登录
10.如图,在图①所示的天平上,物体A的质量等于物体B的质量加物体C的质量;在图②所示的天平上,物体A的质量加物体B的质量等于3个物体C的质量。由此可知,1个物体A的质量与（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）个物体C的质量相等。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
10.B
解析
【分析】
天平平衡意味着左右两边物体总质量相等，首先根据两个天平的平衡状态，分别写出A、B、C质量对应的等量关系式，再通过等量代换或者等式的运算消去B的质量，即可求出A和C的质量关系。
【解析】
设物体A的质量为a，物体B的质量为b，物体C的质量为c。
根据图①天平平衡可得：$ a = b + c $ ①
根据图②天平平衡可得：$ a + b = 3c $ ②
将①式变形为$ b = a - c $，代入②式：
$ a + (a - c) = 3c $
整理得：$ 2a - c = 3c $
根据等式的性质1，两边同时加c得：$ 2a = 4c $
根据等式的性质2，两边同时除以2得：$ a = 2c $
即1个物体A的质量等于2个物体C的质量。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质、等量代换
【点评】
本题结合天平平衡的生活场景考查等量关系的建立与运算，解题的核心是准确提取天平平衡对应的相等关系，通过消去中间量B得到A和C的关系，属于基础的等量运算应用题。
【难度系数】
0.8
天平平衡意味着左右两边物体总质量相等，首先根据两个天平的平衡状态，分别写出A、B、C质量对应的等量关系式，再通过等量代换或者等式的运算消去B的质量，即可求出A和C的质量关系。
【解析】
设物体A的质量为a，物体B的质量为b，物体C的质量为c。
根据图①天平平衡可得：$ a = b + c $ ①
根据图②天平平衡可得：$ a + b = 3c $ ②
将①式变形为$ b = a - c $，代入②式：
$ a + (a - c) = 3c $
整理得：$ 2a - c = 3c $
根据等式的性质1，两边同时加c得：$ 2a = 4c $
根据等式的性质2，两边同时除以2得：$ a = 2c $
即1个物体A的质量等于2个物体C的质量。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质、等量代换
【点评】
本题结合天平平衡的生活场景考查等量关系的建立与运算，解题的核心是准确提取天平平衡对应的相等关系，通过消去中间量B得到A和C的关系，属于基础的等量运算应用题。
【难度系数】
0.8
11.在天平的左边放3枚硬币和12 g砝码，右边放5枚硬币和4 g砝码，天平恰好平衡。已知所有硬币的质量都相同，如果设1枚硬币的质量为x g，可列出方程为(
A.$3x + 12 = 5x + 4$
B.$3x - 12 = 5x - 4$
C.$3x + 12 = 5x - 4$
D.$3x - 12 = 5x + 4$
A
)。A.$3x + 12 = 5x + 4$
B.$3x - 12 = 5x - 4$
C.$3x + 12 = 5x - 4$
D.$3x - 12 = 5x + 4$
答案
11.A
解析
【分析】
解题的核心是抓住天平平衡的等量关系：天平左右两侧的总质量相等。我们先分别表示出左右两边的总质量，再将两边质量联立为等式即可得到方程。首先左侧总质量是3枚硬币的质量加12g砝码的质量，右侧总质量是5枚硬币的质量加4g砝码的质量，代入1枚硬币质量为x g的条件就能列出方程。
【解析】
天平平衡时，左右两侧总质量相等。
左侧总质量：3枚硬币质量 + 12g砝码质量 = $3x + 12$（单位：g）
右侧总质量：5枚硬币质量 + 4g砝码质量 = $5x + 4$（单位：g）
根据左右质量相等列方程得：$3x + 12 = 5x + 4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程，天平平衡原理
【点评】
本题属于基础类应用题，解题关键是找准题目中的等量关系，只要明确天平平衡时左右总质量相等，分别表示两边质量即可快速列出方程。
【难度系数】
0.9
解题的核心是抓住天平平衡的等量关系：天平左右两侧的总质量相等。我们先分别表示出左右两边的总质量，再将两边质量联立为等式即可得到方程。首先左侧总质量是3枚硬币的质量加12g砝码的质量，右侧总质量是5枚硬币的质量加4g砝码的质量，代入1枚硬币质量为x g的条件就能列出方程。
【解析】
天平平衡时，左右两侧总质量相等。
左侧总质量：3枚硬币质量 + 12g砝码质量 = $3x + 12$（单位：g）
右侧总质量：5枚硬币质量 + 4g砝码质量 = $5x + 4$（单位：g）
根据左右质量相等列方程得：$3x + 12 = 5x + 4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程，天平平衡原理
