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1. 小明是一位密码爱好者,他在密码手册里记录了这样一条信息:$a-b,x-y,x+y,a+b,x^2-y^2,a^2b^2$,分别对应“国”“爱”“我”“中”“最”“美”六个字,现将$(x^2 - y^2)a^2 - (x^2 - y^2)b^2$因式分解,结果呈现的密码信息可能是（）
A.我最爱美
B.我爱中国
C.最爱中国
D.最美中国
A.我最爱美
B.我爱中国
C.最爱中国
D.最美中国
答案
B
解析
【分析】
解题思路是先对给定的多项式进行因式分解，再根据题目给出的字母与汉字的对应关系，将分解后的因式转化为对应汉字，最后匹配选项。首先提取多项式的公因式，再利用平方差公式完成因式分解，接着将分解后的每个因式对应到指定汉字，组合后得到密码信息，选出正确选项。
【解析】
对多项式$(x^2 - y^2)a^2 - (x^2 - y^2)b^2$因式分解：
1. 提取公因式$(x^2 - y^2)$，得：$(x^2 - y^2)(a^2 - b^2)$；
2. 利用平方差公式$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$继续分解：
$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，$a^2 - b^2=(a+b)(a - b)$，因此原式分解结果为$(x+y)(x-y)(a+b)(a - b)$；
根据题意，各因式对应汉字：$x+y$对应“我”，$x-y$对应“爱”，$a+b$对应“中”，$a - b$对应“国”，组合后密码信息为“我爱中国”，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解（提公因式法、平方差公式）
【点评】
本题结合因式分解与密码对应，考查因式分解的基本方法，关键是正确分解因式并对应汉字，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.6
解题思路是先对给定的多项式进行因式分解，再根据题目给出的字母与汉字的对应关系，将分解后的因式转化为对应汉字，最后匹配选项。首先提取多项式的公因式，再利用平方差公式完成因式分解，接着将分解后的每个因式对应到指定汉字，组合后得到密码信息，选出正确选项。
【解析】
对多项式$(x^2 - y^2)a^2 - (x^2 - y^2)b^2$因式分解：
1. 提取公因式$(x^2 - y^2)$，得：$(x^2 - y^2)(a^2 - b^2)$；
2. 利用平方差公式$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$继续分解：
$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，$a^2 - b^2=(a+b)(a - b)$，因此原式分解结果为$(x+y)(x-y)(a+b)(a - b)$；
根据题意，各因式对应汉字：$x+y$对应“我”，$x-y$对应“爱”，$a+b$对应“中”，$a - b$对应“国”，组合后密码信息为“我爱中国”，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解（提公因式法、平方差公式）
【点评】
本题结合因式分解与密码对应，考查因式分解的基本方法，关键是正确分解因式并对应汉字，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.6
2. 在日常生活中，如取款、上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆. 原理:如多项式$x^4 - y^4$因式分解的结果为$(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$，当$x = 9$，$y = 9$时，各因式的值是$x - y = 0$，$x + y = 18$，$x^2 + y^2 = 162$，于是密码就可以为 018162，也可以是180162. 对于多项式$9x^3 - xy^2$，取$x = 12$，$y = 12$时，密码不可能为 （）
A.124824
B.241248
C.122448
D.482124
A.124824
B.241248
C.122448
D.482124
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，需先对给定多项式进行因式分解，再代入x、y的值计算各因式的值，最后根据密码是这些因式值的组合，逐一判断选项是否符合。具体步骤：1. 对9x³ - xy²因式分解；2. 代入x=12，y=12求出各因式的值；3. 分析选项是否为这三个值的组合，找出不可能的密码。
【解析】
1. 因式分解多项式：
对9x³ - xy²，先提取公因式x，得：
9x³ - xy² = x(9x² - y²)
再利用平方差公式分解9x² - y² = (3x - y)(3x + y)，因此：
9x³ - xy² = x(3x - y)(3x + y)
2. 代入x=12，y=12计算各因式的值：
x = 12；
3x - y = 3×12 - 12 = 24；
3x + y = 3×12 + 12 = 48；
三个因式的值为12、24、48，密码是这三个数的任意排列组合。
3. 分析选项：
A.124824：是12、48、24的组合，符合；
B.241248：是24、12、48的组合，符合；
C.122448：是12、24、48的组合，符合；
D.482124：包含21，不是三个因式的值的组合，不符合。
【答案】
D
【知识点】
因式分解（提公因式与平方差公式）、代数式求值
【点评】
