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8. 已知方程 $2x+1=-x+4$ 的解是 $x=1$，
则直线 $y=2x+1$ 与直线 $y=-x+4$ 的
交点坐标是（
A.$(1,0)$
B.$(1,3)$
C.$(-1,-1)$
D.$(-1,5)$
则直线 $y=2x+1$ 与直线 $y=-x+4$ 的
交点坐标是（
B
）。A.$(1,0)$
B.$(1,3)$
C.$(-1,-1)$
D.$(-1,5)$
答案
B
解析
【分析】
首先要明确一次函数交点的含义：两条直线的交点是同时在两条直线上的点，它的横、纵坐标能同时满足两个直线的解析式，因此交点坐标就是两个解析式联立得到的二元一次方程组的解。题目给出的方程$2x+1=-x+4$，就是将两个解析式的$y$相等消元后得到的一元一次方程，它的解$x=1$就是交点的横坐标，接下来只需把$x=1$代入任意一个解析式求出对应的$y$值，就能得到交点坐标。
【解析】
1. 根据一次函数与二元一次方程的关系，直线$y=2x+1$与$y=-x+4$的交点坐标，就是两个解析式联立所得方程组的解。
2. 已知方程$2x+1=-x+4$的解为$x=1$，即交点的横坐标为$1$。
3. 将$x=1$代入$y=2x+1$，计算得$y=2×1+1=3$，因此交点坐标为$(1,3)$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程
2. 一次函数交点求法
【点评】
本题考查一次函数和方程的内在联系，解题核心是理解两条直线的交点坐标对应两解析式联立所得方程组的解，属于基础常规题，掌握对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先要明确一次函数交点的含义：两条直线的交点是同时在两条直线上的点，它的横、纵坐标能同时满足两个直线的解析式，因此交点坐标就是两个解析式联立得到的二元一次方程组的解。题目给出的方程$2x+1=-x+4$，就是将两个解析式的$y$相等消元后得到的一元一次方程，它的解$x=1$就是交点的横坐标，接下来只需把$x=1$代入任意一个解析式求出对应的$y$值，就能得到交点坐标。
【解析】
1. 根据一次函数与二元一次方程的关系，直线$y=2x+1$与$y=-x+4$的交点坐标，就是两个解析式联立所得方程组的解。
2. 已知方程$2x+1=-x+4$的解为$x=1$，即交点的横坐标为$1$。
3. 将$x=1$代入$y=2x+1$，计算得$y=2×1+1=3$，因此交点坐标为$(1,3)$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程
2. 一次函数交点求法
【点评】
本题考查一次函数和方程的内在联系，解题核心是理解两条直线的交点坐标对应两解析式联立所得方程组的解，属于基础常规题，掌握对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9. 方程组$\begin{cases}x+2y=1, \\2x+4y=3\end{cases}$的解的情况是（ ）。
A.一个解
B.两个解
C.无解
D.无数个解
A.一个解
B.两个解
C.无解
D.无数个解
答案
C
解析
【分析】
要判断二元一次方程组解的情况，有三种符合学段要求的思考方向：一是用消元法化简方程组，看是否出现矛盾等式；二是利用二元一次方程组解与系数的比例关系直接判定；三是结合本节所学的二元一次方程与一次函数的对应关系，通过判断两个一次函数图像的位置关系得出结论。本题我们可以任选一种方法推导，优先选择操作简单的加减消元法或系数判定法。
【解析】
方法1（加减消元法）：
将第一个方程$x+2y=1$左右两边同时乘2，可得$2x+4y=2$。
对比第二个方程$2x+4y=3$，两个式子的左边完全相同，但右边$2≠3$，不存在$x、y$的取值能同时满足两个等式，因此该方程组无解。
方法2（系数判定法）：
对于二元一次方程组$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1 \\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$，当$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}$时，方程组无解。
本题中$a_1=1,b_1=2,c_1=1,a_2=2,b_2=4,c_2=3$，计算得$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}≠\frac{1}{3}$，满足无解的判定条件。
方法3（结合一次函数判定）：
将两个方程变形为一次函数形式：
由$x+2y=1$得$y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，由$2x+4y=3$得$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}$。
两个一次函数的斜率$k$相同，截距$b$不同，对应图像是平行的两条直线，没有交点，因此对应的方程组无解。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组解的判定，二元一次方程与一次函数的关系，加减消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组解的情况的判断，解题方法灵活，既可以通过代数消元、系数比例判断，也可以结合一次函数图像的几何性质求解，是对数形结合思想的基础考查。
