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1. 已知△ABC的三边长分别为6 cm、8 cm、9 cm，△DEF的两边长分别为12 cm、18 cm，若这两个三角形相似，则△DEF的第三条边长是（
A.14 cm
B.16 cm
C.21 cm
D.27 cm
B
）A.14 cm
B.16 cm
C.21 cm
D.27 cm
答案
1. B 解析:
∵ 12/6 = 18/9 = 2,
∴ △DEF 的第三边与△ABC 中长为8 cm 的边对应,
∴ 第三边长为 8×2=16( cm ).故选 B.
∵ 12/6 = 18/9 = 2,
∴ △DEF 的第三边与△ABC 中长为8 cm 的边对应,
∴ 第三边长为 8×2=16( cm ).故选 B.
2. 如图,已知每个小正方形的边长均为1,△ABC与△DEF的顶点都在小正方形的顶点上,那么△DEF与△ABC相似的是 (
A
B
C
D
A
)A
B
C
D
答案
2. A 解析:由网格和勾股定理得,△ABC 的三边长为√5,√2,3,A 中△DEF 的三边长为√10,2,3√2,对应边之比均为√2,
∴ 两三角形相似.故选 A.
∴ 两三角形相似.故选 A.
3. 新趋势 开放性试题 在$△ ABC$中，$AB=8$，$AC=6$，在$△ DEF$中，$DE=4$，$DF=3$，要使$△ ABC$与$△ DEF$相似，则需添加的一个条件是
BC=2EF(答案不唯一)
（写出一种情况即可）。答案
3. BC=2EF(答案不唯一) 解析:
∵ AB/DE = 8/4 = 2, AC/DF = 6/3 = 2,要使△ABC 与△DEF 相似,可使 BC/EF = 2,即 BC=2EF.
∵ AB/DE = 8/4 = 2, AC/DF = 6/3 = 2,要使△ABC 与△DEF 相似,可使 BC/EF = 2,即 BC=2EF.
4. 在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,“马”落在
②
处时,能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似.(填序号)答案
4. ② 解析:设每个小正方形的边长为1,如图,用A,B,C,D,E分别表示“兵”“相”“帅”“车”“炮”,用F,G,H,M分别表示①处、②处、③处、④处,可求得 AB = 2, BC = 2√5, AC =4√2,DE = 1,若“马”落在①处,△DEF 为直角三角形;若“马”落在②处,可求得 EG=√5,DG=2√2,
∴ AB/DE = BC/EG = AC/DG =2,
∴ △ABC∽△DEG;若“马”落在③处,可求得 EH=√13,DH=2√5,
∴ AB/DE ≠ BC/EH ≠ AC/DH;若“马”落在④处,可求得 EM=5,DM=√34,
∴ AB/DE ≠ BC/EM ≠ AC/DM.
5. 教材变式 如图,点B,D,E在一条直线上,BE与AC相交于点F,$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$.
(1)求证:∠BAD=∠CAE;
(2)若∠BAD=21°,求∠EBC的度数;
(3)连接EC,求证:△ABD∽△ACE.
(1)求证:∠BAD=∠CAE;
(2)若∠BAD=21°,求∠EBC的度数;
(3)连接EC,求证:△ABD∽△ACE.
答案
5. (1)
∵ AB/AD = BC/DE = AC/AE ,
∴ △ABC∽△ADE,
∴ ∠BAC = ∠DAE,
∴ ∠BAC-∠DAF = ∠DAE-∠DAF,即∠BAD = ∠CAE.
(2)
∵ △ABC ∽ △ADE,
∴ ∠ABC = ∠ADE.
∵ ∠ABC =∠ABE + ∠EBC, ∠ADE = ∠ABE + ∠BAD,
∴ ∠EBC =∠BAD=21°.
(3)由(1)知∠BAD = ∠CAE.
∵ AB/AD = AC/AE ,
∴ △ABD∽△ACE.
∵ AB/AD = BC/DE = AC/AE ,
∴ △ABC∽△ADE,
∴ ∠BAC = ∠DAE,
∴ ∠BAC-∠DAF = ∠DAE-∠DAF,即∠BAD = ∠CAE.
(2)
∵ △ABC ∽ △ADE,
∴ ∠ABC = ∠ADE.
∵ ∠ABC =∠ABE + ∠EBC, ∠ADE = ∠ABE + ∠BAD,
∴ ∠EBC =∠BAD=21°.
(3)由(1)知∠BAD = ∠CAE.
∵ AB/AD = AC/AE ,
∴ △ABD∽△ACE.
