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6.如图，在$□ ABCD$中，连接BD，E为边AD的中点，连接BE并延长，交CD的延长线于点F，连接AF，$∠ BDF=90°$。
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(2)若$AD=5$，$DF=3$，求四边形ABCF的面积S。
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(2)若$AD=5$，$DF=3$，求四边形ABCF的面积S。
答案
6. (1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴$BA// CD$。
∴$∠BAE=∠FDE$。
∵E 是边 AD 的中点，
∴$AE=DE$。
在$△BEA$ 和$△FED$ 中，
∵$∠BAE=∠FDE$,$AE=DE$,
$∠BEA=∠FED$,
∴$△BEA≌△FED$(ASA)。
∴$EF=EB$。
∴ 四边形 ABDF 是平行四边形。
∵$∠BDF=90°$,
∴ 四边形 ABDF 是矩形。
(2)解:由(1)得四边形 ABDF 是矩形，
∴$∠AFD=90°$,$AB=DF=3$,$AF=BD$。
∴$AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∴$S_{矩形ABDF}=DF·AF=3×4=12$,$BD=AF=4$。
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴$CD=AB=3$。
∵$∠BDC=∠BDF=90°$,
∴$S_{△BCD}=\frac{1}{2}BD·CD=\frac{1}{2}×4×3=6$。
∴ 四边形 ABCF 的面积 $S=S_{矩形ABDF}+S_{△BCD}=12+6=18$。
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴$BA// CD$。
∴$∠BAE=∠FDE$。
∵E 是边 AD 的中点，
∴$AE=DE$。
在$△BEA$ 和$△FED$ 中，
∵$∠BAE=∠FDE$,$AE=DE$,
$∠BEA=∠FED$,
∴$△BEA≌△FED$(ASA)。
∴$EF=EB$。
∴ 四边形 ABDF 是平行四边形。
∵$∠BDF=90°$,
∴ 四边形 ABDF 是矩形。
(2)解:由(1)得四边形 ABDF 是矩形，
∴$∠AFD=90°$,$AB=DF=3$,$AF=BD$。
∴$AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∴$S_{矩形ABDF}=DF·AF=3×4=12$,$BD=AF=4$。
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴$CD=AB=3$。
∵$∠BDC=∠BDF=90°$,
∴$S_{△BCD}=\frac{1}{2}BD·CD=\frac{1}{2}×4×3=6$。
∴ 四边形 ABCF 的面积 $S=S_{矩形ABDF}+S_{△BCD}=12+6=18$。
解析
【分析】
(1)要证明四边形ABDF是矩形，需先证它是平行四边形，再证明存在直角。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AB//CD，推出对应内错角相等，结合E是AD中点的条件，用ASA证明△BEA≌△FED，得到平行四边形ABDF对角线互相平分的判定依据，最后结合已知∠BDF=90°即可证得矩形。
(2)求四边形ABCF的面积可拆分求解：先通过矩形的性质和勾股定理求出AF的长度，计算出矩形ABDF的面积；再根据平行四边形性质得到CD的长度，结合直角条件计算△BCD的面积，两者相加即为四边形ABCF的总面积。
【解析】
(1)证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴$BA// CD$，
∴$∠BAE=∠FDE$。
∵E是边AD的中点，
∴$AE=DE$。
在$△BEA$和$△FED$中，
$\begin{cases}∠BAE=∠FDE\\AE=DE\\∠BEA=∠FED\end{cases}$
∴$△BEA≌△FED$(ASA)，
∴$EF=EB$，
∴ 四边形ABDF是平行四边形。
又
∵$∠BDF=90°$，
∴ 四边形ABDF是矩形。
(2)解：由(1)得四边形ABDF是矩形，
∴$∠AFD=90°$，$AB=DF=3$，$AF=BD$，
∴ 在$Rt△AFD$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴$S_{矩形ABDF}=DF·AF=3×4=12$，$BD=AF=4$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴$CD=AB=3$。
∵$∠BDC=∠BDF=90°$，
∴$S_{△BCD}=\frac{1}{2}BD·CD=\frac{1}{2}×4×3=6$，
∴ 四边形ABCF的面积 $S=S_{矩形ABDF}+S_{△BCD}=12+6=18$。
【答案】
(1) 四边形ABDF是矩形，证明成立；