【点评】
本题属于基础类应用题，解题关键是找准题目中的等量关系，只要明确天平平衡时左右总质量相等，分别表示两边质量即可快速列出方程。
【难度系数】
0.9
12.阅读小明利用等式的基本性质解方程的过程,指出他错在哪一步,为什么？
$2(y+2)-3=5(y+2)-3$。
方程两边都加3,得$2(y+2)=5(y+2)$。①
方程两边都除以$y+2$,得$2=5$。②
$2(y+2)-3=5(y+2)-3$。
方程两边都加3,得$2(y+2)=5(y+2)$。①
方程两边都除以$y+2$,得$2=5$。②
答案
12.解:错在第②步。因为不能确定$y+2$的值是不是0,所以方程两边不能同时除以$y+2$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆等式的基本性质，重点明确等式两边同时除以同一个数的前提：这个数必须不为0。我们依次检查小明的每一步操作：第一步给方程两边同时加3，符合等式两边加同一个数仍成立的性质，是正确的；第二步给方程两边同时除以(y+2)，此时需要先判断(y+2)是否可能为0，若(y+2)为0，除法无意义，不符合等式性质的要求，据此就能找到错误的步骤和原因。
【解析】
我们按照等式的基本性质逐一验证解题步骤：
1. 第①步：方程两边同时加3，根据等式的基本性质1，等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立，因此第①步操作正确，化简得到$2(y+2)=5(y+2)$。
2. 第②步：方程两边同时除以$y+2$，此时无法确定$y+2$的值是否为0，根据等式的基本性质2，等式两边只有同时除以同一个不为0的数，等式才成立，若$y+2=0$，除以$y+2$不符合运算规则，因此第②步操作错误。
【答案】
错在第②步。因为不能确定$y+2$的值是不是0，所以方程两边不能同时除以$y+2$。
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 解方程运算规范
【点评】
本题是解方程过程中的常见易错题型，重点考查对等式基本性质的理解与运用。解题时要注意，当等式两边需要同时除以含有未知数的式子时，必须先确认该式子的值不为0，否则会得出错误的结论。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要回忆等式的基本性质，重点明确等式两边同时除以同一个数的前提：这个数必须不为0。我们依次检查小明的每一步操作：第一步给方程两边同时加3，符合等式两边加同一个数仍成立的性质，是正确的；第二步给方程两边同时除以(y+2)，此时需要先判断(y+2)是否可能为0，若(y+2)为0，除法无意义，不符合等式性质的要求，据此就能找到错误的步骤和原因。
【解析】
我们按照等式的基本性质逐一验证解题步骤：
1. 第①步：方程两边同时加3，根据等式的基本性质1，等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立，因此第①步操作正确，化简得到$2(y+2)=5(y+2)$。
2. 第②步：方程两边同时除以$y+2$，此时无法确定$y+2$的值是否为0，根据等式的基本性质2，等式两边只有同时除以同一个不为0的数，等式才成立，若$y+2=0$，除以$y+2$不符合运算规则，因此第②步操作错误。
【答案】
错在第②步。因为不能确定$y+2$的值是不是0，所以方程两边不能同时除以$y+2$。
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 解方程运算规范
【点评】
本题是解方程过程中的常见易错题型，重点考查对等式基本性质的理解与运用。解题时要注意，当等式两边需要同时除以含有未知数的式子时，必须先确认该式子的值不为0，否则会得出错误的结论。
【难度系数】
0.7
13.【综合与实践】根据等式的基本性质，回答下列问题：
(1)从$ab=bc$能否得到$a=c$？为什么？
(2)从$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$能否得到$a=c$？为什么？
(3)从$ab=1$能否得到$a+1=\frac{1}{b}+1$？为什么？
(1)从$ab=bc$能否得到$a=c$？为什么？
(2)从$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$能否得到$a=c$？为什么？
(3)从$ab=1$能否得到$a+1=\frac{1}{b}+1$？为什么？
答案
13.解:(1)不一定。当$b≠0$时,根据等式的基本性质可得$a=c$;当$b=0$时,$a$不一定等于$c$。
(2)能得到。由题意,知$b≠0$,根据等式的基本性质,在$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$的两边都乘$b$,得$a=c$。
