7.如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°.以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是。

解：
在△ABC中，
∵ ∠ABC=40°，∠BAC=80°，
∴ ∠ACB=180°-40°-80°=60°。
由作图可知AD=AC，分两种情况：
① 当点D在线段BA上时：
∵ AD=AC，∠DAC=∠BAC=80°，
∴ ∠ACD=∠ADC=$\frac{180°-80°}{2}$=50°，
∴ ∠BCD=∠ACB - ∠ACD=60°-50°=10°。
② 当点D在BA的延长线上（点A远离点B的一侧）时：
∵ AD=AC，∠DAC=180°-∠BAC=100°，
∴ ∠ACD=∠ADC=$\frac{180°-100°}{2}$=40°，
∴ ∠BCD=∠ACB + ∠ACD=60°+40°=100°。
综上，∠BCD的度数是$\boldsymbol{10°}$或$\boldsymbol{100°}$。

8.如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE。
（1）求证：DE//BC。
（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数。

（1）证明：
∵ BE是△ABC的角平分线，
∴ ∠DBE = ∠EBC。
∵ DB = DE，
∴ ∠DBE = ∠DEB（等腰三角形两底角相等）。
∴ ∠DEB = ∠EBC。
∴ DE//BC（内错角相等，两直线平行）。
（2）解：
∵ DE//BC，
∴ ∠C = ∠AED = 45°。
在△ABC中，由三角形内角和为180°得：
∠ABC = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 65° - 45° = 70°。
∵ BE是△ABC的角平分线，
∴ ∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2} × 70° = 35°$。
综上，∠EBC的度数为$35°$。

9.如图，P，Q分别是等边三角形ABC边AB，BC上的动点（端点除外），点P，Q以相同的速度同时从点A，B出发.
（1）如图1，连结AQ，CP.求证：$△ ABQ ≌ △ CAP$.
（2）如图1，当点P，Q分别在边AB，BC上运动时，AQ，CP相交于点M，$∠ QMC$的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.
（3）如图2，当点P，Q分别在AB，BC的延长线上运动时，直线AQ，CP相交于点M，$∠ QMC$的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.

(1) 证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ $AB = CA$，$∠ ABQ = ∠ CAP = 60°$，
∵ 点P，Q运动速度相同，同时出发，
∴ $AP = BQ$。
在$△ ABQ$和$△ CAP$中，
$\{\begin{array}{l}AB = CA \\∠ ABQ = ∠ CAP \\BQ = AP\end{array} $
∴ $△ ABQ ≌ △ CAP$（SAS）。
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(2)
$∠ QMC$的大小不发生变化，度数为$60°$。
理由如下：
由(1)得$△ ABQ ≌ △ CAP$，
∴ $∠ BAQ = ∠ ACP$。
∵ $∠ QMC$是$△ ACM$的外角，
∴ $∠ QMC = ∠ ACP + ∠ CAM = ∠ BAQ + ∠ CAM = ∠ BAC$，
又∵ $∠ BAC = 60°$，
∴ $∠ QMC = 60°$。
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(3)
$∠ QMC$的大小不发生变化，度数为$120°$。
理由如下：
∵ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $AB = CA$，$∠ ABC = ∠ BAC = 60°$，
∴ $∠ ABQ = ∠ CAP = 180° - 60° = 120°$，
又∵ $AP = BQ$，
∴ $△ ABQ ≌ △ CAP$（SAS），
∴ $∠ BAQ = ∠ ACP$。
在$△ APM$中，$∠ QMC$是外角，
∴ $∠ QMC = ∠ P + ∠ BAQ = ∠ P + ∠ ACP$，
在$△ ACP$中，$∠ P + ∠ ACP = 180° - ∠ CAP = 180° - 60° = 120°$，
∴ $∠ QMC = 120°$。