(2) $\boxed{18}$
【知识点】
平行四边形的性质与判定；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，融合了特殊四边形的判定性质、全等三角形、勾股定理及面积计算等考点，解题时只要理清各类特殊四边形的关联，逐步推导边角关系就能顺利求解，是巩固特殊四边形相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1)要证明四边形ABDF是矩形，需先证它是平行四边形，再证明存在直角。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AB//CD，推出对应内错角相等，结合E是AD中点的条件，用ASA证明△BEA≌△FED，得到平行四边形ABDF对角线互相平分的判定依据，最后结合已知∠BDF=90°即可证得矩形。
(2)求四边形ABCF的面积可拆分求解：先通过矩形的性质和勾股定理求出AF的长度，计算出矩形ABDF的面积；再根据平行四边形性质得到CD的长度，结合直角条件计算△BCD的面积，两者相加即为四边形ABCF的总面积。
【解析】
(1)证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴$BA// CD$，
∴$∠BAE=∠FDE$。
∵E是边AD的中点，
∴$AE=DE$。
在$△BEA$和$△FED$中，
$\begin{cases}∠BAE=∠FDE\\AE=DE\\∠BEA=∠FED\end{cases}$
∴$△BEA≌△FED$(ASA)，
∴$EF=EB$，
∴ 四边形ABDF是平行四边形。
又
∵$∠BDF=90°$，
∴ 四边形ABDF是矩形。
(2)解：由(1)得四边形ABDF是矩形，
∴$∠AFD=90°$，$AB=DF=3$，$AF=BD$，
∴ 在$Rt△AFD$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴$S_{矩形ABDF}=DF·AF=3×4=12$，$BD=AF=4$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴$CD=AB=3$。
∵$∠BDC=∠BDF=90°$，
∴$S_{△BCD}=\frac{1}{2}BD·CD=\frac{1}{2}×4×3=6$，
∴ 四边形ABCF的面积 $S=S_{矩形ABDF}+S_{△BCD}=12+6=18$。
【答案】
(1) 四边形ABDF是矩形，证明成立；
(2) $\boxed{18}$
【知识点】
平行四边形的性质与判定；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，融合了特殊四边形的判定性质、全等三角形、勾股定理及面积计算等考点，解题时只要理清各类特殊四边形的关联，逐步推导边角关系就能顺利求解，是巩固特殊四边形相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.7
7.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,通过尺规作图得到的直线MN分别交AB,AC于点D,E,连接CD。若$CE=\frac{1}{3}AE=1$,则$CD=$
$\sqrt{6}$
。答案
7.$\sqrt{6}$
解析
【分析】
首先识别尺规作图结果：直线MN是AB的垂直平分线，可结合垂直平分线性质、勾股定理、直角三角形斜边中线性质求解。第一步先根据已知线段关系求出AE、AC的长度；第二步连接BE，利用垂直平分线性质得BE=AE，在Rt△BCE中用勾股定理求BC²；第三步在Rt△ABC中用勾股定理求斜边AB的长；最后根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出CD的长度。
【解析】
1. 由尺规作图痕迹可知，MN是线段AB的垂直平分线，因此点E在MN上，可得$BE=AE$，且D是AB的中点。
2. 已知$CE=\frac{1}{3}AE=1$，则$AE=3$，$AC=AE+CE=3+1=4$，$BE=AE=3$。
3. 在$Rt△BCE$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$BC^2=BE^2-CE^2=3^2-1^2=8$。
4. 在$Rt△ABC$中，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=4^2+8=24$，因此$AB=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
5. 因为$△ABC$是直角三角形，D是斜边AB的中点，所以CD是斜边AB的中线，根据直角三角形斜边中线性质：
$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{6}=\sqrt{6}$。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先正确识别尺规作图的结果，再结合相关几何性质逐步推导线段长度，考查了学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先识别尺规作图结果：直线MN是AB的垂直平分线，可结合垂直平分线性质、勾股定理、直角三角形斜边中线性质求解。第一步先根据已知线段关系求出AE、AC的长度；第二步连接BE，利用垂直平分线性质得BE=AE，在Rt△BCE中用勾股定理求BC²；第三步在Rt△ABC中用勾股定理求斜边AB的长；最后根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出CD的长度。