【难度系数】
0.8
要判断二元一次方程组解的情况，有三种符合学段要求的思考方向：一是用消元法化简方程组，看是否出现矛盾等式；二是利用二元一次方程组解与系数的比例关系直接判定；三是结合本节所学的二元一次方程与一次函数的对应关系，通过判断两个一次函数图像的位置关系得出结论。本题我们可以任选一种方法推导，优先选择操作简单的加减消元法或系数判定法。
【解析】
方法1（加减消元法）：
将第一个方程$x+2y=1$左右两边同时乘2，可得$2x+4y=2$。
对比第二个方程$2x+4y=3$，两个式子的左边完全相同，但右边$2≠3$，不存在$x、y$的取值能同时满足两个等式，因此该方程组无解。
方法2（系数判定法）：
对于二元一次方程组$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1 \\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$，当$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}$时，方程组无解。
本题中$a_1=1,b_1=2,c_1=1,a_2=2,b_2=4,c_2=3$，计算得$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}≠\frac{1}{3}$，满足无解的判定条件。
方法3（结合一次函数判定）：
将两个方程变形为一次函数形式：
由$x+2y=1$得$y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，由$2x+4y=3$得$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}$。
两个一次函数的斜率$k$相同，截距$b$不同，对应图像是平行的两条直线，没有交点，因此对应的方程组无解。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组解的判定，二元一次方程与一次函数的关系，加减消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组解的情况的判断，解题方法灵活，既可以通过代数消元、系数比例判断，也可以结合一次函数图像的几何性质求解，是对数形结合思想的基础考查。
【难度系数】
0.8
10. 如图,直线 $ l_1: y = x + 1 $ 与直线 $ l_2: y = mx + n $ 相交于点 $ P(1,b) $。
(1)求 $ b $ 的值；
(2)不解关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} y = x + 1, \\ y = mx + n, \end{cases} $ 请直接写出它的解；
(3)直线 $ l_3: y = nx + m $ 是否也经过点 $ P $？请说明理由。
(1)求 $ b $ 的值；
(2)不解关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} y = x + 1, \\ y = mx + n, \end{cases} $ 请直接写出它的解；
(3)直线 $ l_3: y = nx + m $ 是否也经过点 $ P $？请说明理由。
答案
解:(1)因为点 $ P(1,b) $ 在直线 $ y=x+1 $ 上，
所以当 $ x=1 $ 时，$ b=1+1=2 $。
(2)$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$。
(3)直线 $ l_3:y=nx+m $ 也经过点 $ P $。理由：
因为点 $ P(1,2) $ 在直线 $ y=mx+n $ 上，
所以 $ m+n=2 $，所以 $ 2=n×1+m $。
所以直线 $ y=nx+m $ 也经过点 $ P $。
所以当 $ x=1 $ 时，$ b=1+1=2 $。
(2)$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$。
(3)直线 $ l_3:y=nx+m $ 也经过点 $ P $。理由：
因为点 $ P(1,2) $ 在直线 $ y=mx+n $ 上，
所以 $ m+n=2 $，所以 $ 2=n×1+m $。
所以直线 $ y=nx+m $ 也经过点 $ P $。
解析
【分析】
(1) 求b的值：若点在一次函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，已知点P的横坐标为1，将其代入直线$l_1$的解析式$y=x+1$，即可算出对应的纵坐标b的值。
(2) 求方程组的解：二元一次方程组的解对应组成方程组的两个一次函数图象的交点坐标，已知直线$l_1$和$l_2$的交点为P，直接写出P点坐标就是方程组的解。
(3) 判断$l_3$是否过点P：要验证直线是否经过某点，只需将该点横坐标代入直线解析式，看计算出的纵坐标是否和点的纵坐标一致即可。首先由点P在$l_2$上可得到m与n的数量关系，再将x=1代入$l_3$的解析式验证即可。
【解析】
(1)
∵点$P(1,b)$在直线$l_1:y = x + 1$上，
