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1.某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，该比赛共进行了36场，设有x支队伍参赛，则可列方程为(
A.$x(x-1)=36$
B.$\frac{1}{2}x(x-1)=36$
C.$\frac{1}{2}x(x+1)=36$
D.$x(x+1)=36$
B
)A.$x(x-1)=36$
B.$\frac{1}{2}x(x-1)=36$
C.$\frac{1}{2}x(x+1)=36$
D.$x(x+1)=36$
答案
B
解析
【分析】
首先明确单循环比赛的规则：每两支队伍之间仅进行1场比赛。第一步，先计算不考虑重复时的总对阵记录：每支队伍需要和除自身外的(x-1)支队伍比赛，x支队伍合计有x(x-1)次对阵记录；第二步，注意到每一场比赛会被对阵的两支队伍各统计1次，因此上述结果是实际场次的2倍，需要除以2得到真实比赛总场次；第三步，结合已知总场次为36，即可列出对应的方程。
【解析】
单循环赛制下，每两队之间只比赛1场：
1. 计算单队参赛场次：每支队伍要和其余$(x-1)$支队伍各赛1场，因此单队共参加$(x-1)$场比赛；
2. 去重计算实际总场次：x支队伍若直接累加对阵记录总次数为$x(x-1)$，但每场比赛会被对阵的2支队伍各统计1次，存在重复计数，因此实际总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$；
3. 已知比赛总场次为36，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=36$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，单循环赛计数
【点评】
本题是列方程解实际问题的基础题型，解题核心是理解单循环赛制的计数逻辑，避免忽略重复计数导致漏乘$\frac{1}{2}$，掌握赛制规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先明确单循环比赛的规则：每两支队伍之间仅进行1场比赛。第一步，先计算不考虑重复时的总对阵记录：每支队伍需要和除自身外的(x-1)支队伍比赛，x支队伍合计有x(x-1)次对阵记录；第二步，注意到每一场比赛会被对阵的两支队伍各统计1次，因此上述结果是实际场次的2倍，需要除以2得到真实比赛总场次；第三步，结合已知总场次为36，即可列出对应的方程。
【解析】
单循环赛制下，每两队之间只比赛1场：
1. 计算单队参赛场次：每支队伍要和其余$(x-1)$支队伍各赛1场，因此单队共参加$(x-1)$场比赛；
2. 去重计算实际总场次：x支队伍若直接累加对阵记录总次数为$x(x-1)$，但每场比赛会被对阵的2支队伍各统计1次，存在重复计数，因此实际总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$；
3. 已知比赛总场次为36，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=36$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，单循环赛计数
【点评】
本题是列方程解实际问题的基础题型，解题核心是理解单循环赛制的计数逻辑，避免忽略重复计数导致漏乘$\frac{1}{2}$，掌握赛制规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名学生，那么根据题意列出的方程是(
A.$x(x+1)=182$
B.$x(x-1)=182$
C.$2x(x+1)=182$
D.$x(x-1)=182×2$
B
)A.$x(x+1)=182$
B.$x(x-1)=182$
C.$2x(x+1)=182$
D.$x(x-1)=182×2$
答案
B 点拨:此题易出现选D项的错误,其原因是审题不清.“互赠”说明甲同学赠送给乙同学,乙同学也赠送给甲同学,因此,每人需赠送$(x-1)$件.
