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例1 下列描述错误的是()
A.比$a$的一半大1的数是$\frac{1}{2}a +1$
B.$a$的相反数与$b$的和是$-a + b$
C.比$a$的平方小1的数是$a^2 -1$
D.$a$的2倍与$b$的差的3倍是$2a -3b$
【思路导析】对每个选项的描述，严格按照数学的运算顺序和优先级进行转化，判断是否与给出的表达式一致。
【请你解答】
A.比$a$的一半大1的数是$\frac{1}{2}a +1$
B.$a$的相反数与$b$的和是$-a + b$
C.比$a$的平方小1的数是$a^2 -1$
D.$a$的2倍与$b$的差的3倍是$2a -3b$
【思路导析】对每个选项的描述，严格按照数学的运算顺序和优先级进行转化，判断是否与给出的表达式一致。
【请你解答】
答案
D
解析
【分析】
这是一道判断代数式列写是否正确的题目，解题时需逐一对每个选项的文字描述按照运算先后顺序转化为代数式，再和选项给出的式子对比，找出描述错误的选项。注意描述中出现“XX的差/和的几倍”时，要先算差或和，再计算倍数，必要时要添加括号保证运算顺序正确。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：a的一半为$\frac{1}{2}a$，比它大1的数为$\frac{1}{2}a + 1$，与选项表达式一致，描述正确，不符合题意；
B选项：a的相反数为$-a$，它与b的和为$-a + b$，与选项表达式一致，描述正确，不符合题意；
C选项：a的平方为$a^2$，比它小1的数为$a^2 - 1$，与选项表达式一致，描述正确，不符合题意；
D选项：先计算a的2倍与b的差，即$2a - b$，再计算这个差的3倍，应为$3(2a - b) = 6a - 3b$，和选项给出的$2a - 3b$不一致，描述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
列代数式，运算顺序，数量关系表示
【点评】
本题核心考查根据文字描述准确转化为代数式的能力，易错点是忽略运算的先后顺序，漏加括号导致表达式错误，解题时可以通过拆分描述、分步列式的方法降低错误率。
【难度系数】
0.8
这是一道判断代数式列写是否正确的题目，解题时需逐一对每个选项的文字描述按照运算先后顺序转化为代数式，再和选项给出的式子对比，找出描述错误的选项。注意描述中出现“XX的差/和的几倍”时，要先算差或和，再计算倍数，必要时要添加括号保证运算顺序正确。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：a的一半为$\frac{1}{2}a$，比它大1的数为$\frac{1}{2}a + 1$，与选项表达式一致，描述正确，不符合题意；
B选项：a的相反数为$-a$，它与b的和为$-a + b$，与选项表达式一致，描述正确，不符合题意；
C选项：a的平方为$a^2$，比它小1的数为$a^2 - 1$，与选项表达式一致，描述正确，不符合题意；
D选项：先计算a的2倍与b的差，即$2a - b$，再计算这个差的3倍，应为$3(2a - b) = 6a - 3b$，和选项给出的$2a - 3b$不一致，描述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
列代数式，运算顺序，数量关系表示
【点评】
本题核心考查根据文字描述准确转化为代数式的能力，易错点是忽略运算的先后顺序，漏加括号导致表达式错误，解题时可以通过拆分描述、分步列式的方法降低错误率。
【难度系数】
0.8
例2 (1)某公司2026年1月份的产值为$a$万元，2月份的产值比1月份减少了12%，则2月份的产值是()
A. $(1+12\%)a$万元
B. $(1-12\%a)$万元
C. $(a-12\%)$万元
D. $(1-12\%)a$万元
(2)超市出售某商品，先在原价$x$元的基础上提价20%，再打八折，则商品现在的售价(单位:元)为()
A. $0.2×(1+20\%)x$
B. $0.2×(1-20\%)x$
C. $0.8×(1+20\%)x$
D. $0.8×(1-20\%)x$
【思路导析】(1)“减少了12%”意味着2月份的产值是1月份的$(1-12\%)$倍.
(2)分两步分析商品的价格变化.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
A. $(1+12\%)a$万元
B. $(1-12\%a)$万元
C. $(a-12\%)$万元
D. $(1-12\%)a$万元
(2)超市出售某商品，先在原价$x$元的基础上提价20%，再打八折，则商品现在的售价(单位:元)为()
A. $0.2×(1+20\%)x$
B. $0.2×(1-20\%)x$
C. $0.8×(1+20\%)x$
D. $0.8×(1-20\%)x$
【思路导析】(1)“减少了12%”意味着2月份的产值是1月份的$(1-12\%)$倍.
