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10. 将$6×6$的正方形网格放置在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形ABCD的顶点都在格点上。若直线$y=kx(k≠0)$与正方形ABCD有公共点，则k的值不可能是（
A.3
B.2
C.1
D.$\frac{1}{2}$
A
）。A.3
B.2
C.1
D.$\frac{1}{2}$
答案
10.A
解析
【分析】
首先确定正方形ABCD的顶点坐标，直线$y=kx$是过原点的正比例函数，若它与正方形有公共点，临界情况是直线恰好经过正方形的两个对角顶点A和C，计算这两种情况下的k值，即可得到k的取值范围，再比对选项找出不在范围内的数值即可。
【解析】
根据网格坐标可得正方形ABCD的顶点坐标：$A(1,2)$，$C(2,1)$。
当直线$y=kx$经过点$A(1,2)$时，将$x=1,y=2$代入解析式：
$2=k×1$，解得$k=2$；
当直线$y=kx$经过点$C(2,1)$时，将$x=2,y=1$代入解析式：
$1=k×2$，解得$k=\frac{1}{2}$。
因此若直线$y=kx$与正方形ABCD有公共点，k的取值范围是$\frac{1}{2}\le k\le2$。
观察选项，3不在该取值范围内，故k不可能是3。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的性质，坐标与图形，一次函数交点问题
【点评】
本题结合网格考查正比例函数的图象特征，解题核心是利用数形结合思想找到直线与正方形有交点的临界情况，求出k的取值范围后即可快速判断，侧重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
首先确定正方形ABCD的顶点坐标，直线$y=kx$是过原点的正比例函数，若它与正方形有公共点，临界情况是直线恰好经过正方形的两个对角顶点A和C，计算这两种情况下的k值，即可得到k的取值范围，再比对选项找出不在范围内的数值即可。
【解析】
根据网格坐标可得正方形ABCD的顶点坐标：$A(1,2)$，$C(2,1)$。
当直线$y=kx$经过点$A(1,2)$时，将$x=1,y=2$代入解析式：
$2=k×1$，解得$k=2$；
当直线$y=kx$经过点$C(2,1)$时，将$x=2,y=1$代入解析式：
$1=k×2$，解得$k=\frac{1}{2}$。
因此若直线$y=kx$与正方形ABCD有公共点，k的取值范围是$\frac{1}{2}\le k\le2$。
观察选项，3不在该取值范围内，故k不可能是3。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的性质，坐标与图形，一次函数交点问题
【点评】
本题结合网格考查正比例函数的图象特征，解题核心是利用数形结合思想找到直线与正方形有交点的临界情况，求出k的取值范围后即可快速判断，侧重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
11. 已知点$(m,n)$是正比例函数$y=kx$图象上一点，当$m$增加$2$时，$n$就减小$3$，则$k$的值为(
A.$2$
B.$-3$
C.$-\dfrac{2}{3}$
D.$-\dfrac{3}{2}$
D
)。A.$2$
B.$-3$
C.$-\dfrac{2}{3}$
D.$-\dfrac{3}{2}$
答案
11.D
解析
【分析】
解题时首先要明确：函数图象上的点的坐标一定满足函数的解析式，这是本题的核心解题依据。第一步，先将已知点$(m,n)$代入正比例函数解析式，得到第一个等式；第二步，根据“$m$增加2时$n$减小3”，写出变化后点的坐标为$(m+2, n-3)$，该点同样在函数图象上，代入解析式得到第二个等式；最后通过代入消元消去$m$和$n$，即可求出$k$的值。
【解析】
解：
∵点$(m,n)$在正比例函数$y=kx$的图象上
∴将坐标代入解析式得：$n = km$ ①
当$m$增加$2$，$n$减小$3$时，对应点的坐标为$(m+2, n-3)$，该点也在$y=kx$的图象上
∴代入得：$n - 3 = k(m + 2)$ ②
将①代入②，可得：
$km - 3 = km + 2k$
