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10.热干面是武汉市的特色美食,被誉为武汉最有名的美食名片.武汉某早餐店计划每天卖出100碗热干面,但每天的实际销售量与计划相比有出入.下表是某星期的销售情况(超出计划销售量的部分记为正数,不足的部分记为负数):
|星期|一|二|三|四|五|六|日|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|实际销售量/碗|+9|−3|
|+8|−7|+22|+11|
(1)这个星期的实际销售总量是否达到了计划销售总量?请说明理由;
(2)若每碗热干面的售价为6元,则该店这个星期销售热干面共收入多少元?
|星期|一|二|三|四|五|六|日|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|实际销售量/碗|+9|−3|
|+8|−7|+22|+11|(1)这个星期的实际销售总量是否达到了计划销售总量?请说明理由;
(2)若每碗热干面的售价为6元,则该店这个星期销售热干面共收入多少元?
答案
解：
(1) 计算本周每天实际销售量与计划量的差值之和：
$\begin{aligned}&(+9)+(-3)+(-10)+(+8)+(-7)+(+22)+(+11)\\=&9-3-10+8-7+22+11\\=&30\end{aligned}$
因为30＞0，所以这个星期的实际销售总量达到了计划销售总量。
(2) 计算本周实际销售总碗数：
$100×7 + 30 = 730$（碗）
计算本周总收入：
$730×6 = 4380$（元）
答：(1) 这个星期的实际销售总量达到了计划销售总量；(2) 该店这个星期销售热干面共收入4380元。
(1) 计算本周每天实际销售量与计划量的差值之和：
$\begin{aligned}&(+9)+(-3)+(-10)+(+8)+(-7)+(+22)+(+11)\\=&9-3-10+8-7+22+11\\=&30\end{aligned}$
因为30＞0，所以这个星期的实际销售总量达到了计划销售总量。
(2) 计算本周实际销售总碗数：
$100×7 + 30 = 730$（碗）
计算本周总收入：
$730×6 = 4380$（元）
答：(1) 这个星期的实际销售总量达到了计划销售总量；(2) 该店这个星期销售热干面共收入4380元。
解析
【分析】
解决第(1)问时，首先明确表格中正负数的含义：正数代表超出当日计划销量的部分，负数代表不足当日计划销量的部分。只需将7天的销量差值相加，若总和大于0，说明总销量超出计划，即达到了计划销售总量；若总和小于0则未达到。
解决第(2)问时，先计算本周计划销售总碗数，再加上第(1)问求出的差值总和，得到实际总销量，最后根据“总收入=单价×总销量”的数量关系计算总收入即可。
【解析】
(1) 计算本周7天销售量与计划量的差值总和：
$\begin{aligned}&(+9)+(-3)+(-10)+(+8)+(-7)+(+22)+(+11)\\=&9-3-10+8-7+22+11\\=&30\end{aligned}$
因为30＞0，说明实际总销量比计划总销量多30碗，因此这个星期的实际销售总量达到了计划销售总量。
(2) 计算本周实际销售总碗数：
7天的计划销售总量为$100×7=700$碗，加上超出的30碗，实际总销量为$700+30=730$碗。
计算本周总收入：
每碗热干面售价6元，因此总收入为$730×6=4380$元。
【答案】
(1) 这个星期的实际销售总量达到了计划销售总量；(2) 该店这个星期销售热干面共收入4380元。
【知识点】
正负数的实际应用、有理数的加法运算、销售问题计算
【点评】
本题结合生活场景命题，主要考查对正负数实际意义的理解和有理数加法的运算能力，解题时需注意计算过程中正负号的处理，理清总销量的计算逻辑即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，首先明确表格中正负数的含义：正数代表超出当日计划销量的部分，负数代表不足当日计划销量的部分。只需将7天的销量差值相加，若总和大于0，说明总销量超出计划，即达到了计划销售总量；若总和小于0则未达到。
解决第(2)问时，先计算本周计划销售总碗数，再加上第(1)问求出的差值总和，得到实际总销量，最后根据“总收入=单价×总销量”的数量关系计算总收入即可。
【解析】
(1) 计算本周7天销售量与计划量的差值总和：
$\begin{aligned}&(+9)+(-3)+(-10)+(+8)+(-7)+(+22)+(+11)\\=&9-3-10+8-7+22+11\\=&30\end{aligned}$
因为30＞0，说明实际总销量比计划总销量多30碗，因此这个星期的实际销售总量达到了计划销售总量。
(2) 计算本周实际销售总碗数：
7天的计划销售总量为$100×7=700$碗，加上超出的30碗，实际总销量为$700+30=730$碗。
计算本周总收入：
每碗热干面售价6元，因此总收入为$730×6=4380$元。
【答案】
(1) 这个星期的实际销售总量达到了计划销售总量；(2) 该店这个星期销售热干面共收入4380元。
【知识点】
正负数的实际应用、有理数的加法运算、销售问题计算
【点评】
本题结合生活场景命题，主要考查对正负数实际意义的理解和有理数加法的运算能力，解题时需注意计算过程中正负号的处理，理清总销量的计算逻辑即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
11.某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角,但是由于种种原因,实际购书量与计划有出入,下表是实际购书情况:
(1)直接写出$a=$,$b=$,$c=$;
(2)根据记录的数据可知4个班实际购书共本;
(3)书店给出一种优惠方案:一次购买不少于15本,其中2本书免费.若每本书售价为30元,请计算这4个班整体购书的最低总花费是多少元?