本题结合密码生成的实际场景考查因式分解的应用，核心是正确分解多项式并计算因式值，再分析密码的组合逻辑，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先对给定多项式进行因式分解，再代入x、y的值计算各因式的值，最后根据密码是这些因式值的组合，逐一判断选项是否符合。具体步骤：1. 对9x³ - xy²因式分解；2. 代入x=12，y=12求出各因式的值；3. 分析选项是否为这三个值的组合，找出不可能的密码。
【解析】
1. 因式分解多项式：
对9x³ - xy²，先提取公因式x，得：
9x³ - xy² = x(9x² - y²)
再利用平方差公式分解9x² - y² = (3x - y)(3x + y)，因此：
9x³ - xy² = x(3x - y)(3x + y)
2. 代入x=12，y=12计算各因式的值：
x = 12；
3x - y = 3×12 - 12 = 24；
3x + y = 3×12 + 12 = 48；
三个因式的值为12、24、48，密码是这三个数的任意排列组合。
3. 分析选项：
A.124824：是12、48、24的组合，符合；
B.241248：是24、12、48的组合，符合；
C.122448：是12、24、48的组合，符合；
D.482124：包含21，不是三个因式的值的组合，不符合。
【答案】
D
【知识点】
因式分解（提公因式与平方差公式）、代数式求值
【点评】
本题结合密码生成的实际场景考查因式分解的应用，核心是正确分解多项式并计算因式值，再分析密码的组合逻辑，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】
0.6
3. 用提公因式法分解因式$4x^{n+1} - 12x^{n} + 32x^{n-1}$时,提取的公因式是________.
答案
$4x^{n-1}$
解析
【分析】
要确定多项式提取的公因式，需遵循公因式的确定方法：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者的乘积即为公因式。本题需分别分析各项的系数和字母的指数，按规则计算即可得到结果。
【解析】
解：确定公因式分两步：
1. 系数部分：多项式各项系数为4、-12、32，它们的最大公约数是4；
2. 字母部分：各项都含有字母x，对应的指数分别为n+1、n、n-1，最低次幂为n-1；
因此，提取的公因式是$4x^{n-1}$。
【答案】
$4x^{n-1}$
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题考查提公因式法中对公因式的确定，属于因式分解的基础题型，核心是掌握公因式的确定规则，难度较低，适合巩固因式分解的基础知识点。
【难度系数】
0.8
要确定多项式提取的公因式，需遵循公因式的确定方法：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者的乘积即为公因式。本题需分别分析各项的系数和字母的指数，按规则计算即可得到结果。
【解析】
解：确定公因式分两步：
1. 系数部分：多项式各项系数为4、-12、32，它们的最大公约数是4；
2. 字母部分：各项都含有字母x，对应的指数分别为n+1、n、n-1，最低次幂为n-1；
因此，提取的公因式是$4x^{n-1}$。
【答案】
$4x^{n-1}$
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题考查提公因式法中对公因式的确定，属于因式分解的基础题型，核心是掌握公因式的确定规则，难度较低，适合巩固因式分解的基础知识点。
【难度系数】
0.8
4. 若关于$ x $的多项式$ x^3 + x^2 - 7x - 3 $可以分解为$(x^2 + nx - 1)(x + 3)$，则$ n^3 $的值是________。
答案
-8
解析
【分析】
要解决本题，需利用多项式乘法法则将分解后的因式展开，再根据两个多项式相等时对应项系数相等的性质求出参数$n$，最后计算$n^3$的值。具体步骤为：先展开$(x^2 + nx -1)(x +3)$，合并同类项后与原多项式对比，得到关于$n$的方程，解出$n$后代入计算$n^3$。
【解析】
将$(x^2 + nx -1)(x +3)$按多项式乘法法则展开：
$\begin{aligned}&(x^2 + nx -1)(x +3)\\=&x^2 · x + x^2 · 3 + nx · x + nx · 3 -1 · x -1 · 3\\=&x^3 + 3x^2 + nx^2 + 3nx - x - 3\\=&x^3 + (3 + n)x^2 + (3n -1)x - 3\end{aligned}$
因为该式与多项式$x^3 + x^2 -7x -3$相等，所以对应项系数相等：
$x^2$项系数：$3 + n =1$，解得$n =1 -3 = -2$；
验证$x$项系数：$3n -1 =3×(-2)-1=-7$，与原多项式的$x$项系数一致，符合条件。
因此$n^3 = (-2)^3 = -8$。
【答案】
-8
【知识点】
多项式乘多项式，多项式相等的条件
【点评】
本题考查多项式乘法的展开及多项式相等的性质，属于基础题型，熟练掌握多项式乘法法则是解题关键。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需利用多项式乘法法则将分解后的因式展开，再根据两个多项式相等时对应项系数相等的性质求出参数$n$，最后计算$n^3$的值。具体步骤为：先展开$(x^2 + nx -1)(x +3)$，合并同类项后与原多项式对比，得到关于$n$的方程，解出$n$后代入计算$n^3$。
【解析】
将$(x^2 + nx -1)(x +3)$按多项式乘法法则展开：