两边同时减去$km$得：$-3 = 2k$
解得：$k = -\dfrac{3}{2}$
【答案】
D
【知识点】
1. 正比例函数图象上点的坐标特征
2. 代入消元法
【点评】
本题属于基础题，主要考查正比例函数的基础应用，解题的关键是掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一核心规律，结合坐标变化列等式求解即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确：函数图象上的点的坐标一定满足函数的解析式，这是本题的核心解题依据。第一步，先将已知点$(m,n)$代入正比例函数解析式，得到第一个等式；第二步，根据“$m$增加2时$n$减小3”，写出变化后点的坐标为$(m+2, n-3)$，该点同样在函数图象上，代入解析式得到第二个等式；最后通过代入消元消去$m$和$n$，即可求出$k$的值。
【解析】
解：
∵点$(m,n)$在正比例函数$y=kx$的图象上
∴将坐标代入解析式得：$n = km$ ①
当$m$增加$2$，$n$减小$3$时，对应点的坐标为$(m+2, n-3)$，该点也在$y=kx$的图象上
∴代入得：$n - 3 = k(m + 2)$ ②
将①代入②，可得：
$km - 3 = km + 2k$
两边同时减去$km$得：$-3 = 2k$
解得：$k = -\dfrac{3}{2}$
【答案】
D
【知识点】
1. 正比例函数图象上点的坐标特征
2. 代入消元法
【点评】
本题属于基础题，主要考查正比例函数的基础应用，解题的关键是掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一核心规律，结合坐标变化列等式求解即可。
【难度系数】
0.8
12. 若一次函数 $ y = 3x + m $ 的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是24，则 $ m = $
$\pm12$
。答案
12.$\pm12$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先，一次函数图象与两坐标轴围成的三角形是直角三角形，顶点分别是坐标原点、函数与x轴的交点、函数与y轴的交点。第一步先求出一次函数与x轴、y轴的交点坐标；第二步用含m的式子表示出三角形两条直角边的长度（注意长度为非负数，要加绝对值）；第三步根据三角形面积公式列方程，求解方程就能得到m的值，注意绝对值方程会有两个解，不要漏解。
【解析】
第一步：求一次函数与两坐标轴的交点坐标
① 当$x=0$时，代入$y = 3x + m$得$y=m$，即函数与y轴的交点为$(0, m)$，该点到原点的距离为$|m|$；
② 当$y=0$时，代入$y = 3x + m$得$0=3x+m$，解得$x=-\frac{m}{3}$，即函数与x轴的交点为$(-\frac{m}{3}, 0)$，该点到原点的距离为$|-\frac{m}{3}|=\frac{|m|}{3}$。
第二步：根据三角形面积公式列方程求解
围成的直角三角形面积$=\frac{1}{2}×$一条直角边$×$另一条直角边，已知面积为24，因此：
$\frac{1}{2}×|m|×\frac{|m|}{3}=24$
化简得：$\frac{m^2}{6}=24$
两边同乘6得：$m^2=144$
开平方得：$m=\pm12$
【答案】
$\pm12$
【知识点】
一次函数图象性质，三角形面积公式，绝对值运算
【点评】
本题是一次函数与几何结合的基础题，核心是掌握一次函数与坐标轴交点的求法，解题时要注意截距可正可负，计算线段长度时需添加绝对值，避免漏掉负数解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先，一次函数图象与两坐标轴围成的三角形是直角三角形，顶点分别是坐标原点、函数与x轴的交点、函数与y轴的交点。第一步先求出一次函数与x轴、y轴的交点坐标；第二步用含m的式子表示出三角形两条直角边的长度（注意长度为非负数，要加绝对值）；第三步根据三角形面积公式列方程，求解方程就能得到m的值，注意绝对值方程会有两个解，不要漏解。
【解析】
第一步：求一次函数与两坐标轴的交点坐标
① 当$x=0$时，代入$y = 3x + m$得$y=m$，即函数与y轴的交点为$(0, m)$，该点到原点的距离为$|m|$；