解析
【分析】
解题时先明确每个学生的赠送数量：全组共x名学生，每名学生不需要给自己赠送标本，因此每人需要向剩下的(x-1)名成员各赠送1件标本。再计算总赠送数：总赠送数量为总人数乘单人赠送数量，结合总互赠数为182件即可列出对应方程，注意互赠属于双向行为，甲赠乙和乙赠甲是两件不同的赠送，不需要额外除以2。
【解析】
设全组有x名学生：
1. 计算单人赠送标本数：每名学生只需给除自己外的其他成员赠送，因此1名学生赠送(x-1)件标本；
2. 计算全组总赠送标本数：总共有x名学生，因此总赠送数为$x(x-1)$件；
3. 结合题意总互赠数为182件，可列方程：$x(x-1)=182$，对应选项B。
（易错提示：若误将互赠当成单次计数，会错误除以2得到D选项，需注意互赠时两人之间的两次赠送均需计入总数）
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，互赠类计数问题
【点评】
本题是典型的实际问题列方程类题目，解题核心是理清计数规则，要注意区分互赠（双向计数）和握手、比赛等单循环（单次计数）问题的差异，审题时抓住关键词就能避免错误。
【难度系数】
0.7
解题时先明确每个学生的赠送数量：全组共x名学生，每名学生不需要给自己赠送标本，因此每人需要向剩下的(x-1)名成员各赠送1件标本。再计算总赠送数：总赠送数量为总人数乘单人赠送数量，结合总互赠数为182件即可列出对应方程，注意互赠属于双向行为，甲赠乙和乙赠甲是两件不同的赠送，不需要额外除以2。
【解析】
设全组有x名学生：
1. 计算单人赠送标本数：每名学生只需给除自己外的其他成员赠送，因此1名学生赠送(x-1)件标本；
2. 计算全组总赠送标本数：总共有x名学生，因此总赠送数为$x(x-1)$件；
3. 结合题意总互赠数为182件，可列方程：$x(x-1)=182$，对应选项B。
（易错提示：若误将互赠当成单次计数，会错误除以2得到D选项，需注意互赠时两人之间的两次赠送均需计入总数）
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，互赠类计数问题
【点评】
本题是典型的实际问题列方程类题目，解题核心是理清计数规则，要注意区分互赠（双向计数）和握手、比赛等单循环（单次计数）问题的差异，审题时抓住关键词就能避免错误。
【难度系数】
0.7
3.【教材P23练习T1变式】参加聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手15次，问有多少个人参加聚会？
解:设有x个人参加聚会.第1个人分别与其他
解:设有x个人参加聚会.第1个人分别与其他
$(x-1)$
人握手，第2个人分别与其他$(x-1)$
个人握手……依此类推，共x个人，如此共握手$x(x-1)$
次，但此时每两人之间都是按握手两次进行计算的，因此，x个人每两人之间握一次手，共握了$\frac{1}{2}x(x-1)$
次，于是得到方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
.答案
依次填入：$(x-1)$、$(x-1)$、$x(x-1)$、$\frac{1}{2}x(x-1)$、$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
解析
【分析】
这是典型的单循环握手问题，解题思路如下：首先从单个个体的握手次数入手，每个人不会和自己握手，因此单人握手次数为总人数减1；若直接用总人数乘单人握手次数，每一次握手会被两个当事人各统计一次，存在重复计数，因此实际总握手次数需要除以2；最后结合题目给出的总握手次数15次，即可列出对应的方程。
【解析】
设有$x$个人参加聚会：
1. 第1个人不需要和自己握手，因此要与其他$\boldsymbol{(x-1)}$人握手；
2. 同理，第2个人也不需要和自己握手，因此要与其他$\boldsymbol{(x-1)}$个人握手；
3. 依此类推，$x$个人按照上述方式统计，总握手次数为$\boldsymbol{x(x-1)}$次；
4. 由于每两人之间的握手在上述统计中被分别计算了2次，因此实际每两人握一次手的总次数为$\boldsymbol{\frac{1}{2}x(x-1)}$次；
5. 已知所有人共握手15次，因此可列方程：$\boldsymbol{\frac{1}{2}x(x-1)=15}$。
【答案】
依次填入：$(x-1)$、$(x-1)$、$x(x-1)$、$\frac{1}{2}x(x-1)$、$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环计数规律
