登录
8.若4(x−1)与−2(x−3)互为相反数，求x的值。
答案
8.$-1$。
解析
【分析】
根据互为相反数的两个数和为0的性质，可先列出关于x的一元一次方程，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求出x的值。
【解析】
解：
∵4(x−1)与−2(x−3)互为相反数
∴$4(x-1) + [-2(x-3)] = 0$
去括号，得：$4x - 4 - 2x + 6 = 0$
合并同类项，得：$2x + 2 = 0$
移项，得：$2x = -2$
系数化为1，得：$x = -1$
【答案】
-1
【知识点】
1. 相反数的性质
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用相反数的性质建立方程，解题时需注意去括号时符号的变化，熟练掌握一元一次方程的求解步骤就能快速作答。
【难度系数】
0.85
根据互为相反数的两个数和为0的性质，可先列出关于x的一元一次方程，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求出x的值。
【解析】
解：
∵4(x−1)与−2(x−3)互为相反数
∴$4(x-1) + [-2(x-3)] = 0$
去括号，得：$4x - 4 - 2x + 6 = 0$
合并同类项，得：$2x + 2 = 0$
移项，得：$2x = -2$
系数化为1，得：$x = -1$
【答案】
-1
【知识点】
1. 相反数的性质
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用相反数的性质建立方程，解题时需注意去括号时符号的变化，熟练掌握一元一次方程的求解步骤就能快速作答。
【难度系数】
0.85
9.定义一种新运算“※”：$a※b=ab - a + b$。例如$3※1=3×1 - 3 + 1=1$，$(2a)※2=(2a)×2 - 2a + 2=2a + 2$。已知$(2m)※3=2※m$，求$m$的值。
答案
9.$-5$。
解析
【分析】
本题是新定义运算结合一元一次方程的求解问题，解题思路分为三步：①先准确理解新运算“※”的规则：两个数作※运算，结果等于两个数的乘积减去第一个数，再加上第二个数；②分别将等式左右两边的$(2m)※3$和$2※m$按照新运算规则展开，转化为含$m$的整式；③将两个整式用等号连接得到一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤（移项、合并同类项）求解即可得到$m$的值。
【解析】
根据新运算$a※b=ab - a + b$的规则：
先计算等式左边的$(2m)※3$：
把$a=2m$，$b=3$代入规则，得
$(2m)※3 = 2m×3 - 2m + 3 = 6m - 2m + 3 = 4m + 3$
再计算等式右边的$2※m$：
把$a=2$，$b=m$代入规则，得
$2※m = 2×m - 2 + m = 2m + m - 2 = 3m - 2$
因为$(2m)※3=2※m$，所以可列方程：
$4m + 3 = 3m - 2$
移项，得：$4m - 3m = -2 - 3$
合并同类项，得：$m = -5$
【答案】
$-5$
【知识点】
新定义运算；解一元一次方程
【点评】
本题的核心是正确理解新定义的运算规则，将陌生的运算转化为熟悉的整式运算和一元一次方程求解，计算过程中要注意移项时符号的变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算结合一元一次方程的求解问题，解题思路分为三步：①先准确理解新运算“※”的规则：两个数作※运算，结果等于两个数的乘积减去第一个数，再加上第二个数；②分别将等式左右两边的$(2m)※3$和$2※m$按照新运算规则展开，转化为含$m$的整式；③将两个整式用等号连接得到一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤（移项、合并同类项）求解即可得到$m$的值。
【解析】
根据新运算$a※b=ab - a + b$的规则：
先计算等式左边的$(2m)※3$：
把$a=2m$，$b=3$代入规则，得
$(2m)※3 = 2m×3 - 2m + 3 = 6m - 2m + 3 = 4m + 3$
再计算等式右边的$2※m$：
把$a=2$，$b=m$代入规则，得
$2※m = 2×m - 2 + m = 2m + m - 2 = 3m - 2$
因为$(2m)※3=2※m$，所以可列方程：
$4m + 3 = 3m - 2$
移项，得：$4m - 3m = -2 - 3$
合并同类项，得：$m = -5$
【答案】
$-5$
【知识点】
新定义运算；解一元一次方程
【点评】
本题的核心是正确理解新定义的运算规则，将陌生的运算转化为熟悉的整式运算和一元一次方程求解，计算过程中要注意移项时符号的变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