(1)直接写出$a=$,$b=$,$c=$;
(2)根据记录的数据可知4个班实际购书共本;
(3)书店给出一种优惠方案:一次购买不少于15本,其中2本书免费.若每本书售价为30元,请计算这4个班整体购书的最低总花费是多少元?
答案
解：
(1) 由4班实际购书21本，差值为-9，可得计划每班购书量为$21+9=30$本。
$a=30+12=42$，
$b=33-30=3$，
$c=30-8=22$。
(2) 4个班实际购书总数为$42+33+22+21=118$本。
(3) 最多可享受7次优惠（每次购买量不少于15本），总共免费图书数量为$7×2=14$本。
最低总花费为$(118-14)×30=104×30=3120$元。
答：这4个班整体购书的最低总花费是3120元。
(1) 由4班实际购书21本，差值为-9，可得计划每班购书量为$21+9=30$本。
$a=30+12=42$，
$b=33-30=3$，
$c=30-8=22$。
(2) 4个班实际购书总数为$42+33+22+21=118$本。
(3) 最多可享受7次优惠（每次购买量不少于15本），总共免费图书数量为$7×2=14$本。
最低总花费为$(118-14)×30=104×30=3120$元。
答：这4个班整体购书的最低总花费是3120元。
解析
【分析】
首先解决第(1)问：已知4个班计划每班购书量相同，可先从给出了实际购买量和差值的4班入手，算出每班计划购书量，再根据“实际购买量=计划购买量+差值”“差值=实际购买量-计划购买量”分别计算a、b、c的值。
第(2)问：直接将四个班的实际购买量相加，即可得到4个班的总购书量。
第(3)问：要让总花费最低，就要尽可能多享受优惠，优惠规则为单次购买不少于15本免2本，先计算最多能享受多少次优惠，得到免费的总本数，用总购书量减去免费本数后乘每本书的单价，即可得到最低总花费。
【解析】
(1) 先计算每班计划购书量：4班实际购书21本，差值为-9，说明比计划少9本，因此计划每班购书量为$21+9=30$本。
1班差值为+12，即比计划多12本，故$a=30+12=42$；
2班实际购书33本，故差值$b=33-30=3$；
3班差值为-8，即比计划少8本，故$c=30-8=22$。
(2) 4个班实际购书总数量为：$42+33+22+21=118$本。
(3) 要享受最低花费，每次按最少15本购买，每次可免2本：
$118÷15=7······13$，最多可享受7次优惠，免费总本数为$7×2=14$本。
需要付费购买的本数为$118-14=104$本，总花费为$104×30=3120$元。
【答案】
(1) $\boxed{42}$，$\boxed{3}$，$\boxed{22}$
(2) $\boxed{118}$
(3) $\boxed{3120}$元
【知识点】
正负数的应用，有理数加减运算，最优方案计算
【点评】
本题结合生活购书场景出题，既考察了正负数的实际意义和有理数基础运算能力，又要求学生结合优惠规则推导最优购买方案，兼顾了基础知识点和实践应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
首先解决第(1)问：已知4个班计划每班购书量相同，可先从给出了实际购买量和差值的4班入手，算出每班计划购书量，再根据“实际购买量=计划购买量+差值”“差值=实际购买量-计划购买量”分别计算a、b、c的值。
第(2)问：直接将四个班的实际购买量相加，即可得到4个班的总购书量。
第(3)问：要让总花费最低，就要尽可能多享受优惠，优惠规则为单次购买不少于15本免2本，先计算最多能享受多少次优惠，得到免费的总本数，用总购书量减去免费本数后乘每本书的单价，即可得到最低总花费。
【解析】
(1) 先计算每班计划购书量：4班实际购书21本，差值为-9，说明比计划少9本，因此计划每班购书量为$21+9=30$本。
1班差值为+12，即比计划多12本，故$a=30+12=42$；
2班实际购书33本，故差值$b=33-30=3$；
3班差值为-8，即比计划少8本，故$c=30-8=22$。
(2) 4个班实际购书总数量为：$42+33+22+21=118$本。