【点评】
本题是基础的实际应用类问题，核心是理解单循环计数中重复计数的问题，掌握“总次数=总人数×(总人数-1)÷2”的等量关系，即可快速解决同类握手、比赛等单循环问题。
【难度系数】
0.8
这是典型的单循环握手问题，解题思路如下：首先从单个个体的握手次数入手，每个人不会和自己握手，因此单人握手次数为总人数减1；若直接用总人数乘单人握手次数，每一次握手会被两个当事人各统计一次，存在重复计数，因此实际总握手次数需要除以2；最后结合题目给出的总握手次数15次，即可列出对应的方程。
【解析】
设有$x$个人参加聚会：
1. 第1个人不需要和自己握手，因此要与其他$\boldsymbol{(x-1)}$人握手；
2. 同理，第2个人也不需要和自己握手，因此要与其他$\boldsymbol{(x-1)}$个人握手；
3. 依此类推，$x$个人按照上述方式统计，总握手次数为$\boldsymbol{x(x-1)}$次；
4. 由于每两人之间的握手在上述统计中被分别计算了2次，因此实际每两人握一次手的总次数为$\boldsymbol{\frac{1}{2}x(x-1)}$次；
5. 已知所有人共握手15次，因此可列方程：$\boldsymbol{\frac{1}{2}x(x-1)=15}$。
【答案】
依次填入：$(x-1)$、$(x-1)$、$x(x-1)$、$\frac{1}{2}x(x-1)$、$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环计数规律
【点评】
本题是基础的实际应用类问题，核心是理解单循环计数中重复计数的问题，掌握“总次数=总人数×(总人数-1)÷2”的等量关系，即可快速解决同类握手、比赛等单循环问题。
【难度系数】
0.8
4.【教材P23探究3变式】要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式，赛程计划安排5天，每天安排4场比赛.设共有x支球队参加比赛，则可列方程为
$x(x-1)=5×4$
.答案
$x(x-1)=5×4$
解析
【分析】
解题时先明确核心等量关系：球队参赛总场数=赛程计划安排的总场数。首先计算赛程安排的总场数，再根据双循环赛制的规则推导x支球队的参赛总场数，最后令两者相等即可列出方程。注意要区分双循环和单循环的场数计算差异：双循环每两队之间赛2场，单循环每两队之间赛1场，避免混淆公式。
【解析】
1. 计算赛程计划的总比赛场数：已知赛程安排5天，每天4场比赛，因此总比赛场数为$5 × 4$场。
2. 计算双循环赛制下x支球队的总比赛场数：双循环赛制要求每两支球队之间进行2场比赛，x支球队参赛时，每支球队需要和其余$(x-1)$支球队各赛2场，因此总场数为$x(x-1)$场。
3. 根据总场数相等列方程：两种方式计算的总比赛场数相等，因此可列方程为$x(x-1)=5 × 4$。
【答案】
$x(x-1)=5×4$
【知识点】
1. 双循环赛制计数 2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于比赛类实际应用问题，解题的关键是准确理解双循环赛制的场数计算规则，找到总场数的等量关系，是方程实际应用的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时先明确核心等量关系：球队参赛总场数=赛程计划安排的总场数。首先计算赛程安排的总场数，再根据双循环赛制的规则推导x支球队的参赛总场数，最后令两者相等即可列出方程。注意要区分双循环和单循环的场数计算差异：双循环每两队之间赛2场，单循环每两队之间赛1场，避免混淆公式。
【解析】
1. 计算赛程计划的总比赛场数：已知赛程安排5天，每天4场比赛，因此总比赛场数为$5 × 4$场。
2. 计算双循环赛制下x支球队的总比赛场数：双循环赛制要求每两支球队之间进行2场比赛，x支球队参赛时，每支球队需要和其余$(x-1)$支球队各赛2场，因此总场数为$x(x-1)$场。
3. 根据总场数相等列方程：两种方式计算的总比赛场数相等，因此可列方程为$x(x-1)=5 × 4$。
【答案】
$x(x-1)=5×4$
【知识点】
1. 双循环赛制计数 2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于比赛类实际应用问题，解题的关键是准确理解双循环赛制的场数计算规则，找到总场数的等量关系，是方程实际应用的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
