE = ∠ BOE $，即OE平分$ ∠ BOC $。
解析
【分析】
我们分三个小问逐步梳理解题思路：
1. 第一问数小于平角的角：首先明确平角为180°，对应图中的∠AOB，我们可以按射线从左到右的顺序，依次以OA、OD、OC、OE为角的左侧边，逐个找出所有右侧边对应的角，排除掉等于180°的∠AOB，就能做到不重不漏数出所有符合要求的角。
2. 第二问求∠BOD的度数：已知AB是直线，因此∠AOB是平角等于180°，先根据角平分线的性质算出∠AOD的度数，再用180°减去∠AOD即可得到∠BOD的度数。
3. 第三问验证OE是否平分∠BOC：角平分线的判定要求射线把角分成两个相等的角，因此我们分别计算出∠COE和∠BOE的度数，若二者相等，就可以说明OE平分∠BOC。
【解析】
（1）按射线顺序枚举所有小于180°的角：以OA为边的小于平角的角有∠AOD、∠AOC、∠AOE；以OD为边的小于平角的角有∠DOC、∠DOE、∠DOB；以OC为边的小于平角的角有∠COE、∠COB；以OE为边的小于平角的角有∠EOB，合计共9个。
（2）已知OD平分∠AOC，∠AOC=50°，因此：
$∠AOD = ∠DOC = \frac{1}{2}∠AOC = \frac{1}{2}×50°=25°$
又因为O在直线AB上，∠AOB=180°，因此：
$∠BOD = 180° - ∠AOD = 180° - 25° = 155°$
（3）已知∠DOE=90°，∠DOC=25°，因此：
$∠COE = ∠DOE - ∠DOC = 90° - 25° = 65°$
结合第二问得到的∠BOD=155°，计算∠BOE：
$∠BOE = ∠BOD - ∠DOE = 155° - 90° = 65°$
可得∠COE=∠BOE，因此OE平分∠BOC。
【答案】
(1) 小于平角的角有$ ∠ AOD $，$ ∠ AOC $，$ ∠ AOE $，$ ∠ DOC $，$ ∠ DOE $，$ ∠ DOB $，$ ∠ COE $，$ ∠ COB $，$ ∠ EOB $，共9个。
(2) $ ∠ BOD = 155° $。
(3) 因为$ ∠ DOE = 90° $，$ ∠ DOC = \dfrac{1}{2} ∠ AOC = 25° $，所以$ ∠ COE = ∠ DOE - ∠ DOC = 90° - 25° = 65° $。又因为$ ∠ BOE = ∠ BOD - ∠ DOE = 155° - 90° = 65° $，所以$ ∠ COE = ∠ BOE $，即OE平分$ ∠ BOC $。
【知识点】
平角的定义，角平分线，角的和差计算
【点评】
本题是几何入门阶段角的相关基础综合题，首先考察有序数角的方法，避免漏数或重复计数，后续结合平角性质、角平分线定义完成角度计算，第三问通过代数计算验证角平分线的判定，帮助学生夯实角的和差运算的基本方法，巩固几何入门的基础逻辑。
【难度系数】
0.7
我们分三个小问逐步梳理解题思路：
1. 第一问数小于平角的角：首先明确平角为180°，对应图中的∠AOB，我们可以按射线从左到右的顺序，依次以OA、OD、OC、OE为角的左侧边，逐个找出所有右侧边对应的角，排除掉等于180°的∠AOB，就能做到不重不漏数出所有符合要求的角。
2. 第二问求∠BOD的度数：已知AB是直线，因此∠AOB是平角等于180°，先根据角平分线的性质算出∠AOD的度数，再用180°减去∠AOD即可得到∠BOD的度数。
3. 第三问验证OE是否平分∠BOC：角平分线的判定要求射线把角分成两个相等的角，因此我们分别计算出∠COE和∠BOE的度数，若二者相等，就可以说明OE平分∠BOC。
【解析】
（1）按射线顺序枚举所有小于180°的角：以OA为边的小于平角的角有∠AOD、∠AOC、∠AOE；以OD为边的小于平角的角有∠DOC、∠DOE、∠DOB；以OC为边的小于平角的角有∠COE、∠COB；以OE为边的小于平角的角有∠EOB，合计共9个。
（2）已知OD平分∠AOC，∠AOC=50°，因此：
$∠AOD = ∠DOC = \frac{1}{2}∠AOC = \frac{1}{2}×50°=25°$
又因为O在直线AB上，∠AOB=180°，因此：
$∠BOD = 180° - ∠AOD = 180° - 25° = 155°$
（3）已知∠DOE=90°，∠DOC=25°，因此：
$∠COE = ∠DOE - ∠DOC = 90° - 25° = 65°$
结合第二问得到的∠BOD=155°，计算∠BOE：
$∠BOE = ∠BOD - ∠DOE = 155° - 90° = 65°$
可得∠COE=∠BOE，因此OE平分∠BOC。
【答案】
(1) 小于平角的角有$ ∠ AOD $，$ ∠ AOC $，$ ∠ AOE $，$ ∠ DOC $，$ ∠ DOE $，$ ∠ DOB $，$ ∠ COE $，$ ∠ COB $，$ ∠ EOB $，共9个。