$\begin{aligned}&(x^2 + nx -1)(x +3)\\=&x^2 · x + x^2 · 3 + nx · x + nx · 3 -1 · x -1 · 3\\=&x^3 + 3x^2 + nx^2 + 3nx - x - 3\\=&x^3 + (3 + n)x^2 + (3n -1)x - 3\end{aligned}$
因为该式与多项式$x^3 + x^2 -7x -3$相等，所以对应项系数相等：
$x^2$项系数：$3 + n =1$，解得$n =1 -3 = -2$；
验证$x$项系数：$3n -1 =3×(-2)-1=-7$，与原多项式的$x$项系数一致，符合条件。
因此$n^3 = (-2)^3 = -8$。
【答案】
-8
【知识点】
多项式乘多项式，多项式相等的条件
【点评】
本题考查多项式乘法的展开及多项式相等的性质，属于基础题型，熟练掌握多项式乘法法则是解题关键。
【难度系数】
0.7
三、解答题
5. 学完“因式分解”之后，某数学兴趣小组对多项式$(x^2 - 2x)(x^2 - 2x + 2) + 1$进行因式分解，过程如下：
解:设$x^2 - 2x = y$，则原式$= y(y + 2) + 1$
$= y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2 = (x^2 - 2x + 1)^2$。
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？ 。若不彻底，请直接写出正确的结果： 。
（2）该过程用到的因式分解的方法是 。
（3）请模仿上面的方法对多项式$(x^2 - 4x + 2)(x^2 - 4x + 6) + 4$。
5. 学完“因式分解”之后，某数学兴趣小组对多项式$(x^2 - 2x)(x^2 - 2x + 2) + 1$进行因式分解，过程如下：
解:设$x^2 - 2x = y$，则原式$= y(y + 2) + 1$
$= y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2 = (x^2 - 2x + 1)^2$。
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？ 。若不彻底，请直接写出正确的结果： 。
（2）该过程用到的因式分解的方法是 。
（3）请模仿上面的方法对多项式$(x^2 - 4x + 2)(x^2 - 4x + 6) + 4$。
答案
（1）不彻底；$(x-1)^4$
（2）换元法和完全平方公式法（或换元法、公式法）
（3）$(x-2)^4$
（2）换元法和完全平方公式法（或换元法、公式法）
（3）$(x-2)^4$
解析
【分析】
本题考查因式分解的应用，解题思路如下：（1）判断分解是否彻底，需验证最终结果是否可继续分解，$x^2-2x+1$能利用完全平方公式进一步分解；（2）分析所用方法，将多项式中重复出现的部分设为新变量简化计算，用到换元法，且结合完全平方公式完成分解；（3）模仿示例，把多项式中相同的部分设为新变量，转化为熟悉的二次式，用完全平方公式分解后代回原变量，最后检查分解是否彻底。
【解析】
（1）同学分解到$(x^2 - 2x + 1)^2$，而$x^2 - 2x + 1=(x-1)^2$，还可继续分解，因此结果不彻底；正确结果为$(x-1)^4$。
（2）解题过程中，将$x^2 - 2x$设为$y$简化运算，用到换元法；同时利用完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$分解$y^2+2y+1$，用到完全平方公式法，因此所用方法是换元法和完全平方公式法。
（3）模仿示例，设$x^2 - 4x = y$，则原式$=(y+2)(y+6)+4$；展开整理得：$y^2 + 8y + 16$；利用完全平方公式分解得：$(y+4)^2$；将$y=x^2 - 4x$代回得：$(x^2 - 4x + 4)^2$；再对$x^2 - 4x + 4$分解得$(x-2)^2$，最终结果为$(x-2)^4$。
【答案】
（1）不彻底；$(x-1)^4$
（2）换元法和完全平方公式法（或换元法、公式法）
（3）$(x-2)^4$
【知识点】
因式分解、换元法、完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的典型题型，通过换元法简化复杂多项式，结合完全平方公式完成分解，重点考查学生对因式分解方法的掌握及分解彻底性的意识，需注意分解后要检查是否能继续分解。
【难度系数】
0.5
本题考查因式分解的应用，解题思路如下：（1）判断分解是否彻底，需验证最终结果是否可继续分解，$x^2-2x+1$能利用完全平方公式进一步分解；（2）分析所用方法，将多项式中重复出现的部分设为新变量简化计算，用到换元法，且结合完全平方公式完成分解；（3）模仿示例，把多项式中相同的部分设为新变量，转化为熟悉的二次式，用完全平方公式分解后代回原变量，最后检查分解是否彻底。
【解析】
（1）同学分解到$(x^2 - 2x + 1)^2$，而$x^2 - 2x + 1=(x-1)^2$，还可继续分解，因此结果不彻底；正确结果为$(x-1)^4$。
（2）解题过程中，将$x^2 - 2x$设为$y$简化运算，用到换元法；同时利用完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$分解$y^2+2y+1$，用到完全平方公式法，因此所用方法是换元法和完全平方公式法。
（3）模仿示例，设$x^2 - 4x = y$，则原式$=(y+2)(y+6)+4$；展开整理得：$y^2 + 8y + 16$；利用完全平方公式分解得：$(y+4)^2$；将$y=x^2 - 4x$代回得：$(x^2 - 4x + 4)^2$；再对$x^2 - 4x + 4$分解得$(x-2)^2$，最终结果为$(x-2)^4$。
【答案】
（1）不彻底；$(x-1)^4$
（2）换元法和完全平方公式法（或换元法、公式法）
（3）$(x-2)^4$
【知识点】