【解析】
1. 由尺规作图痕迹可知，MN是线段AB的垂直平分线，因此点E在MN上，可得$BE=AE$，且D是AB的中点。
2. 已知$CE=\frac{1}{3}AE=1$，则$AE=3$，$AC=AE+CE=3+1=4$，$BE=AE=3$。
3. 在$Rt△BCE$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$BC^2=BE^2-CE^2=3^2-1^2=8$。
4. 在$Rt△ABC$中，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=4^2+8=24$，因此$AB=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
5. 因为$△ABC$是直角三角形，D是斜边AB的中点，所以CD是斜边AB的中线，根据直角三角形斜边中线性质：
$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{6}=\sqrt{6}$。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先正确识别尺规作图的结果，再结合相关几何性质逐步推导线段长度，考查了学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
8.如图,在正方形ABCD中,点E在CD上,连接AE,BE,F为BE的中点,连接CF。若$CF=\frac{\sqrt{29}}{2}$,$\frac{DE}{EC}=\frac{3}{2}$,则AE的长为
$\sqrt{34}$
。答案
8.$\sqrt{34}$
解析
【分析】
首先观察图形特征，正方形内角为直角，△BCE是直角三角形，F是BE中点，可利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求出BE的长度。再根据DE与EC的比例关系设参数，用参数表示正方形边长和EC的长度，借助Rt△BCE的勾股定理求出参数值，最后在Rt△ADE中用勾股定理计算AE的长度即可。
【解析】
设$EC=2x$，由$\frac{DE}{EC}=\frac{3}{2}$可得$DE=3x$，因此正方形ABCD的边长$AB=BC=CD=DA=DE+EC=5x$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠ BCE=90°$，即$△ BCE$为直角三角形。
∵F是BE的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$BE=2CF$。
已知$CF=\frac{\sqrt{29}}{2}$，代入得$BE=2×\frac{\sqrt{29}}{2}=\sqrt{29}$。
在$Rt△ BCE$中，由勾股定理得$BC^2+EC^2=BE^2$，代入数值：
$(5x)^2+(2x)^2=(\sqrt{29})^2$
$25x^2+4x^2=29$
$29x^2=29$
解得$x^2=1$，
∵$x＞0$，
∴$x=1$。
因此$AD=5x=5$，$DE=3x=3$，在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$
【答案】
$\sqrt{34}$
【知识点】
正方形的性质；直角三角形斜边中线定理；勾股定理
【点评】
本题是典型的几何计算类习题，解题突破口是利用直角三角形斜边中线的性质快速得到BE的长度，再通过设参数结合勾股定理求解边长，考查了学生对基础几何性质的应用能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征，正方形内角为直角，△BCE是直角三角形，F是BE中点，可利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求出BE的长度。再根据DE与EC的比例关系设参数，用参数表示正方形边长和EC的长度，借助Rt△BCE的勾股定理求出参数值，最后在Rt△ADE中用勾股定理计算AE的长度即可。
【解析】
设$EC=2x$，由$\frac{DE}{EC}=\frac{3}{2}$可得$DE=3x$，因此正方形ABCD的边长$AB=BC=CD=DA=DE+EC=5x$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠ BCE=90°$，即$△ BCE$为直角三角形。
∵F是BE的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$BE=2CF$。
已知$CF=\frac{\sqrt{29}}{2}$，代入得$BE=2×\frac{\sqrt{29}}{2}=\sqrt{29}$。
在$Rt△ BCE$中，由勾股定理得$BC^2+EC^2=BE^2$，代入数值：