② 当$y=0$时，代入$y = 3x + m$得$0=3x+m$，解得$x=-\frac{m}{3}$，即函数与x轴的交点为$(-\frac{m}{3}, 0)$，该点到原点的距离为$|-\frac{m}{3}|=\frac{|m|}{3}$。
第二步：根据三角形面积公式列方程求解
围成的直角三角形面积$=\frac{1}{2}×$一条直角边$×$另一条直角边，已知面积为24，因此：
$\frac{1}{2}×|m|×\frac{|m|}{3}=24$
化简得：$\frac{m^2}{6}=24$
两边同乘6得：$m^2=144$
开平方得：$m=\pm12$
【答案】
$\pm12$
【知识点】
一次函数图象性质，三角形面积公式，绝对值运算
【点评】
本题是一次函数与几何结合的基础题，核心是掌握一次函数与坐标轴交点的求法，解题时要注意截距可正可负，计算线段长度时需添加绝对值，避免漏掉负数解。
【难度系数】
0.7
13. 已知炸药包的引线点燃后燃烧的速度一定，长为2 m的引线，点燃10 min，燃烧了40 cm，设点燃x min后，引线还剩y cm。
(1)求y与x之间的关系式；
(2)此引线几分钟后燃完？
(1)求y与x之间的关系式；
(2)此引线几分钟后燃完？
答案
13.解:(1)由题意可得,燃烧速度为4 cm/min，所以y与x之间的关系式为$y=200-4x$。
(2)当$y=0$时,$x=50$，所以此引线50 min后燃完。
(2)当$y=0$时,$x=50$，所以此引线50 min后燃完。
解析
【分析】
解决第(1)问时，首先要统一单位避免计算出错，先把总长度2m换算为200cm；再根据已知的燃烧时长和燃烧长度计算引线的燃烧速度；最后根据“剩余引线长度=总长度-已燃烧长度”的数量关系，即可列出y与x的函数关系式。解决第(2)问时，引线燃完对应剩余长度y为0，将y=0代入第(1)问得到的关系式中，求解x的值就是引线燃完需要的时间。
【解析】
(1) 先统一单位：$2\ \mathrm{m}=200\ \mathrm{cm}$
计算引线燃烧速度：$40÷10=4\ \mathrm{cm/min}$
已燃烧的引线长度为$4x\ \mathrm{cm}$，根据剩余长度=总长度-已燃烧长度，可得y与x的关系式为：
$y=200-4x$
(2) 引线燃完时剩余长度为0，令$y=0$，代入关系式得：
$0=200-4x$
解得$x=50$
【答案】
(1)$y=200-4x$；(2)50 min
【知识点】
一次函数的实际应用；求一次函数解析式；解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数在生活中的基础应用题型，解题关键是理清剩余长度、总长度、燃烧长度三者的数量关系，第二问将实际问题转化为求函数值为0时自变量的值的问题，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.85
解决第(1)问时，首先要统一单位避免计算出错，先把总长度2m换算为200cm；再根据已知的燃烧时长和燃烧长度计算引线的燃烧速度；最后根据“剩余引线长度=总长度-已燃烧长度”的数量关系，即可列出y与x的函数关系式。解决第(2)问时，引线燃完对应剩余长度y为0，将y=0代入第(1)问得到的关系式中，求解x的值就是引线燃完需要的时间。
【解析】
(1) 先统一单位：$2\ \mathrm{m}=200\ \mathrm{cm}$
计算引线燃烧速度：$40÷10=4\ \mathrm{cm/min}$
已燃烧的引线长度为$4x\ \mathrm{cm}$，根据剩余长度=总长度-已燃烧长度，可得y与x的关系式为：
$y=200-4x$
(2) 引线燃完时剩余长度为0，令$y=0$，代入关系式得：
$0=200-4x$
解得$x=50$
【答案】
(1)$y=200-4x$；(2)50 min
【知识点】
一次函数的实际应用；求一次函数解析式；解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数在生活中的基础应用题型，解题关键是理清剩余长度、总长度、燃烧长度三者的数量关系，第二问将实际问题转化为求函数值为0时自变量的值的问题，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.85