(3) 要享受最低花费，每次按最少15本购买，每次可免2本：
$118÷15=7······13$，最多可享受7次优惠，免费总本数为$7×2=14$本。
需要付费购买的本数为$118-14=104$本，总花费为$104×30=3120$元。
【答案】
(1) $\boxed{42}$，$\boxed{3}$，$\boxed{22}$
(2) $\boxed{118}$
(3) $\boxed{3120}$元
【知识点】
正负数的应用，有理数加减运算，最优方案计算
【点评】
本题结合生活购书场景出题，既考察了正负数的实际意义和有理数基础运算能力，又要求学生结合优惠规则推导最优购买方案，兼顾了基础知识点和实践应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
12.探究思考题：
(1)用“＜”“=”或“＞”填空：
①$|5+4|$ $|5|+|4|$；
②$|(-5)+(-4)|$ $|-5|+|-4|$；
③$|5+(-4)|$ $|5|+|-4|$；
④$|(-5)+4|$ $|-5|+|4|$。
(2)思考：
当$a,b$同号时，$|a+b|$ $|a|+|b|$；
当$a,b$异号时，$|a+b|$ $|a|+|b|$。(用“＜”“=”或“＞”填空)
(3)填空：
$|-5+0|$ $|-5|+|0|$，
$|0+(-8)|$ $|0|+|-8|$。
猜想：对于两个有理数$a,b$，有$|a+b|$ $|a|+|b|$。(用“≤”或“≥”填空)
(4)做完上述几组填空，你可以得出什么结论？用一句话描述你的结论。
(1)用“＜”“=”或“＞”填空：
①$|5+4|$ $|5|+|4|$；
②$|(-5)+(-4)|$ $|-5|+|-4|$；
③$|5+(-4)|$ $|5|+|-4|$；
④$|(-5)+4|$ $|-5|+|4|$。
(2)思考：
当$a,b$同号时，$|a+b|$ $|a|+|b|$；
当$a,b$异号时，$|a+b|$ $|a|+|b|$。(用“＜”“=”或“＞”填空)
(3)填空：
$|-5+0|$ $|-5|+|0|$，
$|0+(-8)|$ $|0|+|-8|$。
猜想：对于两个有理数$a,b$，有$|a+b|$ $|a|+|b|$。(用“≤”或“≥”填空)
(4)做完上述几组填空，你可以得出什么结论？用一句话描述你的结论。
答案
解：
(1)
① $|5+4|=9$，$|5|+|4|=5+4=9$，故填$=$；
② $|(-5)+(-4)|=|-9|=9$，$|-5|+|-4|=5+4=9$，故填$=$；
③ $|5+(-4)|=|1|=1$，$|5|+|-4|=5+4=9$，故填$＜$；
④ $|(-5)+4|=|-1|=1$，$|-5|+|4|=5+4=9$，故填$＜$。
(2)
当$a,b$同号时，$|a+b| = |a|+|b|$，故填$=$；
当$a,b$异号时，$|a+b| ＜ |a|+|b|$，故填$＜$。
(3)
$|-5+0|=5$，$|-5|+|0|=5+0=5$，故填$=$；
$|0+(-8)|=8$，$|0|+|-8|=0+8=8$，故填$=$；
猜想：对于两个有理数$a,b$，有$|a+b| ≤ |a|+|b|$，故填$≤$。
(4) 结论：任意两个有理数的和的绝对值，小于或等于这两个数的绝对值的和。
(1)
① $|5+4|=9$，$|5|+|4|=5+4=9$，故填$=$；
② $|(-5)+(-4)|=|-9|=9$，$|-5|+|-4|=5+4=9$，故填$=$；
③ $|5+(-4)|=|1|=1$，$|5|+|-4|=5+4=9$，故填$＜$；
④ $|(-5)+4|=|-1|=1$，$|-5|+|4|=5+4=9$，故填$＜$。
(2)
当$a,b$同号时，$|a+b| = |a|+|b|$，故填$=$；
当$a,b$异号时，$|a+b| ＜ |a|+|b|$，故填$＜$。
(3)
$|-5+0|=5$，$|-5|+|0|=5+0=5$，故填$=$；
$|0+(-8)|=8$，$|0|+|-8|=0+8=8$，故填$=$；