$(5x)^2+(2x)^2=(\sqrt{29})^2$
$25x^2+4x^2=29$
$29x^2=29$
解得$x^2=1$，
∵$x＞0$，
∴$x=1$。
因此$AD=5x=5$，$DE=3x=3$，在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$
【答案】
$\sqrt{34}$
【知识点】
正方形的性质；直角三角形斜边中线定理；勾股定理
【点评】
本题是典型的几何计算类习题，解题突破口是利用直角三角形斜边中线的性质快速得到BE的长度，再通过设参数结合勾股定理求解边长，考查了学生对基础几何性质的应用能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
9.在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点。如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点。若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有A，B，C三个整点，则平移后点E的对应点坐标为（
A.$( \frac{7}{5},\frac{11}{5} )$
B.$( \frac{8}{5},\frac{23}{10} )$
C.$( \frac{3}{2},2 )$
D.$( \frac{3}{2},\frac{9}{4} )$
A
）。A.$( \frac{7}{5},\frac{11}{5} )$
B.$( \frac{8}{5},\frac{23}{10} )$
C.$( \frac{3}{2},2 )$
D.$( \frac{3}{2},\frac{9}{4} )$
答案
9.A
解析
【分析】
首先确定平移前正方形EFGH各顶点坐标、各边的函数解析式，以及目标内部整点A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)的坐标。平移不改变图形的形状和大小，因此平移后正方形各边的斜率不变，仅常数项改变。将选项给出的平移后E点坐标代入，反推平移后正方形内部的不等式约束，逐一验证三个目标整点是否在内部、其余整点是否不在内部，即可选出正确答案。
【解析】
第一步：确定基础坐标和边界方程
原正方形顶点：$E(1,2)$，$F(-1,1)$，$G(0,-1)$，$H(2,0)$；目标内部整点为$A(1,0)$、$B(1,1)$、$C(0,1)$。
计算得原正方形各边解析式：
$EF:y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，$FG:y=-2x-1$，$GH:y=\frac{1}{2}x-1$，$HE:y=-2x+4$
原正方形内部（不含边界）满足不等式组：
$\begin{cases}y＜\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\\y＞-2x-1\\y＞\frac{1}{2}x-1\\y＜-2x+4\end{cases}$
第二步：平移规则转化
若平移后点E坐标为$(x_E,y_E)$，则平移向量为$(x_E-1,y_E-2)$，代入原不等式组即可得到平移后正方形内部的约束条件。
第三步：逐一验证选项
对选项A：$(\frac{7}{5},\frac{11}{5})=(1.4,2.2)$，代入得平移后约束：
$\begin{cases}y＜\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\\y＞-2x\\y＞\frac{1}{2}x-1\\y＜-2x+5\end{cases}$
验证得：$A(1,0)$、$B(1,1)$、$C(0,1)$均满足上述不等式，属于内部整点；其余整点如$(0,0)$、$(1,2)$、$(2,0)$、$(2,1)$均不满足约束，不在内部，符合要求。
验证其余选项，均存在额外整点位于正方形内部，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
坐标与图形平移；一次函数的应用；正方形的性质
【点评】
本题将平移性质与一次函数结合考查，需要通过数形结合判断整点与正方形边界的位置关系，对逻辑推理和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
首先确定平移前正方形EFGH各顶点坐标、各边的函数解析式，以及目标内部整点A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)的坐标。平移不改变图形的形状和大小，因此平移后正方形各边的斜率不变，仅常数项改变。将选项给出的平移后E点坐标代入，反推平移后正方形内部的不等式约束，逐一验证三个目标整点是否在内部、其余整点是否不在内部，即可选出正确答案。
【解析】
第一步：确定基础坐标和边界方程
原正方形顶点：$E(1,2)$，$F(-1,1)$，$G(0,-1)$，$H(2,0)$；目标内部整点为$A(1,0)$、$B(1,1)$、$C(0,1)$。
计算得原正方形各边解析式：
$EF:y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，$FG:y=-2x-1$，$GH:y=\frac{1}{2}x-1$，$HE:y=-2x+4$
