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10 整理与复习
知识梳理
菱形、矩形、正方形以及平行四边形的关系如图所示，请在下面带箭头的线上填上文字，把图示的含义表达完整。
平行四边形
矩形
菱形
正方形
专题探究
知识梳理
菱形、矩形、正方形以及平行四边形的关系如图所示，请在下面带箭头的线上填上文字，把图示的含义表达完整。
平行四边形
矩形
菱形
正方形
专题探究
答案
平行四边形→矩形的两个条件：有一个角是直角、对角线相等；矩形→正方形的两个条件：对角线互相垂直、邻边相等；平行四边形→菱形的两个条件：邻边相等、对角线互相垂直；菱形→正方形的两个条件：有一个角是直角、对角线相等；平行四边形→正方形的两个条件：邻边相等且一角为直角、对角线相等且互相垂直。
解析
【分析】
解题时首先回忆特殊平行四边形的定义与判定定理，明确不同四边形的特征差异：矩形是具备“直角/对角线相等”特性的平行四边形，菱形是具备“邻边相等/对角线互相垂直”特性的平行四边形，正方形同时具备矩形和菱形的全部特性。不同图形的转化本质就是补充对应缺失的特征条件：1. 平行四边形转矩形，补充矩形独有的特性；2. 平行四边形转菱形，补充菱形独有的特性；3. 矩形转正方形，给矩形补充菱形的特性；4. 菱形转正方形，给菱形补充矩形的特性；5. 平行四边形直接转正方形，同时补充矩形和菱形的特性即可。
【解析】
我们根据各类特殊平行四边形的判定定理逐一确认条件：
1. 平行四边形→矩形：根据矩形判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，因此两个条件为：有一个角是直角、对角线相等；
2. 矩形→正方形：正方形是邻边相等（或对角线互相垂直）的矩形，因此两个条件为：对角线互相垂直、邻边相等；
3. 平行四边形→菱形：根据菱形判定定理，邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此两个条件为：邻边相等、对角线互相垂直；
4. 菱形→正方形：正方形是有一个角是直角（或对角线相等）的菱形，因此两个条件为：有一个角是直角、对角线相等；
5. 平行四边形→正方形：正方形同时满足矩形和菱形的判定，因此条件为：邻边相等且一角为直角、对角线相等且互相垂直。
【答案】
平行四边形→矩形的两个条件：有一个角是直角、对角线相等；矩形→正方形的两个条件：对角线互相垂直、邻边相等；平行四边形→菱形的两个条件：邻边相等、对角线互相垂直；菱形→正方形的两个条件：有一个角是直角、对角线相等；平行四边形→正方形的两个条件：邻边相等且一角为直角、对角线相等且互相垂直。
【知识点】
特殊平行四边形判定；四边形从属关系；正方形判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是梳理不同特殊平行四边形之间的联系与区别，需要学生准确掌握各类四边形的判定定理，避免混淆不同转化对应的条件，是巩固四边形章节基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆特殊平行四边形的定义与判定定理，明确不同四边形的特征差异：矩形是具备“直角/对角线相等”特性的平行四边形，菱形是具备“邻边相等/对角线互相垂直”特性的平行四边形，正方形同时具备矩形和菱形的全部特性。不同图形的转化本质就是补充对应缺失的特征条件：1. 平行四边形转矩形，补充矩形独有的特性；2. 平行四边形转菱形，补充菱形独有的特性；3. 矩形转正方形，给矩形补充菱形的特性；4. 菱形转正方形，给菱形补充矩形的特性；5. 平行四边形直接转正方形，同时补充矩形和菱形的特性即可。
【解析】
我们根据各类特殊平行四边形的判定定理逐一确认条件：
1. 平行四边形→矩形：根据矩形判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，因此两个条件为：有一个角是直角、对角线相等；
2. 矩形→正方形：正方形是邻边相等（或对角线互相垂直）的矩形，因此两个条件为：对角线互相垂直、邻边相等；
3. 平行四边形→菱形：根据菱形判定定理，邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此两个条件为：邻边相等、对角线互相垂直；
4. 菱形→正方形：正方形是有一个角是直角（或对角线相等）的菱形，因此两个条件为：有一个角是直角、对角线相等；
5. 平行四边形→正方形：正方形同时满足矩形和菱形的判定，因此条件为：邻边相等且一角为直角、对角线相等且互相垂直。
【答案】
平行四边形→矩形的两个条件：有一个角是直角、对角线相等；矩形→正方形的两个条件：对角线互相垂直、邻边相等；平行四边形→菱形的两个条件：邻边相等、对角线互相垂直；菱形→正方形的两个条件：有一个角是直角、对角线相等；平行四边形→正方形的两个条件：邻边相等且一角为直角、对角线相等且互相垂直。
【知识点】
特殊平行四边形判定；四边形从属关系；正方形判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是梳理不同特殊平行四边形之间的联系与区别，需要学生准确掌握各类四边形的判定定理，避免混淆不同转化对应的条件，是巩固四边形章节基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.8
1. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=4$，$BC=6$，将线段$AB$向右平移$a$个单位长度得到线段$EF$。若四边形$ECDF$为菱形，则$a$的值为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先结合已知条件逐步推导：首先回忆平行四边形的性质，可得平行四边形对边平行且相等，所以AB与CD平行且长度为4，AD和BC长度相等为6；再根据平移的性质，平移后的线段EF和AB平行且相等，平移距离等于AF、BE的长度为a，由此可推出EF和CD平行且相等，所以四边形ECDF首先是平行四边形；最后根据菱形的判定，平行四边形邻边相等时为菱形，因此只需令CD=DF，结合DF=AD-AF列等式求解即可得到a的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴$AB=CD=4$，$AD=BC=6$，$AB// CD$
∵线段AB向右平移$a$个单位长度得到EF
∴$EF=AB=4$，$EF// AB$，$AF=a$
∴$EF// CD$，$EF=CD$
∴四边形ECDF是平行四边形
若四边形ECDF为菱形，需满足邻边相等，即$CD=DF$
∵$DF=AD-AF=6-a$，$CD=4$
∴$4=6-a$
解得$a=2$
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；平移的性质；菱形的判定
【点评】
本题是几何基础题，将平行四边形、平移、菱形的知识点结合考查，解题的核心是先确定四边形ECDF为平行四边形，再利用菱形邻边相等的特征建立方程计算，解题思路清晰，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知条件逐步推导：首先回忆平行四边形的性质，可得平行四边形对边平行且相等，所以AB与CD平行且长度为4，AD和BC长度相等为6；再根据平移的性质，平移后的线段EF和AB平行且相等，平移距离等于AF、BE的长度为a，由此可推出EF和CD平行且相等，所以四边形ECDF首先是平行四边形；最后根据菱形的判定，平行四边形邻边相等时为菱形，因此只需令CD=DF，结合DF=AD-AF列等式求解即可得到a的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴$AB=CD=4$，$AD=BC=6$，$AB// CD$
∵线段AB向右平移$a$个单位长度得到EF
∴$EF=AB=4$，$EF// AB$，$AF=a$
∴$EF// CD$，$EF=CD$
∴四边形ECDF是平行四边形
若四边形ECDF为菱形，需满足邻边相等，即$CD=DF$
∵$DF=AD-AF=6-a$，$CD=4$
∴$4=6-a$
解得$a=2$
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；平移的性质；菱形的判定
【点评】
本题是几何基础题，将平行四边形、平移、菱形的知识点结合考查，解题的核心是先确定四边形ECDF为平行四边形，再利用菱形邻边相等的特征建立方程计算，解题思路清晰，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
2.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,下列结论一定正确的是(
A.AC平分∠BAD
B.AB=BC
C.AC=BD
D.AC⊥BD
C
)。A.AC平分∠BAD
B.AB=BC
C.AC=BD
D.AC⊥BD
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查矩形的性质及各类特殊平行四边形性质的区分，解题时先回忆矩形的相关性质，再逐个分析选项，判断每个选项是否对所有矩形都成立：首先明确矩形的基本性质为对边相等、四个角为直角、对角线互相平分且相等，而对角线平分内角、邻边相等、对角线互相垂直是菱形（或正方形，正方形是特殊的矩形）的特性，普通矩形不满足，据此逐一排除错误选项即可。
【解析】
结合矩形的性质逐个分析选项：
A. 只有当矩形是正方形时，对角线AC才平分∠BAD，普通矩形不满足该结论，故A错误；
B. AB、BC是矩形的邻边，矩形仅对边相等，邻边相等是正方形的特有性质，普通矩形邻边不一定相等，故B错误；
C. 矩形的对角线相等，AC、BD是矩形的两条对角线，因此AC=BD一定成立，故C正确；
D. 对角线互相垂直是菱形的性质，只有矩形为正方形时才满足AC⊥BD，普通矩形不满足，故D错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；特殊平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查不同特殊平行四边形的性质差异，解题时注意题干“一定正确”的要求，只有对所有矩形都成立的结论才是正确选项，牢记各类特殊四边形的性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查矩形的性质及各类特殊平行四边形性质的区分，解题时先回忆矩形的相关性质，再逐个分析选项，判断每个选项是否对所有矩形都成立：首先明确矩形的基本性质为对边相等、四个角为直角、对角线互相平分且相等，而对角线平分内角、邻边相等、对角线互相垂直是菱形（或正方形，正方形是特殊的矩形）的特性，普通矩形不满足，据此逐一排除错误选项即可。
【解析】
结合矩形的性质逐个分析选项：