(3)能得到。显然$b≠0$,根据等式的基本性质,在$ab=1$的两边都除以$b$,得$a=\frac{1}{b}$,再根据等式的基本性质,在$a=\frac{1}{b}$两边都加1,得$a+1=\frac{1}{b}+1$。
(2)能得到。由题意,知$b≠0$,根据等式的基本性质,在$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$的两边都乘$b$,得$a=c$。
(3)能得到。显然$b≠0$,根据等式的基本性质,在$ab=1$的两边都除以$b$,得$a=\frac{1}{b}$,再根据等式的基本性质,在$a=\frac{1}{b}$两边都加1,得$a+1=\frac{1}{b}+1$。
解析
【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题核心是注意等式两边同时乘或除以同一个数时，该数不能为0的前提。解题思路如下：
（1）要将$ab=bc$变形为$a=c$，需两边同时除以$b$，因此要先判断$b$是否可能为0：若$b=0$，除以$b$无意义，此时$a$和$c$不一定相等；若$b≠0$，则可直接变形得到$a=c$。
（2）$\frac{a}{b}$和$\frac{c}{b}$是分式，分式有意义的前提是分母$b≠0$，因此可直接在等式两边乘$b$得到$a=c$。
（3）由$ab=1$可推出$b≠0$（若$b=0$，乘积为0，与右边的1矛盾），因此先两边同时除以$b$得到$a=\frac{1}{b}$，再根据等式性质两边同时加1即可得到目标等式。
【解析】
（1）不一定能得到$a=c$。当$b≠0$时，根据等式的基本性质，等式两边同时除以不为0的$b$，可得$a=c$；当$b=0$时，无论$a$、$c$取何值，$ab=bc$都成立，因此$a$不一定等于$c$。
（2）能得到$a=c$。由分式有意义的条件可知分母$b≠0$，根据等式的基本性质，在$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$的两边同时乘$b$，即可得到$a=c$。
（3）能得到$a+1=\frac{1}{b}+1$。由$ab=1$可知$b≠0$，根据等式的基本性质，在$ab=1$的两边同时除以$b$，得$a=\frac{1}{b}$；再根据等式的基本性质，在$a=\frac{1}{b}$两边同时加1，可得$a+1=\frac{1}{b}+1$。
【答案】
(1)不一定。当$b≠0$时,根据等式的基本性质可得$a=c$;当$b=0$时,$a$不一定等于$c$。
(2)能得到。由题意,知$b≠0$,根据等式的基本性质,在$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$的两边都乘$b$,得$a=c$。
(3)能得到。显然$b≠0$,根据等式的基本性质,在$ab=1$的两边都除以$b$,得$a=\frac{1}{b}$,再根据等式的基本性质,在$a=\frac{1}{b}$两边都加1,得$a+1=\frac{1}{b}+1$。
【知识点】
等式的基本性质，0作除数无意义，分式有意义的条件
【点评】
本题主要考查对等式基本性质的理解，易错点是在对含字母系数的等式变形时，忽略所除的字母可能为0的情况，导致判断错误，解题时要先确认乘除的数是否不为0，再进行变形。
【难度系数】
0.7
本题考查等式基本性质的应用，解题核心是注意等式两边同时乘或除以同一个数时，该数不能为0的前提。解题思路如下：
（1）要将$ab=bc$变形为$a=c$，需两边同时除以$b$，因此要先判断$b$是否可能为0：若$b=0$，除以$b$无意义，此时$a$和$c$不一定相等；若$b≠0$，则可直接变形得到$a=c$。
（2）$\frac{a}{b}$和$\frac{c}{b}$是分式，分式有意义的前提是分母$b≠0$，因此可直接在等式两边乘$b$得到$a=c$。
（3）由$ab=1$可推出$b≠0$（若$b=0$，乘积为0，与右边的1矛盾），因此先两边同时除以$b$得到$a=\frac{1}{b}$，再根据等式性质两边同时加1即可得到目标等式。
【解析】
（1）不一定能得到$a=c$。当$b≠0$时，根据等式的基本性质，等式两边同时除以不为0的$b$，可得$a=c$；当$b=0$时，无论$a$、$c$取何值，$ab=bc$都成立，因此$a$不一定等于$c$。
（2）能得到$a=c$。由分式有意义的条件可知分母$b≠0$，根据等式的基本性质，在$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$的两边同时乘$b$，即可得到$a=c$。
（3）能得到$a+1=\frac{1}{b}+1$。由$ab=1$可知$b≠0$，根据等式的基本性质，在$ab=1$的两边同时除以$b$，得$a=\frac{1}{b}$；再根据等式的基本性质，在$a=\frac{1}{b}$两边同时加1，可得$a+1=\frac{1}{b}+1$。
【答案】
(1)不一定。当$b≠0$时,根据等式的基本性质可得$a=c$;当$b=0$时,$a$不一定等于$c$。