5.某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价.据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件商品售价a元，则可卖出(320－10a)件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的25％.若商店计划要获利400元，则每件商品的售价应定为
22
元.答案
22
解析
【分析】
本题属于销售利润类应用题，解题思路如下：首先明确利润问题的核心等量关系：总利润=每件商品的利润×销售量。先根据已知条件表示出每件利润和销售量，列出对应一元二次方程；再结合物价部门的加价限制条件，求出售价的取值范围，对解方程得到的根进行取舍，最终得到符合要求的售价。
【解析】
设每件商品的售价定为$a$元，
每件商品的利润为$(a-18)$元，销售量为$(320-10a)$件，根据总利润为400元列方程：
$(a-18)(320-10a)=400$
展开整理得：
$a^2-50a+616=0$
因式分解得：
$(a-22)(a-28)=0$
解得$a_1=22$，$a_2=28$
根据物价部门限定，加价不能超过进价的25%，因此最高售价为：
$18×(1+25\%)=22.5$元
因为$28＞22.5$，不符合限定条件，舍去，故$a=22$。
【答案】
22
【知识点】
一元二次方程的应用、销售利润计算、方程根的检验
【点评】
本题是销售类应用题的常考题型，核心是找准利润相关的等量关系列方程，易错点是容易忽略题目中的实际限制条件，忘记对求解出的根进行合理性检验，做题时需注意结合实际背景筛选符合要求的解。
【难度系数】
0.7
本题属于销售利润类应用题，解题思路如下：首先明确利润问题的核心等量关系：总利润=每件商品的利润×销售量。先根据已知条件表示出每件利润和销售量，列出对应一元二次方程；再结合物价部门的加价限制条件，求出售价的取值范围，对解方程得到的根进行取舍，最终得到符合要求的售价。
【解析】
设每件商品的售价定为$a$元，
每件商品的利润为$(a-18)$元，销售量为$(320-10a)$件，根据总利润为400元列方程：
$(a-18)(320-10a)=400$
展开整理得：
$a^2-50a+616=0$
因式分解得：
$(a-22)(a-28)=0$
解得$a_1=22$，$a_2=28$
根据物价部门限定，加价不能超过进价的25%，因此最高售价为：
$18×(1+25\%)=22.5$元
因为$28＞22.5$，不符合限定条件，舍去，故$a=22$。
【答案】
22
【知识点】
一元二次方程的应用、销售利润计算、方程根的检验
【点评】
本题是销售类应用题的常考题型，核心是找准利润相关的等量关系列方程，易错点是容易忽略题目中的实际限制条件，忘记对求解出的根进行合理性检验，做题时需注意结合实际背景筛选符合要求的解。
【难度系数】
0.7
6.中秋节前,某商场平均每天可销售月饼100盒,每盒可盈利20元.中秋节过后,月饼因滞销而降价,若每盒降价1元,则平均每天可多售出2盒.
设每盒降价x元,则降价后每盒盈利
设每盒降价x元,则降价后每盒盈利
$(20-x)$
元,平均每天可多售出$2x$
盒,平均每天售出$(100+2x)$
盒,所以平均每天可获利$(20-x)·(100+2x)$
元,若要平均每天盈利1650元,则可列方程为$(20-x)(100+2x)=1650$
.答案
依次填入：$(20-x)$、$2x$、$(100+2x)$、$(20-x)·(100+2x)$、$(20-x)(100+2x)=1650$
解析
【分析】
本题属于销售利润类应用题，解题时结合题目给出的数量关系逐步推导即可：①单盒盈利为原盈利减去降价金额；②多售出的盒数为单位降价多售的盒数乘以总降价金额；③日均总销量为原销量加上多售出的盒数；④日均总获利为单盒盈利乘以日均总销量；⑤要达到指定盈利额，只需让总获利等于指定数值即可列出方程。
【解析】
1. 原每盒盈利20元，每盒降价x元后，单盒盈利为$20-x$，即$\boldsymbol{(20-x)}$元；
2. 已知每降价1元可多售出2盒，降价x元后，平均每天多售出的盒数为$2× x=2x$，即$\boldsymbol{2x}$盒；
3. 原平均每天销售100盒，降价后平均每天售出的总盒数为$100+2x$，即$\boldsymbol{(100+2x)}$盒；
4. 日均总获利=单盒盈利×日均销量，因此平均每天可获利$\boldsymbol{(20-x)(100+2x)}$元；
5. 若要平均每天盈利1650元，即总获利为1650元，可列方程为$\boldsymbol{(20-x)(100+2x)=1650}$。