10. 某同学在解方程$5x - 1 = $
$x + 3$时，把“■”处的数看错了，解得$x = -\dfrac{4}{3}$，则该同学把“
”看成了（
A.$3$
B.$-\dfrac{128}{9}$
C.$-8$
D.$8$
$x + 3$时，把“■”处的数看错了，解得$x = -\dfrac{4}{3}$，则该同学把“”看成了（D
）A.$3$
B.$-\dfrac{128}{9}$
C.$-8$
D.$8$
答案
10.D
解析
【分析】
本题的解题核心是明确：同学虽然看错了“■”处的数字，但他解得的$x=-\dfrac{4}{3}$是他看错后得到的错误方程的正确解。因此我们可以先设“■”处被看错的数为未知数a，将$x=-\dfrac{4}{3}$代入看错后的方程，得到关于a的一元一次方程，解这个方程就能求出该同学把“■”看成的数。
【解析】
设该同学把“■”处的数看成了a，此时他解的方程为：
$5x - 1 = ax + 3$
已知该方程的解为$x=-\dfrac{4}{3}$，将$x=-\dfrac{4}{3}$代入上述方程：
$5×(-\dfrac{4}{3}) -1 = a×(-\dfrac{4}{3}) + 3$
计算左边：$-\dfrac{20}{3} - 1 = -\dfrac{23}{3}$
整理方程得：$-\dfrac{23}{3} = -\dfrac{4a}{3} + 3$
移项得：$\dfrac{4a}{3} = 3 + \dfrac{23}{3}$
合并右边同类项：$\dfrac{4a}{3} = \dfrac{9}{3} + \dfrac{23}{3} = \dfrac{32}{3}$
两边同时乘以3得：$4a = 32$
系数化为1得：$a=8$
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是理解错解的含义：错解满足看错系数后的方程，代入后将问题转化为常规的一元一次方程求解即可。
【难度系数】
0.8
本题的解题核心是明确：同学虽然看错了“■”处的数字，但他解得的$x=-\dfrac{4}{3}$是他看错后得到的错误方程的正确解。因此我们可以先设“■”处被看错的数为未知数a，将$x=-\dfrac{4}{3}$代入看错后的方程，得到关于a的一元一次方程，解这个方程就能求出该同学把“■”看成的数。
【解析】
设该同学把“■”处的数看成了a，此时他解的方程为：
$5x - 1 = ax + 3$
已知该方程的解为$x=-\dfrac{4}{3}$，将$x=-\dfrac{4}{3}$代入上述方程：
$5×(-\dfrac{4}{3}) -1 = a×(-\dfrac{4}{3}) + 3$
计算左边：$-\dfrac{20}{3} - 1 = -\dfrac{23}{3}$
整理方程得：$-\dfrac{23}{3} = -\dfrac{4a}{3} + 3$
移项得：$\dfrac{4a}{3} = 3 + \dfrac{23}{3}$
合并右边同类项：$\dfrac{4a}{3} = \dfrac{9}{3} + \dfrac{23}{3} = \dfrac{32}{3}$
两边同时乘以3得：$4a = 32$
系数化为1得：$a=8$
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是理解错解的含义：错解满足看错系数后的方程，代入后将问题转化为常规的一元一次方程求解即可。
【难度系数】
0.8
11.当m为何值时，关于x的方程$2x+m=-x+5$与$x-4m=2x+m$的解相同？
答案
11.$-\dfrac{5}{14}$。
解析
【分析】
要解决两个方程解相同的问题，首先理解“解相同”是指存在同一个x值同时满足两个方程。我们可以先分别对两个方程进行移项、合并同类项，把x用含m的式子表示出来，再令两个表示x的式子相等，就能得到只含m的一元一次方程，解这个方程即可求出m的值。
【解析】
解：先分别求解两个方程的解（用含m的代数式表示）
1. 解方程$2x+m=-x+5$：
移项，得 $2x + x = 5 - m$
合并同类项，得 $3x = 5 - m$
系数化为1，得 $x = \dfrac{5 - m}{3}$
2. 解方程$x - 4m = 2x + m$：
移项，得 $x - 2x = m + 4m$
合并同类项，得 $-x = 5m$
系数化为1，得 $x = -5m$
因为两个方程的解相同，所以两个x的值相等，即：
$\dfrac{5 - m}{3} = -5m$
两边同乘3去分母，得 $5 - m = -15m$
移项，得 $-m + 15m = -5$
合并同类项，得 $14m = -5$
系数化为1，得 $m = -\dfrac{5}{14}$
【答案】
$-\dfrac{5}{14}$
【知识点】
同解方程，解一元一次方程，移项与合并同类项
【点评】