∴将$x=1$代入解析式，得$b = 1 + 1 = 2$。
(2) 二元一次方程组的解为两个对应一次函数图象的交点坐标，
∵直线$l_1$与$l_2$的交点为$P(1,2)$，
∴方程组$\begin{cases} y = x + 1 \\ y = mx + n \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$。
(3) 直线$l_3:y = nx + m$经过点P，理由如下：
∵点$P(1,2)$在直线$l_2:y = mx + n$上，
∴将$x=1,y=2$代入得$m + n = 2$，
将$x=1$代入直线$l_3$的解析式，得$y = n×1 + m = m + n = 2$，
即当$x=1$时，$y=2$，与点P的坐标一致，故直线$l_3$经过点P。
【答案】
(1) $b=2$
(2) $\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$
(3) 直线$l_3$经过点$P$，理由见解析
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题是一次函数的基础题型，重点考察一次函数和二元一次方程组的对应关系，解题的核心是理解函数图象上的点满足函数解析式、两个一次函数的交点坐标即为对应二元一次方程组的解这两个基础结论，掌握后即可快速解题。
【难度系数】
0.85
(1) 求b的值：若点在一次函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，已知点P的横坐标为1，将其代入直线$l_1$的解析式$y=x+1$，即可算出对应的纵坐标b的值。
(2) 求方程组的解：二元一次方程组的解对应组成方程组的两个一次函数图象的交点坐标，已知直线$l_1$和$l_2$的交点为P，直接写出P点坐标就是方程组的解。
(3) 判断$l_3$是否过点P：要验证直线是否经过某点，只需将该点横坐标代入直线解析式，看计算出的纵坐标是否和点的纵坐标一致即可。首先由点P在$l_2$上可得到m与n的数量关系，再将x=1代入$l_3$的解析式验证即可。
【解析】
(1)
∵点$P(1,b)$在直线$l_1:y = x + 1$上，
∴将$x=1$代入解析式，得$b = 1 + 1 = 2$。
(2) 二元一次方程组的解为两个对应一次函数图象的交点坐标，
∵直线$l_1$与$l_2$的交点为$P(1,2)$，
∴方程组$\begin{cases} y = x + 1 \\ y = mx + n \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$。
(3) 直线$l_3:y = nx + m$经过点P，理由如下：
∵点$P(1,2)$在直线$l_2:y = mx + n$上，
∴将$x=1,y=2$代入得$m + n = 2$，
将$x=1$代入直线$l_3$的解析式，得$y = n×1 + m = m + n = 2$，
即当$x=1$时，$y=2$，与点P的坐标一致，故直线$l_3$经过点P。
【答案】
(1) $b=2$
(2) $\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$
(3) 直线$l_3$经过点$P$，理由见解析
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题是一次函数的基础题型，重点考察一次函数和二元一次方程组的对应关系，解题的核心是理解函数图象上的点满足函数解析式、两个一次函数的交点坐标即为对应二元一次方程组的解这两个基础结论，掌握后即可快速解题。
【难度系数】
0.85
11.【数学应用】图①是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）。现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度y(cm)与注水时间x(min)之间的关系如图②所示。根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)图②中折线A-B-C表示
(2)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？
(3)若乙槽的底面积为36 cm²（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积。
(1)图②中折线A-B-C表示
乙
槽中水的深度y(cm)与注水时间x(min)之间的关系，线段DE表示甲
槽中水的深度y(cm)与注水时间x(min)之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是乙槽中水面的高度与铁块的高度持平，为14 cm
。(2)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？
(3)若乙槽的底面积为36 cm²（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积。
答案
解:(1)乙 甲 乙槽中水面的高度与铁块的高度持平，为14 cm
(2)设线段 DE 所在直线对应的函数表达式为 $y=k_1x+b_1$，
由点 $E(6,0),D(0,12)$ 在直线 $DE$ 上，得
