14.（18分）（2025巴音郭楞州期末）如图55-G-13，B，C是线段AD上的两点，点M和点N分别在线段AB和线段CD上.
（1）若AD＝8，AM＋DN＝2，M，N分别是线段AB，CD的中点，求线段BC的长；
（2）若AD＝a，AM＋DN＝b，当AM＝2BM，DN＝2CN时，求线段BC的长.（用含a，b的代数式表示）

14. 解:(1)因为 M,N 分别是线段 AB,CD 的中点,
所以 $AB=2AM,CD=2DN$.
因为 $AM+DN=2$,
所以 $AB+CD=2(AM+DN)=4$.
又因为 $AD=8$,所以 $BC=AD-(AB+CD)=8-4=4$.
(2)因为 $AM=2BM,DN=2CN$,
所以 $AB=\dfrac{3}{2}AM,CD=\dfrac{3}{2}DN$.
因为 $AM+DN=b$,
所以 $AB+CD=\dfrac{3}{2}(AM+DN)=\dfrac{3}{2}b$.
又因为 $AD=a$,
所以 $BC=AD-(AB+CD)=a-\dfrac{3}{2}b$.

【分析】
解决本题的核心思路是利用线段和差关系：$BC=AD-(AB+CD)$，只需先求出$AB+CD$的长度即可计算$BC$。(1)小题给出$M$、$N$是线段中点，可根据中点性质将$AB$、$CD$转化为$2AM$、$2DN$，结合已知$AM+DN$的和就能求出$AB+CD$，代入和差公式即可得$BC$；(2)小题给出线段的比例关系，可先推导$AB$与$AM$、$CD$与$DN$的数量关系，再结合$AM+DN$的和求出$AB+CD$，最终代入和差公式得到用$a$、$b$表示的$BC$。
【解析】
(1) 因为$M$，$N$分别是线段$AB$，$CD$的中点，
根据线段中点的定义，可得 $AB=2AM$，$CD=2DN$。
已知$AM+DN=2$，
所以$AB+CD=2(AM+DN)=2×2=4$。
又因为$AD=8$，且$BC=AD-(AB+CD)$，
所以$BC=8-4=4$。
(2) 因为$AM=2BM$，$DN=2CN$，
所以$AB=AM+BM=3BM$，即$AM=\frac{2}{3}AB$，变形得$AB=\frac{3}{2}AM$，
同理可得$CD=\frac{3}{2}DN$。
已知$AM+DN=b$，
所以$AB+CD=\frac{3}{2}(AM+DN)=\frac{3}{2}b$。
又因为$AD=a$，且$BC=AD-(AB+CD)$，
所以$BC=a-\frac{3}{2}b$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{a-\dfrac{3}{2}b}$
【知识点】
线段和差计算；线段中点的性质；线段比例计算
【点评】
本题是线段计算的常规题型，解题关键是找准线段间的和差关系，结合中点或线段比例的条件，将未知的$AB$与$CD$的和转化为已知条件的表达式，进而求出$BC$的长度，解题时要注意数量关系的转换不要出错。
【难度系数】
0.7