(2)分两步分析商品的价格变化.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
(1) 2月份的产值比1月份减少12%，说明2月份产值是1月份产值的$(1-12\%)$，已知1月份产值为$a$万元，因此2月份产值为$(1-12\%)a$万元。
故选D。
(2) 商品原价为$x$元，提价20%后价格为$(1+20\%)x$元，再打八折，即在此提价后的价格基础上乘以0.8，因此现在的售价为$0.8×(1+20\%)x$元。
故选C。
(1) 2月份的产值比1月份减少12%，说明2月份产值是1月份产值的$(1-12\%)$，已知1月份产值为$a$万元，因此2月份产值为$(1-12\%)a$万元。
故选D。
(2) 商品原价为$x$元，提价20%后价格为$(1+20\%)x$元，再打八折，即在此提价后的价格基础上乘以0.8，因此现在的售价为$0.8×(1+20\%)x$元。
故选C。
解析
【分析】
(1) 第一问解题时先找准单位“1”为1月份的产值，“比1月份减少12%”说明2月份产值是1月份产值的(1-12%)，用1月份产值乘对应占比即可得到2月份产值，可据此排除错误选项：A对应产值增长12%的情况不符合题意，B中12%的运算对象错误，C未乘1月份产值a，表达式无效。
(2) 第二问按价格变化分步分析：第一步提价20%时单位“1”是原价，提价后价格为原价的(1+20%)；第二步打八折时单位“1”是提价后的价格，现价为提价后价格的0.8倍，两步相乘即可得现价，可排除错误选项：A错把折扣系数写成0.2，B、D误将提价20%当成减20%，均不符合要求。
【解析】
(1) 已知1月份产值为a万元，2月份产值比1月份减少12%，即2月份产值是1月份的(1-12%)，因此2月份产值为$(1-12\%)a$万元，故选D。
(2) 商品原价为x元，先提价20%后价格为$(1+20\%)x$元；再打八折销售，即按提价后价格的80%（0.8倍）销售，因此现在的售价为$0.8×(1+20\%)x$元，故选C。
【答案】
(1)D；(2)C
【知识点】
列代数式；百分数应用；折扣问题
【点评】
这两道题是百分数实际应用的基础题型，解题核心是找准每一次变化对应的单位“1”，明确增减幅度、折扣的实际含义，按照变化顺序分步计算即可，要注意避免百分比运算对象错位的常见错误。
【难度系数】
0.85
(1) 第一问解题时先找准单位“1”为1月份的产值，“比1月份减少12%”说明2月份产值是1月份产值的(1-12%)，用1月份产值乘对应占比即可得到2月份产值，可据此排除错误选项：A对应产值增长12%的情况不符合题意，B中12%的运算对象错误，C未乘1月份产值a，表达式无效。
(2) 第二问按价格变化分步分析：第一步提价20%时单位“1”是原价，提价后价格为原价的(1+20%)；第二步打八折时单位“1”是提价后的价格，现价为提价后价格的0.8倍，两步相乘即可得现价，可排除错误选项：A错把折扣系数写成0.2，B、D误将提价20%当成减20%，均不符合要求。
【解析】
(1) 已知1月份产值为a万元，2月份产值比1月份减少12%，即2月份产值是1月份的(1-12%)，因此2月份产值为$(1-12\%)a$万元，故选D。
(2) 商品原价为x元，先提价20%后价格为$(1+20\%)x$元；再打八折销售，即按提价后价格的80%（0.8倍）销售，因此现在的售价为$0.8×(1+20\%)x$元，故选C。
【答案】
(1)D；(2)C
【知识点】
列代数式；百分数应用；折扣问题
【点评】
这两道题是百分数实际应用的基础题型，解题核心是找准每一次变化对应的单位“1”，明确增减幅度、折扣的实际含义，按照变化顺序分步计算即可，要注意避免百分比运算对象错位的常见错误。
【难度系数】
0.85
例3 如图，一个长为$b$、宽为$a$的长方形，中间挖去一个完整的圆，求剩余部分的面积。
【思路导析】已知长方形的面积，再表示出挖出的圆的面积，两者相减即可。
【规范解答】由题可得长方形的面积为$ab$，圆的直径为$a$，半径为$\frac{a}{2}$，所以圆的面积为$π(\frac{a}{2})^2$。所以剩余部分的面积为$ab - π(\frac{a}{2})^2$。