本题是一元一次方程的常见题型，解题核心是抓住“解相同”的条件，通过用参数表示方程解的方法建立新的方程求解，能很好地考查对一元一次方程解法的掌握和对同解概念的理解。
【难度系数】
0.7
要解决两个方程解相同的问题，首先理解“解相同”是指存在同一个x值同时满足两个方程。我们可以先分别对两个方程进行移项、合并同类项，把x用含m的式子表示出来，再令两个表示x的式子相等，就能得到只含m的一元一次方程，解这个方程即可求出m的值。
【解析】
解：先分别求解两个方程的解（用含m的代数式表示）
1. 解方程$2x+m=-x+5$：
移项，得 $2x + x = 5 - m$
合并同类项，得 $3x = 5 - m$
系数化为1，得 $x = \dfrac{5 - m}{3}$
2. 解方程$x - 4m = 2x + m$：
移项，得 $x - 2x = m + 4m$
合并同类项，得 $-x = 5m$
系数化为1，得 $x = -5m$
因为两个方程的解相同，所以两个x的值相等，即：
$\dfrac{5 - m}{3} = -5m$
两边同乘3去分母，得 $5 - m = -15m$
移项，得 $-m + 15m = -5$
合并同类项，得 $14m = -5$
系数化为1，得 $m = -\dfrac{5}{14}$
【答案】
$-\dfrac{5}{14}$
【知识点】
同解方程，解一元一次方程，移项与合并同类项
【点评】
本题是一元一次方程的常见题型，解题核心是抓住“解相同”的条件，通过用参数表示方程解的方法建立新的方程求解，能很好地考查对一元一次方程解法的掌握和对同解概念的理解。
【难度系数】
0.7
12.已知关于x的一元一次方程$mx -1 = 2(x+\dfrac{3}{2})$的解是正整数，求整数m的值。
答案
12.3或4或6。
解析
【分析】
解题时先按照一元一次方程的求解步骤，对原方程去括号、移项、合并同类项，将方程变形为“系数×x=常数”的形式，注意一元一次方程一次项系数不能为0；再将x用含参数m的代数式表示，结合“解是正整数、m是整数”的条件，可知x的系数是常数项的正因数，依次列举正因数即可求出对应的整数m的值。
【解析】
解：先对原方程去括号，得：
$mx -1 = 2x + 3$
移项，将含x的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，得：
$mx - 2x = 3 + 1$
合并同类项，得：
$(m - 2)x = 4$
∵ 方程是关于x的一元一次方程，
∴ $m - 2 ≠ 0$，即$m≠2$
系数化为1，得：
$x = \dfrac{4}{m - 2}$
∵ 方程的解x是正整数，且m为整数
∴ $m - 2$是4的正因数，4的正因数有1、2、4
① 当$m - 2 = 1$时，$m = 3$，此时$x = 4$，符合题意；
② 当$m - 2 = 2$时，$m = 4$，此时$x = 2$，符合题意；
③ 当$m - 2 = 4$时，$m = 6$，此时$x = 1$，符合题意。
综上，整数m的值为3或4或6。
【答案】
3或4或6
【知识点】
1. 解一元一次方程
2. 一元一次方程的解的定义
3. 正因数的应用
【点评】
本题属于含参数的一元一次方程整数解问题，解题的核心是先求出用参数表示的方程的解，再结合解的限制条件分析参数的取值，解题时要注意一元一次方程一次项系数不为0的隐含要求，避免漏判或多算。
【难度系数】
0.6
解题时先按照一元一次方程的求解步骤，对原方程去括号、移项、合并同类项，将方程变形为“系数×x=常数”的形式，注意一元一次方程一次项系数不能为0；再将x用含参数m的代数式表示，结合“解是正整数、m是整数”的条件，可知x的系数是常数项的正因数，依次列举正因数即可求出对应的整数m的值。
【解析】
解：先对原方程去括号，得：
$mx -1 = 2x + 3$
移项，将含x的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，得：
$mx - 2x = 3 + 1$
合并同类项，得：
$(m - 2)x = 4$
∵ 方程是关于x的一元一次方程，
∴ $m - 2 ≠ 0$，即$m≠2$
系数化为1，得：
$x = \dfrac{4}{m - 2}$
∵ 方程的解x是正整数，且m为整数
∴ $m - 2$是4的正因数，4的正因数有1、2、4
① 当$m - 2 = 1$时，$m = 3$，此时$x = 4$，符合题意；
② 当$m - 2 = 2$时，$m = 4$，此时$x = 2$，符合题意；
③ 当$m - 2 = 4$时，$m = 6$，此时$x = 1$，符合题意。
综上，整数m的值为3或4或6。
【答案】
3或4或6
【知识点】
1. 解一元一次方程
2. 一元一次方程的解的定义
3. 正因数的应用
【点评】
本题属于含参数的一元一次方程整数解问题，解题的核心是先求出用参数表示的方程的解，再结合解的限制条件分析参数的取值，解题时要注意一元一次方程一次项系数不为0的隐含要求，避免漏判或多算。
【难度系数】
0.6