A. 只有当矩形是正方形时，对角线AC才平分∠BAD，普通矩形不满足该结论，故A错误；
B. AB、BC是矩形的邻边，矩形仅对边相等，邻边相等是正方形的特有性质，普通矩形邻边不一定相等，故B错误；
C. 矩形的对角线相等，AC、BD是矩形的两条对角线，因此AC=BD一定成立，故C正确；
D. 对角线互相垂直是菱形的性质，只有矩形为正方形时才满足AC⊥BD，普通矩形不满足，故D错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；特殊平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查不同特殊平行四边形的性质差异，解题时注意题干“一定正确”的要求，只有对所有矩形都成立的结论才是正确选项，牢记各类特殊四边形的性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3.如图，已知正方形ABCD的边长为3，P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE：PF=1：2时，PC=(
A.$\sqrt{3}$
B.2
C.$\sqrt{5}$
D.$\frac{5}{2}$
C
)。A.$\sqrt{3}$
B.2
C.$\sqrt{5}$
D.$\frac{5}{2}$
答案
3.C
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先结合正方形性质和垂直条件，判断四边形AEPF是矩形，同时对角线BD平分∠ABC，可得△BEP是等腰直角三角形，得到BE=PE、AE=PF的关系；2. 利用AB边长为3和PE:PF=1:2的比例，计算出PE、BE的长度；3. 过P作BC的垂线构造直角三角形，用勾股定理即可求出PC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=90°，BD平分∠ABC，AB=BC=3，
∴∠EBP=45°。
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AEPF是矩形，即AE=PF。
又
∵∠PEB=90°，∠EBP=45°，
∴△BEP是等腰直角三角形，BE=PE。
设PE=x，则PF=2x，
由AB=AE+BE=PF+PE=3，得x+2x=3，解得x=1，
∴PE=BE=1。
过点P作PG⊥BC于G，
∵PE⊥AB，PG⊥BC，∠ABC=90°，
∴四边形EBGP是矩形，
∴BG=PE=1，PG=BE=1，
∴GC=BC-BG=3-1=2。
在Rt△PGC中，由勾股定理得：
$PC=\sqrt{PG^2+GC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，需要结合特殊四边形的性质推导线段关系，通过构造直角三角形求解未知线段，熟练掌握特殊图形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先结合正方形性质和垂直条件，判断四边形AEPF是矩形，同时对角线BD平分∠ABC，可得△BEP是等腰直角三角形，得到BE=PE、AE=PF的关系；2. 利用AB边长为3和PE:PF=1:2的比例，计算出PE、BE的长度；3. 过P作BC的垂线构造直角三角形，用勾股定理即可求出PC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=90°，BD平分∠ABC，AB=BC=3，
∴∠EBP=45°。
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AEPF是矩形，即AE=PF。
又
∵∠PEB=90°，∠EBP=45°，
∴△BEP是等腰直角三角形，BE=PE。
设PE=x，则PF=2x，
由AB=AE+BE=PF+PE=3，得x+2x=3，解得x=1，
∴PE=BE=1。
过点P作PG⊥BC于G，
∵PE⊥AB，PG⊥BC，∠ABC=90°，
∴四边形EBGP是矩形，
∴BG=PE=1，PG=BE=1，
∴GC=BC-BG=3-1=2。
在Rt△PGC中，由勾股定理得：
$PC=\sqrt{PG^2+GC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，需要结合特殊四边形的性质推导线段关系，通过构造直角三角形求解未知线段，熟练掌握特殊图形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
识别出错
答案
解：
在矩形$ABCD$中，由勾股定理可得对角线长度：
$AC=BD=\sqrt{AB^2 + AD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$
矩形对角线互相平分且相等，因此$OB=OC=\frac{13}{2}$。
连接$OE$，利用面积法：
$S_{△ OBC}=\frac{1}{4}S_{\mathrm{矩形}ABCD}=\frac{1}{4}×5×12=15$
同时$S_{△ OBC}=S_{△ OBE}+S_{△ OCE}=\frac{1}{2}· OB· EG + \frac{1}{2}· OC· EF$，代入$OB=OC=\frac{13}{2}$得：
$15=\frac{1}{2}×\frac{13}{2}×(EG+EF)$
解得：
$EF+EG=\frac{60}{13}$
答案：$\boldsymbol{\frac{60}{13}}$