因式分解、换元法、完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的典型题型，通过换元法简化复杂多项式，结合完全平方公式完成分解，重点考查学生对因式分解方法的掌握及分解彻底性的意识，需注意分解后要检查是否能继续分解。
【难度系数】
0.5
6. 已知a,b,c分别为△ABC的三边.
（1）若a,b,c满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac=0$，试判断△ABC的形状；
（2）若a,b,c满足$a^{2}-2bc=c^{2}-2ab$，试判断△ABC的形状.
（1）若a,b,c满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac=0$，试判断△ABC的形状；
（2）若a,b,c满足$a^{2}-2bc=c^{2}-2ab$，试判断△ABC的形状.
答案
（1）△ABC是等边三角形；（2）△ABC是等腰三角形。
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，需根据已知等式推导三边a,b,c的关系：（1）式可通过变形转化为非负数的和为0，利用非负数性质得三边相等；（2）式移项后因式分解，结合三角形边长为正的性质得两边相等，进而判断形状。
【解析】
（1）对等式$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = 0$两边同乘2，得：
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0$
分组配方得：
$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (a^2 - 2ac + c^2) = 0$
即$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (a - c)^2 = 0$
因为平方数非负，所以$(a - b)^2 = 0$，$(b - c)^2 = 0$，$(a - c)^2 = 0$，得$a = b = c$，故△ABC是等边三角形。
（2）对等式$a^2 - 2bc = c^2 - 2ab$移项得：
$a^2 - c^2 + 2ab - 2bc = 0$
因式分解：
$(a - c)(a + c) + 2b(a - c) = 0$
提取公因式$(a - c)$得：
$(a - c)(a + c + 2b) = 0$
因为a,b,c是△ABC的三边，均为正数，所以$a + c + 2b ＞ 0$，因此$a - c = 0$，即$a = c$，故△ABC是等腰三角形。
【答案】
（1）△ABC是等边三角形；（2）△ABC是等腰三角形。
【知识点】
因式分解的应用、完全平方公式、三角形形状判定
【点评】
本题通过代数变形（配方、因式分解）结合三角形边长的性质判断形状，核心是等式的合理转化，需掌握基础代数变形技巧，属于常规题型，能考查代数与几何结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
要判断△ABC的形状，需根据已知等式推导三边a,b,c的关系：（1）式可通过变形转化为非负数的和为0，利用非负数性质得三边相等；（2）式移项后因式分解，结合三角形边长为正的性质得两边相等，进而判断形状。
【解析】
（1）对等式$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = 0$两边同乘2，得：
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0$
分组配方得：
$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (a^2 - 2ac + c^2) = 0$
即$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (a - c)^2 = 0$
因为平方数非负，所以$(a - b)^2 = 0$，$(b - c)^2 = 0$，$(a - c)^2 = 0$，得$a = b = c$，故△ABC是等边三角形。
（2）对等式$a^2 - 2bc = c^2 - 2ab$移项得：
$a^2 - c^2 + 2ab - 2bc = 0$
因式分解：
$(a - c)(a + c) + 2b(a - c) = 0$
提取公因式$(a - c)$得：
$(a - c)(a + c + 2b) = 0$
因为a,b,c是△ABC的三边，均为正数，所以$a + c + 2b ＞ 0$，因此$a - c = 0$，即$a = c$，故△ABC是等腰三角形。
【答案】
（1）△ABC是等边三角形；（2）△ABC是等腰三角形。
【知识点】
因式分解的应用、完全平方公式、三角形形状判定
【点评】
本题通过代数变形（配方、因式分解）结合三角形边长的性质判断形状，核心是等式的合理转化，需掌握基础代数变形技巧，属于常规题型，能考查代数与几何结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
7.（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算$(a+b+c)^2$”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路：
① 可以用“整体思想”把三项式转化为两 部 分：$[(a+b)+c]^2$或$[a+(b+c)]^2$，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程；
② 可以用“数形结合”的方法，画出表示$(a+b+c)^2$的图形，根据面积关系得到结果.请你在正方形中画出图形，并作适当标注.