(2) $ ∠ BOD = 155° $。
(3) 因为$ ∠ DOE = 90° $，$ ∠ DOC = \dfrac{1}{2} ∠ AOC = 25° $，所以$ ∠ COE = ∠ DOE - ∠ DOC = 90° - 25° = 65° $。又因为$ ∠ BOE = ∠ BOD - ∠ DOE = 155° - 90° = 65° $，所以$ ∠ COE = ∠ BOE $，即OE平分$ ∠ BOC $。
【知识点】
平角的定义，角平分线，角的和差计算
【点评】
本题是几何入门阶段角的相关基础综合题，首先考察有序数角的方法，避免漏数或重复计数，后续结合平角性质、角平分线定义完成角度计算，第三问通过代数计算验证角平分线的判定，帮助学生夯实角的和差运算的基本方法，巩固几何入门的基础逻辑。
【难度系数】
0.7
11. 如图，已知 O 在直线 AB 上，∠AOE : ∠EOD = 1 : 3，OC 是∠BOD 的平分线，∠EOD = 75°，求∠AOE 和∠BOC 的度数。
答案
11. 解：因为$ ∠ AOE : ∠ EOD = 1 : 3 $，$ ∠ EOD = 75^{\circ} $，所以$ ∠ AOE = 25^{\circ} $。因为$ ∠ AOE + ∠ EOD + ∠ BOD = 180^{\circ} $，所以$ ∠ BOD = 180^{\circ} - 25^{\circ} - 75^{\circ} = 80^{\circ} $。因为OC是$ ∠ BOD $的平分线，所以$ ∠ BOC = \dfrac{1}{2} ∠ BOD = 40^{\circ} $。
解析
解：因为$∠ AOE : ∠ EOD = 1 : 3$，$∠ EOD = 75°$，所以$∠ AOE = \frac{1}{3}∠ EOD = \frac{1}{3} × 75° = 25°$。
因为点$O$在直线$AB$上，所以$∠ AOB = 180°$，即$∠ AOE + ∠ EOD + ∠ BOD = 180°$，所以$∠ BOD = 180° - ∠ AOE - ∠ EOD = 180° - 25° - 75° = 80°$。
因为$OC$是$∠ BOD$的平分线，所以$∠ BOC = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2} × 80° = 40°$。
综上，$∠ AOE = 25°$，$∠ BOC = 40°$。
因为点$O$在直线$AB$上，所以$∠ AOB = 180°$，即$∠ AOE + ∠ EOD + ∠ BOD = 180°$，所以$∠ BOD = 180° - ∠ AOE - ∠ EOD = 180° - 25° - 75° = 80°$。
因为$OC$是$∠ BOD$的平分线，所以$∠ BOC = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2} × 80° = 40°$。
综上，$∠ AOE = 25°$，$∠ BOC = 40°$。
12. 已知∠AOB = α，∠BOC = β（α ＞ β），OM，ON 分别平分∠AOB，∠BOC，求∠MON（结果用含 α，β 的代数式表示）。
答案
12. $ ∠ MON = \dfrac{α + β}{2} $或$ \dfrac{α - β}{2} $
解析
情况一：OC在∠AOB外部
∵OM平分∠AOB，∠AOB=α
∴∠MOB=$\dfrac{α}{2}$
∵ON平分∠BOC，∠BOC=β
∴∠BON=$\dfrac{β}{2}$
∴∠MON=∠MOB+∠BON=$\dfrac{α}{2}+\dfrac{β}{2}=\dfrac{α+β}{2}$
情况二：OC在∠AOB内部
∵OM平分∠AOB，∠AOB=α
∴∠MOB=$\dfrac{α}{2}$
∵ON平分∠BOC，∠BOC=β
∴∠BON=$\dfrac{β}{2}$
∴∠MON=∠MOB-∠BON=$\dfrac{α}{2}-\dfrac{β}{2}=\dfrac{α-β}{2}$
∠MON=$\dfrac{α+β}{2}$或$\dfrac{α-β}{2}$
∵OM平分∠AOB，∠AOB=α
∴∠MOB=$\dfrac{α}{2}$
∵ON平分∠BOC，∠BOC=β
∴∠BON=$\dfrac{β}{2}$
∴∠MON=∠MOB+∠BON=$\dfrac{α}{2}+\dfrac{β}{2}=\dfrac{α+β}{2}$
情况二：OC在∠AOB内部
∵OM平分∠AOB，∠AOB=α
∴∠MOB=$\dfrac{α}{2}$
∵ON平分∠BOC，∠BOC=β
∴∠BON=$\dfrac{β}{2}$
∴∠MON=∠MOB-∠BON=$\dfrac{α}{2}-\dfrac{β}{2}=\dfrac{α-β}{2}$
∠MON=$\dfrac{α+β}{2}$或$\dfrac{α-β}{2}$