在矩形$ABCD$中，由勾股定理可得对角线长度：
$AC=BD=\sqrt{AB^2 + AD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$
矩形对角线互相平分且相等，因此$OB=OC=\frac{13}{2}$。
连接$OE$，利用面积法：
$S_{△ OBC}=\frac{1}{4}S_{\mathrm{矩形}ABCD}=\frac{1}{4}×5×12=15$
同时$S_{△ OBC}=S_{△ OBE}+S_{△ OCE}=\frac{1}{2}· OB· EG + \frac{1}{2}· OC· EF$，代入$OB=OC=\frac{13}{2}$得：
$15=\frac{1}{2}×\frac{13}{2}×(EG+EF)$
解得：
$EF+EG=\frac{60}{13}$
答案：$\boldsymbol{\frac{60}{13}}$
解析
【分析】
要解决这类求直角三角形斜边上高的问题，解题思路很清晰：第一步先利用勾股定理算出直角三角形斜边的长度，第二步用等面积法，即直角三角形的面积既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，两个面积表达式相等就能列出方程求出高的值。
【解析】
假设题目为：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，CD⊥AB于点D，求CD的长度。
1. 求斜边AB的长度：
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=5^2+12^2=25+144=169$
因为边长为正数，所以$AB=\sqrt{169}=13$
2. 用等面积法列方程求CD：
三角形ABC的面积可表示为$S=\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$S=\frac{1}{2}AB· CD$
因此有：$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13× CD$
两边同时消去$\frac{1}{2}$得：$60=13CD$
解得：$CD=\frac{60}{13}$
【答案】
$\frac{60}{13}$
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，等面积法
【点评】
等面积法是几何中求线段长度的常用技巧，本题将勾股定理和面积计算结合，考查学生对基础几何公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这类求直角三角形斜边上高的问题，解题思路很清晰：第一步先利用勾股定理算出直角三角形斜边的长度，第二步用等面积法，即直角三角形的面积既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，两个面积表达式相等就能列出方程求出高的值。
【解析】
假设题目为：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，CD⊥AB于点D，求CD的长度。
1. 求斜边AB的长度：
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=5^2+12^2=25+144=169$
因为边长为正数，所以$AB=\sqrt{169}=13$
2. 用等面积法列方程求CD：
三角形ABC的面积可表示为$S=\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$S=\frac{1}{2}AB· CD$
因此有：$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13× CD$
两边同时消去$\frac{1}{2}$得：$60=13CD$
解得：$CD=\frac{60}{13}$
【答案】
$\frac{60}{13}$
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，等面积法
【点评】
等面积法是几何中求线段长度的常用技巧，本题将勾股定理和面积计算结合，考查学生对基础几何公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
5.如图，$□ ABCD$的对角线AC，BD相交于点O，分别以点B，C为圆心，$\frac{1}{2}AC$，$\frac{1}{2}BD$的长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP。
(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
(2)请说明当$□ ABCD$的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形。
(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
(2)请说明当$□ ABCD$的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形。
答案
5.解:(1)四边形 BPCO 为平行四边形。
理由:
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴$OC=OA=\frac{1}{2}AC$,$OB=OD=\frac{1}{2}BD$。
由作图方法,得 $CP=OB$,$BP=OC$。
∴ 四边形 BPCO 为平行四边形。
(2)当 $AC⊥BD$,且 $AC=BD$ 时,四边形BPCO 为正方形。
理由:
∵$AC⊥BD$,
∴$∠BOC=90°$。
∵$AC=BD$,$OB=\frac{1}{2}BD$,$OC=\frac{1}{2}AC$,
∴$OB=OC$。
∵ 四边形 BPCO 为平行四边形，
∴ 四边形 BPCO 为正方形。
理由:
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴$OC=OA=\frac{1}{2}AC$,$OB=OD=\frac{1}{2}BD$。
由作图方法,得 $CP=OB$,$BP=OC$。
∴ 四边形 BPCO 为平行四边形。
(2)当 $AC⊥BD$,且 $AC=BD$ 时,四边形BPCO 为正方形。
理由:
∵$AC⊥BD$,
∴$∠BOC=90°$。
∵$AC=BD$,$OB=\frac{1}{2}BD$,$OC=\frac{1}{2}AC$,
∴$OB=OC$。
∵ 四边形 BPCO 为平行四边形，
∴ 四边形 BPCO 为正方形。
解析
【分析】
(1) 判断四边形BPCO的形状时，首先利用平行四边形ABCD的对角线互相平分的性质，得到OC与AC、OB与BD的数量关系；再结合题目的作图规则，推导得到四边形BPCO两组对边的等量关系，最后依据平行四边形的判定定理即可得出结论。
(2) 要使平行四边形BPCO成为正方形，需同时满足“有一个内角为直角”和“邻边相等”两个条件。结合平行四边形对角线的性质：若AC⊥BD，可得∠BOC为直角，平行四边形BPCO是矩形；若AC=BD，可推出OB=OC，平行四边形BPCO是菱形，同时满足两个条件即可得到正方形，进而推导出原平行四边形对角线需要满足的条件。
【解析】
(1) 四边形BPCO为平行四边形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $OC=OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$。
由作图方法可知，$BP=\frac{1}{2}AC$，$CP=\frac{1}{2}BD$，
∴ $BP=OC$，$CP=OB$，
∴ 四边形BPCO是平行四边形。
(2) 当$AC⊥BD$，且$AC=BD$时，四边形BPCO是正方形，理由如下：
∵ $AC⊥BD$，
∴ $∠BOC=90°$。
∵ $AC=BD$，$OB=\frac{1}{2}BD$，$OC=\frac{1}{2}AC$，
∴ $OB=OC$。
又
∵ 四边形BPCO是平行四边形，
∴ 四边形BPCO是正方形。
【答案】
(1) 四边形BPCO是平行四边形；
(2) 当对角线$AC⊥BD$且$AC=BD$时，四边形BPCO是正方形。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；正方形的判定
【点评】
本题重点考查特殊四边形的相关性质和判定方法，解题时需要结合已知条件逐层推导，熟练掌握各类特殊四边形的判定规则是解决此类问题的核心，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 判断四边形BPCO的形状时，首先利用平行四边形ABCD的对角线互相平分的性质，得到OC与AC、OB与BD的数量关系；再结合题目的作图规则，推导得到四边形BPCO两组对边的等量关系，最后依据平行四边形的判定定理即可得出结论。
(2) 要使平行四边形BPCO成为正方形，需同时满足“有一个内角为直角”和“邻边相等”两个条件。结合平行四边形对角线的性质：若AC⊥BD，可得∠BOC为直角，平行四边形BPCO是矩形；若AC=BD，可推出OB=OC，平行四边形BPCO是菱形，同时满足两个条件即可得到正方形，进而推导出原平行四边形对角线需要满足的条件。
【解析】
(1) 四边形BPCO为平行四边形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $OC=OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$。
由作图方法可知，$BP=\frac{1}{2}AC$，$CP=\frac{1}{2}BD$，
∴ $BP=OC$，$CP=OB$，
∴ 四边形BPCO是平行四边形。
(2) 当$AC⊥BD$，且$AC=BD$时，四边形BPCO是正方形，理由如下：
∵ $AC⊥BD$，
∴ $∠BOC=90°$。
∵ $AC=BD$，$OB=\frac{1}{2}BD$，$OC=\frac{1}{2}AC$，
∴ $OB=OC$。
又
∵ 四边形BPCO是平行四边形，
∴ 四边形BPCO是正方形。
【答案】
(1) 四边形BPCO是平行四边形；
(2) 当对角线$AC⊥BD$且$AC=BD$时，四边形BPCO是正方形。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；正方形的判定
【点评】
本题重点考查特殊四边形的相关性质和判定方法，解题时需要结合已知条件逐层推导，熟练掌握各类特殊四边形的判定规则是解决此类问题的核心，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