猜想：对于两个有理数$a,b$，有$|a+b| ≤ |a|+|b|$，故填$≤$。
(4) 结论：任意两个有理数的和的绝对值，小于或等于这两个数的绝对值的和。
解析
【分析】
这道题是探究有理数和的绝对值与两数绝对值的和的大小关系，解题遵循从特殊到一般的思路：首先计算每组具体数值式子左右两边的结果，比较大小；再根据同号、异号、其中一个加数为0三类情况分别归纳规律，最终总结出通用结论。
【解析】
(1)① 计算左边：$|5+4|=|9|=9$，计算右边：$|5|+|4|=5+4=9$，两边相等，故填$=$；
② 计算左边：$|(-5)+(-4)|=|-9|=9$，计算右边：$|-5|+|-4|=5+4=9$，两边相等，故填$=$；
③ 计算左边：$|5+(-4)|=|1|=1$，计算右边：$|5|+|-4|=5+4=9$，左边小于右边，故填$＜$；
④ 计算左边：$|(-5)+4|=|-1|=1$，计算右边：$|-5|+|4|=5+4=9$，左边小于右边，故填$＜$。
(2) 根据(1)中①②的结果可归纳：当$a,b$同号时，$|a+b|=|a|+|b|$，故填$=$；根据(1)中③④的结果可归纳：当$a,b$异号时，$|a+b|＜|a|+|b|$，故填$＜$。
(3) 计算左边：$|-5+0|=|-5|=5$，计算右边：$|-5|+|0|=5+0=5$，两边相等，故填$=$；
计算左边：$|0+(-8)|=|-8|=8$，计算右边：$|0|+|-8|=0+8=8$，两边相等，故填$=$；
结合前面所有情况：当$a,b$同号或其中一个为0时取等号，异号时取小于号，因此对于任意两个有理数$a,b$，$|a+b|≤|a|+|b|$，故填$≤$。
(4) 将上述规律整理为文字表述即可。
【答案】
(1)①$=$；②$=$；③$＜$；④$＜$
(2)$=$；$＜$
(3)$=$；$=$；$≤$
(4)任意两个有理数的和的绝对值，小于或等于这两个数的绝对值的和。
【知识点】
绝对值的计算；有理数的加法；绝对值的性质
【点评】
本题采用从特殊到一般的探究逻辑，既考查了基础运算能力，也锻炼了归纳总结的思维能力，能加深对绝对值和有理数加法运算的理解。
【难度系数】
0.8
这道题是探究有理数和的绝对值与两数绝对值的和的大小关系，解题遵循从特殊到一般的思路：首先计算每组具体数值式子左右两边的结果，比较大小；再根据同号、异号、其中一个加数为0三类情况分别归纳规律，最终总结出通用结论。
【解析】
(1)① 计算左边：$|5+4|=|9|=9$，计算右边：$|5|+|4|=5+4=9$，两边相等，故填$=$；
② 计算左边：$|(-5)+(-4)|=|-9|=9$，计算右边：$|-5|+|-4|=5+4=9$，两边相等，故填$=$；
③ 计算左边：$|5+(-4)|=|1|=1$，计算右边：$|5|+|-4|=5+4=9$，左边小于右边，故填$＜$；
④ 计算左边：$|(-5)+4|=|-1|=1$，计算右边：$|-5|+|4|=5+4=9$，左边小于右边，故填$＜$。
(2) 根据(1)中①②的结果可归纳：当$a,b$同号时，$|a+b|=|a|+|b|$，故填$=$；根据(1)中③④的结果可归纳：当$a,b$异号时，$|a+b|＜|a|+|b|$，故填$＜$。
(3) 计算左边：$|-5+0|=|-5|=5$，计算右边：$|-5|+|0|=5+0=5$，两边相等，故填$=$；
计算左边：$|0+(-8)|=|-8|=8$，计算右边：$|0|+|-8|=0+8=8$，两边相等，故填$=$；
结合前面所有情况：当$a,b$同号或其中一个为0时取等号，异号时取小于号，因此对于任意两个有理数$a,b$，$|a+b|≤|a|+|b|$，故填$≤$。
(4) 将上述规律整理为文字表述即可。
【答案】
(1)①$=$；②$=$；③$＜$；④$＜$
(2)$=$；$＜$
(3)$=$；$=$；$≤$
(4)任意两个有理数的和的绝对值，小于或等于这两个数的绝对值的和。
【知识点】
绝对值的计算；有理数的加法；绝对值的性质
【点评】
本题采用从特殊到一般的探究逻辑，既考查了基础运算能力，也锻炼了归纳总结的思维能力，能加深对绝对值和有理数加法运算的理解。
【难度系数】
0.8