原正方形内部（不含边界）满足不等式组：
$\begin{cases}y＜\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\\y＞-2x-1\\y＞\frac{1}{2}x-1\\y＜-2x+4\end{cases}$
第二步：平移规则转化
若平移后点E坐标为$(x_E,y_E)$，则平移向量为$(x_E-1,y_E-2)$，代入原不等式组即可得到平移后正方形内部的约束条件。
第三步：逐一验证选项
对选项A：$(\frac{7}{5},\frac{11}{5})=(1.4,2.2)$，代入得平移后约束：
$\begin{cases}y＜\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\\y＞-2x\\y＞\frac{1}{2}x-1\\y＜-2x+5\end{cases}$
验证得：$A(1,0)$、$B(1,1)$、$C(0,1)$均满足上述不等式，属于内部整点；其余整点如$(0,0)$、$(1,2)$、$(2,0)$、$(2,1)$均不满足约束，不在内部，符合要求。
验证其余选项，均存在额外整点位于正方形内部，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
坐标与图形平移；一次函数的应用；正方形的性质
【点评】
本题将平移性质与一次函数结合考查，需要通过数形结合判断整点与正方形边界的位置关系，对逻辑推理和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
10.如图,在菱形ABCD中,∠DAB=40°,连接AC,以点A为圆心,AC的长为半径作弧,交直线AD于点E,连接CE,则∠AEC的度数是 。
答案
10.$80°$或$10°$ 解析:分两种情况讨论。
①以点 A 为圆心,AC 的长为半径作弧，交射线 AD 于点 E,连接 CE,如图所示。
易得$∠DAC=∠BAC$。
∵$∠DAB=40°$,
∴$∠DAC=20°$。
∵$AC=AE$,
∴$∠AEC=(180°-20°)÷2=80°$。
②以点 A 为圆心,AC 的长为半径作弧，交射线 DA 于点 $E'$,连接 $CE'$,如图所示。
∵$AE'=AC$,$∠DAC=20°$,
∴$∠AE'C=∠ACE'=10°$。
综上所述,$∠AEC$ 的度数是 $80°$或 $10°$。
解析
【分析】
本题需要结合菱形和等腰三角形的性质求解，关键要注意题干中“交直线AD”的表述，直线可向两个方向无限延伸，因此需分两种情况讨论。第一步先利用菱形对角线平分一组内角的性质，求出∠DAC的度数；第二步针对两种交点位置，分别利用等腰三角形等边对等角、三角形内角和为180°的性质计算∠AEC的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当弧交射线AD于点E时：
∵ 四边形ABCD是菱形，AC为对角线，
∴ AC平分∠DAB，
∵ ∠DAB=40°，
∴ $∠ DAC=\frac{1}{2}∠ DAB=20°$，
∵ AC、AE均为以A为圆心的弧的半径，
∴ AC=AE，△AEC为等腰三角形，
∴ $∠ AEC=\frac{180°-∠ DAC}{2}=\frac{180°-20°}{2}=80°$。
② 当弧交射线DA的延长线于点$E'$时：
此时 $∠ E'AC=180°-∠ DAC=180°-20°=160°$，
∵ AC、$AE'$均为以A为圆心的弧的半径，
∴ $AC=AE'$，△$AE'C$为等腰三角形，
∴ $∠ AE'C=\frac{180°-∠ E'AC}{2}=\frac{180°-160°}{2}=10°$。
综上所述，∠AEC的度数为80°或10°。
【答案】
$80°$或$10°$
【知识点】
菱形的性质；等腰三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略“直线AD”可向两个方向延伸的特点，导致漏解。解题时要明确几何中“直线”“射线”“线段”的区别，结合图形性质严谨分析，养成分类讨论的思维习惯。
【难度系数】
0.6
本题需要结合菱形和等腰三角形的性质求解，关键要注意题干中“交直线AD”的表述，直线可向两个方向无限延伸，因此需分两种情况讨论。第一步先利用菱形对角线平分一组内角的性质，求出∠DAC的度数；第二步针对两种交点位置，分别利用等腰三角形等边对等角、三角形内角和为180°的性质计算∠AEC的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当弧交射线AD于点E时：
∵ 四边形ABCD是菱形，AC为对角线，
∴ AC平分∠DAB，
∵ ∠DAB=40°，
∴ $∠ DAC=\frac{1}{2}∠ DAB=20°$，
∵ AC、AE均为以A为圆心的弧的半径，
∴ AC=AE，△AEC为等腰三角形，
∴ $∠ AEC=\frac{180°-∠ DAC}{2}=\frac{180°-20°}{2}=80°$。
② 当弧交射线DA的延长线于点$E'$时：
此时 $∠ E'AC=180°-∠ DAC=180°-20°=160°$，
∵ AC、$AE'$均为以A为圆心的弧的半径，
∴ $AC=AE'$，△$AE'C$为等腰三角形，