（2）利用(1)的结论分解因式：$x^2+y^2+4-2xy+4x-4y=\underline{\hspace{5cm}}.$
① 可以用“整体思想”把三项式转化为两 部 分：$[(a+b)+c]^2$或$[a+(b+c)]^2$，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程；
② 可以用“数形结合”的方法，画出表示$(a+b+c)^2$的图形，根据面积关系得到结果.请你在正方形中画出图形，并作适当标注.
（2）利用(1)的结论分解因式：$x^2+y^2+4-2xy+4x-4y=\underline{\hspace{5cm}}.$
答案
（1）① 展开结果为$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$，过程如上；② 图形按上述方法绘制即可；（2）$\boldsymbol{(x-y+2)^2}$
解析
【分析】
第(1)问①利用整体思想，将三项式拆分为两部分，套用完全平方公式逐步展开；②通过数形结合，用大正方形面积等于各小图形面积和推导公式。第(2)问需将待分解多项式整理为完全平方公式的结构，逆用公式完成因式分解。
【解析】
(1)① 选变形方法$[(a+b)+c]^2$，根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，令$m=a+b$，$n=c$：
原式$=(a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2$
展开$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$2(a+b)c=2ac+2bc$，合并得：
$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$。
② 数形结合：画边长为$a+b+c$的大正方形，分割为边长$a$、$b$、$c$的正方形，以及长$a$宽$b$、长$a$宽$c$、长$b$宽$c$的长方形，各部分面积和对应$(a+b+c)^2$。
(2) 分解因式：
原式$=x^2-2xy+y^2+4x-4y+4$
整理为$(x-y)^2 + 4(x-y) + 2^2$，符合完全平方公式，因此：
原式$=(x-y+2)^2$。
【答案】
$(x-y+2)^2$
【知识点】
完全平方公式，因式分解
【点评】
本题考查完全平方公式的正向推导、数形结合应用及逆向因式分解，需掌握公式结构并灵活变形，是基础代数题，注重思想方法的运用。
【难度系数】
0.6
第(1)问①利用整体思想，将三项式拆分为两部分，套用完全平方公式逐步展开；②通过数形结合，用大正方形面积等于各小图形面积和推导公式。第(2)问需将待分解多项式整理为完全平方公式的结构，逆用公式完成因式分解。
【解析】
(1)① 选变形方法$[(a+b)+c]^2$，根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，令$m=a+b$，$n=c$：
原式$=(a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2$
展开$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$2(a+b)c=2ac+2bc$，合并得：
$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$。
② 数形结合：画边长为$a+b+c$的大正方形，分割为边长$a$、$b$、$c$的正方形，以及长$a$宽$b$、长$a$宽$c$、长$b$宽$c$的长方形，各部分面积和对应$(a+b+c)^2$。
(2) 分解因式：
原式$=x^2-2xy+y^2+4x-4y+4$
整理为$(x-y)^2 + 4(x-y) + 2^2$，符合完全平方公式，因此：
原式$=(x-y+2)^2$。
【答案】
$(x-y+2)^2$
【知识点】
完全平方公式，因式分解
【点评】
本题考查完全平方公式的正向推导、数形结合应用及逆向因式分解，需掌握公式结构并灵活变形，是基础代数题，注重思想方法的运用。
【难度系数】
0.6