$\begin{cases}6k_1+b_1=0,\\b_1=12,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=-2,\\b_1=12。\end{cases}$
所以线段 $DE$ 所在直线对应的函数表达式为 $y=-2x+12$。
设线段 $AB$ 所在直线对应的函数表达式为 $y=k_2x+b_2$，
由点 $B(4,14),A(0,2)$ 在直线 $AB$ 上，得
$\begin{cases}4k_2+b_2=14,\\b_2=2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_2=3,\\b_2=2。\end{cases}$
所以线段 $AB$ 所在直线对应的函数表达式为 $y=3x+2$。
解方程组$\begin{cases}y=-2x+12,\\y=3x+2,\end{cases}$ 得$\begin{cases}x=2,\\y=8。\end{cases}$
所以注水 2 min 时，甲、乙两个水槽中水的深度相同。
(3)由题图知当乙槽中水面没有没过铁块时，4 min 水面上升了 12 cm，即 1 min 上升 3 cm；
当水面没过铁块时，2 min 上升了 5 cm，即1 min 上升2.5 cm。
设铁块的底面积为 $a\ \mathrm{cm}^2$，
则乙槽中每注水 1 min，不放铁块时增加的体积为$2.5×36\ \mathrm{cm}^3$，放了铁块时增加的体积为$[3×(36-a)]\mathrm{cm}^3$，
所以 $3×(36-a)=2.5×36$，
解得 $a=6$，
所以乙槽中铁块的体积为 $6×14=84(\mathrm{cm}^3)$。
(2)设线段 DE 所在直线对应的函数表达式为 $y=k_1x+b_1$，
由点 $E(6,0),D(0,12)$ 在直线 $DE$ 上，得
$\begin{cases}6k_1+b_1=0,\\b_1=12,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=-2,\\b_1=12。\end{cases}$
所以线段 $DE$ 所在直线对应的函数表达式为 $y=-2x+12$。
设线段 $AB$ 所在直线对应的函数表达式为 $y=k_2x+b_2$，
由点 $B(4,14),A(0,2)$ 在直线 $AB$ 上，得
$\begin{cases}4k_2+b_2=14,\\b_2=2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_2=3,\\b_2=2。\end{cases}$
所以线段 $AB$ 所在直线对应的函数表达式为 $y=3x+2$。
解方程组$\begin{cases}y=-2x+12,\\y=3x+2,\end{cases}$ 得$\begin{cases}x=2,\\y=8。\end{cases}$
所以注水 2 min 时，甲、乙两个水槽中水的深度相同。
(3)由题图知当乙槽中水面没有没过铁块时，4 min 水面上升了 12 cm，即 1 min 上升 3 cm；
当水面没过铁块时，2 min 上升了 5 cm，即1 min 上升2.5 cm。
设铁块的底面积为 $a\ \mathrm{cm}^2$，
则乙槽中每注水 1 min，不放铁块时增加的体积为$2.5×36\ \mathrm{cm}^3$，放了铁块时增加的体积为$[3×(36-a)]\mathrm{cm}^3$，
所以 $3×(36-a)=2.5×36$，
解得 $a=6$，
所以乙槽中铁块的体积为 $6×14=84(\mathrm{cm}^3)$。
解析
【分析】
(1) 首先判断两个水槽的水深变化趋势：甲槽向外注水，水深随时间增加而减小，对应下降的线段DE；乙槽接收注水，水深随时间增加而增大，对应上升的折线A-B-C。折线在B点后上升速度变慢，说明此时水面刚好没过铁块，后续注水的底面积变为乙槽整个底面积，因此点B的纵坐标表示乙槽水面高度与铁块高度相同，为14cm。
(2) 求两水槽水深相同的时间，本质是求两个水深对应的一次函数图象的交点横坐标，先利用待定系数法分别求出线段DE（甲槽水深）和线段AB（乙槽0~4min水深）的函数表达式，再联立解方程组即可得到对应时间。
(3) 铁块体积=底面积×高，已知铁块高为14cm，只需计算铁块底面积即可。由于每分钟注水量固定，根据水面没过铁块前后的上升速度，结合“每分钟注入水的体积不变”列等式，即可求出铁块底面积，再代入体积公式计算即可。
【解析】
(1) 甲槽向外注水，水深随时间增加降低，对应线段DE；乙槽接收注水，水深随时间增加升高，对应折线A-B-C。B点后水面上升速度变慢，说明此时乙槽水面高度刚好与铁块高度持平，为14cm。
(2) 设线段DE所在直线对应的函数表达式为 $y=k_1x+b_1$，
将点 $E(6,0),D(0,12)$ 代入得：
$\begin{cases}6k_1+b_1=0\\b_1=12\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=-2\\b_1=12\end{cases}$
因此线段DE对应的函数表达式为 $y=-2x+12$（$0≤ x≤6$）。
设线段AB所在直线对应的函数表达式为 $y=k_2x+b_2$，
将点 $B(4,14),A(0,2)$ 代入得：
$\begin{cases}4k_2+b_2=14\\b_2=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=3\\b_2=2\end{cases}$