【答案】
$(20-x)$、$2x$、$(100+2x)$、$(20-x)·(100+2x)$、$(20-x)(100+2x)=1650$
【知识点】
销售利润计算，列代数式，一元二次方程应用
【点评】
本题是销售类实际应用的基础题型，核心是理清单盒利润、销售量、总利润三者之间的数量关系，仔细梳理题干给出的条件，就能准确列出对应代数式和方程。
【难度系数】
0.8
本题属于销售利润类应用题，解题时结合题目给出的数量关系逐步推导即可：①单盒盈利为原盈利减去降价金额；②多售出的盒数为单位降价多售的盒数乘以总降价金额；③日均总销量为原销量加上多售出的盒数；④日均总获利为单盒盈利乘以日均总销量；⑤要达到指定盈利额，只需让总获利等于指定数值即可列出方程。
【解析】
1. 原每盒盈利20元，每盒降价x元后，单盒盈利为$20-x$，即$\boldsymbol{(20-x)}$元；
2. 已知每降价1元可多售出2盒，降价x元后，平均每天多售出的盒数为$2× x=2x$，即$\boldsymbol{2x}$盒；
3. 原平均每天销售100盒，降价后平均每天售出的总盒数为$100+2x$，即$\boldsymbol{(100+2x)}$盒；
4. 日均总获利=单盒盈利×日均销量，因此平均每天可获利$\boldsymbol{(20-x)(100+2x)}$元；
5. 若要平均每天盈利1650元，即总获利为1650元，可列方程为$\boldsymbol{(20-x)(100+2x)=1650}$。
【答案】
$(20-x)$、$2x$、$(100+2x)$、$(20-x)·(100+2x)$、$(20-x)(100+2x)=1650$
【知识点】
销售利润计算，列代数式，一元二次方程应用
【点评】
本题是销售类实际应用的基础题型，核心是理清单盒利润、销售量、总利润三者之间的数量关系，仔细梳理题干给出的条件，就能准确列出对应代数式和方程。
【难度系数】
0.8
7.【红色教育】某班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师让全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国.已知共赠勉励卡1640张，全班共有多少名学生？
答案
解:设全班共有x名学生，
根据题意,得$x(x-1)=1640$,
解得$x_1=-40$(不合题意,舍去),$x_2=41$.
答:全班共有41名学生.
根据题意,得$x(x-1)=1640$,
解得$x_1=-40$(不合题意,舍去),$x_2=41$.
答:全班共有41名学生.
解析
【分析】
解题时首先明确互赠勉励卡的规则：每名学生需要给除自己之外的其他所有同学各赠送1张卡片，即每名学生赠送(x-1)张，总共有x名学生时，总赠送卡片数等于人数乘单人赠送数量，据此建立一元二次方程，求解后根据人数为正整数的实际意义舍去不合题意的根，即可得到答案。
【解析】
解：设全班共有x名学生。
每名学生需向除自己外的(x-1)名学生赠送勉励卡，因此总赠送卡片数为x(x-1)张，根据题意列方程：
$x(x-1)=1640$
整理得$x^2 -x -1640=0$
解得$x_1=-40$（学生人数不能为负数，不合题意，舍去），$x_2=41$
答：全班共有41名学生。
【答案】
41名
【知识点】
一元二次方程的应用；列方程解实际问题；一元二次方程求解
【点评】
本题结合红色教育的现实背景，考查利用一元二次方程解决实际问题的能力，解题核心是理清互赠问题的数量关系，同时要注意对求解出的方程根结合实际意义进行检验。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确互赠勉励卡的规则：每名学生需要给除自己之外的其他所有同学各赠送1张卡片，即每名学生赠送(x-1)张，总共有x名学生时，总赠送卡片数等于人数乘单人赠送数量，据此建立一元二次方程，求解后根据人数为正整数的实际意义舍去不合题意的根，即可得到答案。
【解析】
解：设全班共有x名学生。
每名学生需向除自己外的(x-1)名学生赠送勉励卡，因此总赠送卡片数为x(x-1)张，根据题意列方程：
$x(x-1)=1640$
整理得$x^2 -x -1640=0$
解得$x_1=-40$（学生人数不能为负数，不合题意，舍去），$x_2=41$
答：全班共有41名学生。
【答案】
41名
【知识点】
一元二次方程的应用；列方程解实际问题；一元二次方程求解
【点评】
本题结合红色教育的现实背景，考查利用一元二次方程解决实际问题的能力，解题核心是理清互赠问题的数量关系，同时要注意对求解出的方程根结合实际意义进行检验。
【难度系数】
0.8