【思路导析】已知长方形的面积，再表示出挖出的圆的面积，两者相减即可。
【规范解答】由题可得长方形的面积为$ab$，圆的直径为$a$，半径为$\frac{a}{2}$，所以圆的面积为$π(\frac{a}{2})^2$。所以剩余部分的面积为$ab - π(\frac{a}{2})^2$。
答案
解：
长为$b$、宽为$a$的长方形的面积为$ab$。
由图可知，挖去的圆的直径等于长方形的宽$a$，因此圆的半径为$\frac{a}{2}$，
挖去的圆的面积为$π · (\frac{a}{2})^2$。
剩余部分的面积等于长方形面积减去挖去的圆的面积，即$ab - π(\frac{a}{2})^2$。
答：剩余部分的面积为$ab - \frac{π a^2}{4}$（或$ab - π(\frac{a}{2})^2$）。
长为$b$、宽为$a$的长方形的面积为$ab$。
由图可知，挖去的圆的直径等于长方形的宽$a$，因此圆的半径为$\frac{a}{2}$，
挖去的圆的面积为$π · (\frac{a}{2})^2$。
剩余部分的面积等于长方形面积减去挖去的圆的面积，即$ab - π(\frac{a}{2})^2$。
答：剩余部分的面积为$ab - \frac{π a^2}{4}$（或$ab - π(\frac{a}{2})^2$）。
解析
【分析】
要求剩余部分的面积，遵循“整体面积减去空白部分面积”的思路求解即可。第一步先计算整体长方形的面积，长方形面积公式为长×宽，已知长为b、宽为a，可直接求出长方形面积；第二步计算挖去的圆的面积，观察图形可知圆的上下边缘和长方形上下边重合，因此圆的直径等于长方形的宽a，由此可得到圆的半径，再结合圆的面积公式$πr^2$就能算出圆的面积；最后用长方形面积减去圆的面积，即可得到剩余部分的面积。
【解析】
解：首先计算长方形的面积：长方形的长为b，宽为a，根据长方形面积公式可得，长方形面积$=长×宽=ab$。
再计算挖去的圆的面积：由图可知圆的直径与长方形的宽相等，即圆的直径为a，因此圆的半径$r=\frac{a}{2}$，根据圆的面积公式可得，圆的面积$=πr^2=π·(\frac{a}{2})^2$。
剩余部分的面积=长方形面积-圆的面积，代入得剩余面积为$ab - π(\frac{a}{2})^2$，也可整理为$ab-\frac{πa^2}{4}$。
【答案】
$ab - \frac{π a^2}{4}$（或$ab - π(\frac{a}{2})^2$）
【知识点】
列代数式，长方形面积计算，圆的面积计算
【点评】
本题属于基础的面积差类问题，解题核心是掌握“整体减空白”的面积求解思路，熟记常见图形的面积公式，准确找到圆的直径是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要求剩余部分的面积，遵循“整体面积减去空白部分面积”的思路求解即可。第一步先计算整体长方形的面积，长方形面积公式为长×宽，已知长为b、宽为a，可直接求出长方形面积；第二步计算挖去的圆的面积，观察图形可知圆的上下边缘和长方形上下边重合，因此圆的直径等于长方形的宽a，由此可得到圆的半径，再结合圆的面积公式$πr^2$就能算出圆的面积；最后用长方形面积减去圆的面积，即可得到剩余部分的面积。
【解析】
解：首先计算长方形的面积：长方形的长为b，宽为a，根据长方形面积公式可得，长方形面积$=长×宽=ab$。
再计算挖去的圆的面积：由图可知圆的直径与长方形的宽相等，即圆的直径为a，因此圆的半径$r=\frac{a}{2}$，根据圆的面积公式可得，圆的面积$=πr^2=π·(\frac{a}{2})^2$。
剩余部分的面积=长方形面积-圆的面积，代入得剩余面积为$ab - π(\frac{a}{2})^2$，也可整理为$ab-\frac{πa^2}{4}$。
【答案】
$ab - \frac{π a^2}{4}$（或$ab - π(\frac{a}{2})^2$）
【知识点】
列代数式，长方形面积计算，圆的面积计算
【点评】
本题属于基础的面积差类问题，解题核心是掌握“整体减空白”的面积求解思路，熟记常见图形的面积公式，准确找到圆的直径是解题的关键。
【难度系数】
0.8