因此线段AB对应的函数表达式为 $y=3x+2$（$0≤ x≤4$）。
联立两个表达式得$\begin{cases}y=-2x+12\\y=3x+2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2\\y=8\end{cases}$。
(3) 由图象可知：0~4min水面未没过铁块，4min水面上升了$14-2=12\mathrm{cm}$，即每分钟上升$12÷4=3\mathrm{cm}$；4~6min水面已没过铁块，2min水面上升了$19-14=5\mathrm{cm}$，即每分钟上升$5÷2=2.5\mathrm{cm}$。
设铁块的底面积为 $a\ \mathrm{cm}^2$，每分钟注水量固定，因此：
$3×(36-a)=2.5×36$
解得 $a=6$。
铁块高度为14cm，因此铁块体积为 $6×14=84(\mathrm{cm}^3)$。
【答案】
(1) 乙；甲；乙槽中水面的高度与铁块的高度持平，为14 cm
(2) 注水2 min时，甲、乙两个水槽中水的深度相同
(3) 乙槽中铁块的体积为$84\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
一次函数的应用，二元一次方程组的应用，圆柱体积计算
【点评】
本题结合实际注水场景考查一次函数的综合应用，解题核心是理解函数图象转折点、线段的实际意义，掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，能结合体积的等量关系列方程求解，对读图分析能力和方程思想的应用有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 首先判断两个水槽的水深变化趋势：甲槽向外注水，水深随时间增加而减小，对应下降的线段DE；乙槽接收注水，水深随时间增加而增大，对应上升的折线A-B-C。折线在B点后上升速度变慢，说明此时水面刚好没过铁块，后续注水的底面积变为乙槽整个底面积，因此点B的纵坐标表示乙槽水面高度与铁块高度相同，为14cm。
(2) 求两水槽水深相同的时间，本质是求两个水深对应的一次函数图象的交点横坐标，先利用待定系数法分别求出线段DE（甲槽水深）和线段AB（乙槽0~4min水深）的函数表达式，再联立解方程组即可得到对应时间。
(3) 铁块体积=底面积×高，已知铁块高为14cm，只需计算铁块底面积即可。由于每分钟注水量固定，根据水面没过铁块前后的上升速度，结合“每分钟注入水的体积不变”列等式，即可求出铁块底面积，再代入体积公式计算即可。
【解析】
(1) 甲槽向外注水，水深随时间增加降低，对应线段DE；乙槽接收注水，水深随时间增加升高，对应折线A-B-C。B点后水面上升速度变慢，说明此时乙槽水面高度刚好与铁块高度持平，为14cm。
(2) 设线段DE所在直线对应的函数表达式为 $y=k_1x+b_1$，
将点 $E(6,0),D(0,12)$ 代入得：
$\begin{cases}6k_1+b_1=0\\b_1=12\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=-2\\b_1=12\end{cases}$
因此线段DE对应的函数表达式为 $y=-2x+12$（$0≤ x≤6$）。
设线段AB所在直线对应的函数表达式为 $y=k_2x+b_2$，
将点 $B(4,14),A(0,2)$ 代入得：
$\begin{cases}4k_2+b_2=14\\b_2=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=3\\b_2=2\end{cases}$
因此线段AB对应的函数表达式为 $y=3x+2$（$0≤ x≤4$）。
联立两个表达式得$\begin{cases}y=-2x+12\\y=3x+2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2\\y=8\end{cases}$。
(3) 由图象可知：0~4min水面未没过铁块，4min水面上升了$14-2=12\mathrm{cm}$，即每分钟上升$12÷4=3\mathrm{cm}$；4~6min水面已没过铁块，2min水面上升了$19-14=5\mathrm{cm}$，即每分钟上升$5÷2=2.5\mathrm{cm}$。
设铁块的底面积为 $a\ \mathrm{cm}^2$，每分钟注水量固定，因此：
$3×(36-a)=2.5×36$
解得 $a=6$。
铁块高度为14cm，因此铁块体积为 $6×14=84(\mathrm{cm}^3)$。
【答案】
(1) 乙；甲；乙槽中水面的高度与铁块的高度持平，为14 cm
(2) 注水2 min时，甲、乙两个水槽中水的深度相同
(3) 乙槽中铁块的体积为$84\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
一次函数的应用，二元一次方程组的应用，圆柱体积计算
【点评】
本题结合实际注水场景考查一次函数的综合应用，解题核心是理解函数图象转折点、线段的实际意义，掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，能结合体积的等量关系列方程求解，对读图分析能力和方程思想的应用有一定要求。
【难度系数】
0.6