14.【数学文化】“一根弹簧原长10 cm，在弹性限度内最多可挂质量为5 kg的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，
，则弹簧的总长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的关系为$y=10+0.5x(0≤x≤5)$。”王刚在阅读上面的材料时，发现部分内容被墨迹污染，被污染的部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是什么？(写出1个即可)
，则弹簧的总长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的关系为$y=10+0.5x(0≤x≤5)$。”王刚在阅读上面的材料时，发现部分内容被墨迹污染，被污染的部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是什么？(写出1个即可)答案
14.解:(答案不唯一,合理即可)根据弹簧的总长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的关系式为$y=10+0.5x$($0≤x≤5$)可以得到，
当$x=1$时,弹簧总长为10.5 cm；
当$x=2$时,弹簧总长为11 cm……
所以在弹性限度内每增加1 kg重物,弹簧伸长0.5 cm。
故该条件可以是每增加1 kg重物,弹簧伸长0.5 cm。
当$x=1$时,弹簧总长为10.5 cm；
当$x=2$时,弹簧总长为11 cm……
所以在弹性限度内每增加1 kg重物,弹簧伸长0.5 cm。
故该条件可以是每增加1 kg重物,弹簧伸长0.5 cm。
解析
【分析】
要确定被污染的条件，首先分析给出的一次函数关系式$y=10+0.5x$的实际意义：其中10是弹簧原长，对应$x=0$时的$y$值，题目已经给出；0.5是一次项系数，代表所挂物体质量每增加1kg时弹簧的伸长量。我们只需要补充能说明这个0.5的比例关系的条件即可，比如直接说明每挂1kg物体弹簧伸长的长度，或给出某一质量下弹簧的总长度等，只要符合这个比例关系都正确。
【解析】
已知弹簧总长度$y$与所挂物体质量$x$的函数关系为$y=10+0.5x(0≤x≤5)$，其中常数项10为弹簧原长，一次项系数0.5的含义为：当所挂物体质量每增加1kg时，弹簧的总长度增加0.5cm，也就是弹簧伸长0.5cm。因此可以补充的条件为：在弹性限度内每增加1kg重物，弹簧伸长0.5cm。也可举具体实例，如挂1kg物体时弹簧总长度为10.5cm等，合理即可。
【答案】
每增加1 kg重物，弹簧伸长0.5 cm（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
一次函数的实际应用；正比例的意义
【点评】
本题是开放性试题，结合弹簧伸长的实际情景，考查对一次函数各项系数实际意义的理解，解题的关键是明确一次项系数对应的变化比例，只要补充的条件符合函数的比例关系均为正确答案。
【难度系数】
0.7
要确定被污染的条件，首先分析给出的一次函数关系式$y=10+0.5x$的实际意义：其中10是弹簧原长，对应$x=0$时的$y$值，题目已经给出；0.5是一次项系数，代表所挂物体质量每增加1kg时弹簧的伸长量。我们只需要补充能说明这个0.5的比例关系的条件即可，比如直接说明每挂1kg物体弹簧伸长的长度，或给出某一质量下弹簧的总长度等，只要符合这个比例关系都正确。
【解析】
已知弹簧总长度$y$与所挂物体质量$x$的函数关系为$y=10+0.5x(0≤x≤5)$，其中常数项10为弹簧原长，一次项系数0.5的含义为：当所挂物体质量每增加1kg时，弹簧的总长度增加0.5cm，也就是弹簧伸长0.5cm。因此可以补充的条件为：在弹性限度内每增加1kg重物，弹簧伸长0.5cm。也可举具体实例，如挂1kg物体时弹簧总长度为10.5cm等，合理即可。
【答案】
每增加1 kg重物，弹簧伸长0.5 cm（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
一次函数的实际应用；正比例的意义
【点评】
本题是开放性试题，结合弹簧伸长的实际情景，考查对一次函数各项系数实际意义的理解，解题的关键是明确一次项系数对应的变化比例，只要补充的条件符合函数的比例关系均为正确答案。
【难度系数】
0.7