6. (2026·徐州校级月考)一个铝质三角形框架三条边长分别为24 cm、30 cm、36 cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27 cm、45 cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边.截法有 (
A.0种
B.1种
C.2种
D.3种
B
)A.0种
B.1种
C.2种
D.3种
答案
6. B 解析:
∵ 两根铝材的长分别为27 cm、45 cm,若45 cm 为一边时,则另两边的和为 27 cm,27＜45,不能构成三角形,
∴ 必须以27 cm 为一边,从45 cm 的铝材截下两段为另外两边,设另外两边长分别为 x,y.
①若 27 cm 与 24 cm 相对应时,27/24 = x/30 = y/36 , 解得 x =33.75 cm,y=40.5 cm,x+y=33.75+40.5=74.25 cm＞45 cm,故不成立;
②若 27 cm 与 36 cm 相对应时,27/36 = x/30 = y/24 , 解得 x=22.5 cm,y=18 cm,x+y=22.5+18=40.5 cm＜45 cm,成立;
③若 27 cm 与 30 cm 相对应时,27/30 = x/36 = y/24 , 解得 x =32.4 cm,y=21.6 cm,x+y=32.4+21.6=54 cm＞45 cm,故不成立.故只有一种截法.故选 B.
∵ 两根铝材的长分别为27 cm、45 cm,若45 cm 为一边时,则另两边的和为 27 cm,27＜45,不能构成三角形,
∴ 必须以27 cm 为一边,从45 cm 的铝材截下两段为另外两边,设另外两边长分别为 x,y.
①若 27 cm 与 24 cm 相对应时,27/24 = x/30 = y/36 , 解得 x =33.75 cm,y=40.5 cm,x+y=33.75+40.5=74.25 cm＞45 cm,故不成立;
②若 27 cm 与 36 cm 相对应时,27/36 = x/30 = y/24 , 解得 x=22.5 cm,y=18 cm,x+y=22.5+18=40.5 cm＜45 cm,成立;
③若 27 cm 与 30 cm 相对应时,27/30 = x/36 = y/24 , 解得 x =32.4 cm,y=21.6 cm,x+y=32.4+21.6=54 cm＞45 cm,故不成立.故只有一种截法.故选 B.
7. 如图, 四边形ABCD、四边形DCFE、四边形EFGH都是正方形, 且点B,C,F,G在同一直线上, 则∠1+∠2的度数为
45°
。答案
7. 45° 解析:设小正方形的边长为a,由勾股定理得AC²=a²+a²=2a²,
∴ AC=√2 a;同理可得 AF=√5 a,AG=√10 a.
∵ √2 a / 2a = a / √2 a = √5 a / √10 a , 即 AC/GC = CF/CA = AF/GA ,
∴ △ACF∽△GCA,
∴ ∠2=∠CAF.
∵ ∠ACB=∠CAF+∠1=45°,
∴ ∠1+∠2=45°.
∴ AC=√2 a;同理可得 AF=√5 a,AG=√10 a.
∵ √2 a / 2a = a / √2 a = √5 a / √10 a , 即 AC/GC = CF/CA = AF/GA ,
∴ △ACF∽△GCA,
∴ ∠2=∠CAF.
∵ ∠ACB=∠CAF+∠1=45°,
∴ ∠1+∠2=45°.
8. (菏泽中考)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$是△DEF边上的5个格点,请按要求完成下列各题:
(1)试证明△ABC为直角三角形；
(2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由；
(3)画一个三角形,使它的三个顶点为$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$中的3个格点并且与△ABC相似.
(1)试证明△ABC为直角三角形；
(2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由；
(3)画一个三角形,使它的三个顶点为$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$中的3个格点并且与△ABC相似.
答案
8. (1)
∵ 由勾股定理得 AB² = 20,AC² = 5,BC² = 25,
∴ AB²+AC²=BC²,根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形.
(2)△ABC 和△DEF 相似.理由:由(1)中数据得 AB=2√5,AC=√5,BC=5.又由勾股定理得 DE=4√2,DF=2√2,EF=2√10,
∴ AB/DE = AC/DF = BC/EF = √10/4 ,
∴ △ABC∽△DEF.
(3)如图,连接 P₂P₅,P₂P₄,P₄P₅,则△P₂P₄P₅符合要求,由勾股定理得 P₂P₅ = √10 , P₂P₄ = √2 , P₄P₅ = 2√2 . 又 AB =2√5,AC=√5,BC=5,
∴ P₅P₂/BC = P₄P₅/AB = P₄P₂/AC = √10/5 ,
∴ △ABC∽△P₄P₅P₂.