∴ $∠ AE'C=\frac{180°-∠ E'AC}{2}=\frac{180°-160°}{2}=10°$。
综上所述，∠AEC的度数为80°或10°。
【答案】
$80°$或$10°$
【知识点】
菱形的性质；等腰三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略“直线AD”可向两个方向延伸的特点，导致漏解。解题时要明确几何中“直线”“射线”“线段”的区别，结合图形性质严谨分析，养成分类讨论的思维习惯。
【难度系数】
0.6
11.在矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN=AB=1。当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为
2或$1+\sqrt{2}$
。答案
11.2 或 $1+\sqrt{2}$ 解析:以点 D,M,N 为顶点的三角形是直角三角形时,分两种情况讨论。
①如图①,当$∠MND=90°$时。
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴$∠A=90°$,
∴$MN// AB$。
∵M 为对角线 BD 的中点，
∴易得 $AN=DN$。
∵$AN=AB=1$,
∴$AD=2AN=2$。
②如图②,连接 BN,当$∠NMD=90°$时。
∵M 为对角线 BD 的中点，
∴$BM=DM$,
∴MN 垂直平分 BD，
∴$BN=DN$。
∵$∠A=90°$,$AB=AN=1$,
∴$BN=\sqrt{2}$,
∴$AD=AN+DN=1+\sqrt{2}$。
综上所述,AD 的长为 2 或 $1+\sqrt{2}$。
解析
【分析】
本题是矩形背景下的直角三角形存在性问题，因未明确直角顶点，需分类讨论求解，排除不可能为直角的∠MDN（该角是矩形对角线与AD边的夹角，为锐角），仅需讨论两种情况：①直角顶点为N，即∠MND=90°；②直角顶点为M，即∠NMD=90°。两种情况分别结合矩形性质、平行线分线段成比例规律、垂直平分线性质和勾股定理推导AD的长度即可。
【解析】
以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况讨论：
① 如图①，当$∠MND=90°$时。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴$∠A=90°$，
∴$∠A=∠MND$，可得$MN// AB$。
∵M为对角线BD的中点，
∴N是AD的中点，即$AN=DN$。
∵$AN=AB=1$，
∴$AD=2AN=2$。
② 如图②，连接BN，当$∠NMD=90°$时。
∵M为对角线BD的中点，且$MN⊥BD$，
∴MN垂直平分BD，
∴$BN=DN$。
∵$∠A=90°$，$AB=AN=1$，
由勾股定理得$BN=\sqrt{AB^2+AN^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
∴$DN=BN=\sqrt{2}$，
∴$AD=AN+DN=1+\sqrt{2}$。
综上所述，AD的长为2或$1+\sqrt{2}$。
【答案】
2或$1+\sqrt{2}$
【知识点】
矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题解题核心是对直角三角形的直角顶点分类讨论，结合几何性质逐步推导，需注意避免漏解，是典型的几何分类讨论题型。
【难度系数】
0.6
本题是矩形背景下的直角三角形存在性问题，因未明确直角顶点，需分类讨论求解，排除不可能为直角的∠MDN（该角是矩形对角线与AD边的夹角，为锐角），仅需讨论两种情况：①直角顶点为N，即∠MND=90°；②直角顶点为M，即∠NMD=90°。两种情况分别结合矩形性质、平行线分线段成比例规律、垂直平分线性质和勾股定理推导AD的长度即可。
【解析】
以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况讨论：
① 如图①，当$∠MND=90°$时。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴$∠A=90°$，
∴$∠A=∠MND$，可得$MN// AB$。
∵M为对角线BD的中点，
∴N是AD的中点，即$AN=DN$。
∵$AN=AB=1$，
∴$AD=2AN=2$。
② 如图②，连接BN，当$∠NMD=90°$时。
∵M为对角线BD的中点，且$MN⊥BD$，
∴MN垂直平分BD，
∴$BN=DN$。
∵$∠A=90°$，$AB=AN=1$，
由勾股定理得$BN=\sqrt{AB^2+AN^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
∴$DN=BN=\sqrt{2}$，
∴$AD=AN+DN=1+\sqrt{2}$。
综上所述，AD的长为2或$1+\sqrt{2}$。
【答案】
2或$1+\sqrt{2}$
【知识点】
矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题解题核心是对直角三角形的直角顶点分类讨论，结合几何性质逐步推导，需注意避免漏解，是典型的几何分类讨论题型。
【难度系数】
0.6