(2)能得到。由题意,知$b≠0$,根据等式的基本性质,在$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$的两边都乘$b$,得$a=c$。
(3)能得到。显然$b≠0$,根据等式的基本性质,在$ab=1$的两边都除以$b$,得$a=\frac{1}{b}$,再根据等式的基本性质,在$a=\frac{1}{b}$两边都加1,得$a+1=\frac{1}{b}+1$。
【知识点】
等式的基本性质，0作除数无意义，分式有意义的条件
【点评】
本题主要考查对等式基本性质的理解，易错点是在对含字母系数的等式变形时，忽略所除的字母可能为0的情况，导致判断错误，解题时要先确认乘除的数是否不为0，再进行变形。
【难度系数】
0.7
14.【数学文化】阅读下列材料，解决相应问题：
中国古代数学，和天文学以及其他许多科学技术一样，也取得了极其辉煌的成就。可以毫不夸张地说，明代中叶以前，在数学的许多分支领域里，中国一直处于遥遥领先的地位。中国古代的数学家写下了许多数学著作。许多具有世界意义的成就正是因为有了这些古算书才流传下来。
我国流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式表述。请大家看这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，多少老头多少梨？
(1)如果我们设有x个老头，可以得到关于x的等式为
(2)利用等式的基本性质求出，共有
中国古代数学，和天文学以及其他许多科学技术一样，也取得了极其辉煌的成就。可以毫不夸张地说，明代中叶以前，在数学的许多分支领域里，中国一直处于遥遥领先的地位。中国古代的数学家写下了许多数学著作。许多具有世界意义的成就正是因为有了这些古算书才流传下来。
我国流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式表述。请大家看这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，多少老头多少梨？
(1)如果我们设有x个老头，可以得到关于x的等式为
$x+1=2x-2$
；(2)利用等式的基本性质求出，共有
3
个老头、4
个梨。答案
14.(1)$x+1=2x-2$
(2)3 4
(2)3 4
解析
【分析】
解题核心是抓住梨的总数量不变这一等量关系。第一问先根据两种分梨的规则，分别用含老头数量x的式子表示出梨的总数，因梨的总数相等即可列出等式；第二问利用等式的基本性质对等式逐步变形，求出老头的数量x后，再代入任意一个表示梨数的式子，就能算出梨的总个数。
【解析】
(1) 设有x个老头：
按“一人一个多一梨”，梨的总数可表示为$\boldsymbol{x+1}$；
按“一人两个少两梨”，梨的总数可表示为$\boldsymbol{2x-2}$；
梨的总数固定，因此可列等式：$x+1=2x-2$。
(2) 利用等式的基本性质解方程$x+1=2x-2$：
① 根据等式的基本性质1，等式两边同时减去x，得：
$x+1-x=2x-2-x$，化简为$1=x-2$；
② 再根据等式的基本性质1，等式两边同时加上2，得：
$1+2=x-2+2$，解得$x=3$，即老头有3个；
将$x=3$代入$x+1$，得梨的数量为$3+1=4$个。
【答案】
(1)$x+1=2x-2$
(2)3；4
【知识点】
列一元一次方程；等式的基本性质；解一元一次方程
【点评】
本题结合中国古代趣味数学背景出题，考查从实际问题中抓取等量关系列方程的能力，以及对等式基本性质的运用，题目贴近生活趣味性强，能很好巩固一元一次方程相关的基础知识点。
【难度系数】
0.8
解题核心是抓住梨的总数量不变这一等量关系。第一问先根据两种分梨的规则，分别用含老头数量x的式子表示出梨的总数，因梨的总数相等即可列出等式；第二问利用等式的基本性质对等式逐步变形，求出老头的数量x后，再代入任意一个表示梨数的式子，就能算出梨的总个数。
【解析】
(1) 设有x个老头：
按“一人一个多一梨”，梨的总数可表示为$\boldsymbol{x+1}$；
按“一人两个少两梨”，梨的总数可表示为$\boldsymbol{2x-2}$；
梨的总数固定，因此可列等式：$x+1=2x-2$。
(2) 利用等式的基本性质解方程$x+1=2x-2$：
① 根据等式的基本性质1，等式两边同时减去x，得：
$x+1-x=2x-2-x$，化简为$1=x-2$；
② 再根据等式的基本性质1，等式两边同时加上2，得：
$1+2=x-2+2$，解得$x=3$，即老头有3个；
将$x=3$代入$x+1$，得梨的数量为$3+1=4$个。
【答案】
(1)$x+1=2x-2$
(2)3；4
【知识点】
列一元一次方程；等式的基本性质；解一元一次方程
【点评】
本题结合中国古代趣味数学背景出题，考查从实际问题中抓取等量关系列方程的能力，以及对等式基本性质的运用，题目贴近生活趣味性强，能很好巩固一元一次方程相关的基础知识点。
【难度系数】
0.8
