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15. 如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，∠COF=90°.
(1)写出图中所有与∠AOD互补的角.
(2)若∠AOE=120°,求∠BOD的度数.
(1)写出图中所有与∠AOD互补的角.
(2)若∠AOE=120°,求∠BOD的度数.
答案
15.解:(1)因为直线AB,CD相交于点O，
所以与$∠ AOD$互补的角有$∠ AOC$和$∠ BOD$。
因为OF平分$∠ AOE$，
所以$∠ AOF=∠ EOF$。
易知$∠ DOF=∠ COF=90°$，
所以$∠ DOE=∠ AOC$，
即$∠ DOE$也是$∠ AOD$的补角。
综上所述,与$∠ AOD$互补的角有$∠ AOC,∠ BOD,∠ DOE$。
(2)由(1),得$∠ BOD=∠ DOE$，
所以$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOE=\frac{1}{2}(180°-∠ AOE)=\frac{1}{2}(180°-120°)=30°$。
所以与$∠ AOD$互补的角有$∠ AOC$和$∠ BOD$。
因为OF平分$∠ AOE$，
所以$∠ AOF=∠ EOF$。
易知$∠ DOF=∠ COF=90°$，
所以$∠ DOE=∠ AOC$，
即$∠ DOE$也是$∠ AOD$的补角。
综上所述,与$∠ AOD$互补的角有$∠ AOC,∠ BOD,∠ DOE$。
(2)由(1),得$∠ BOD=∠ DOE$，
所以$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOE=\frac{1}{2}(180°-∠ AOE)=\frac{1}{2}(180°-120°)=30°$。
解析
【分析】
(1) 要找与∠AOD互补的角，先依据补角定义（和为180°的两个角互为补角）找邻补角：直线AB上∠AOD与∠BOD和为180°，直线CD上∠AOD与∠AOC和为180°，可得前两个补角；再结合已知条件OF平分∠AOE、∠COF=90°，通过角的和差关系推导出∠DOE=∠AOC，即可得到第三个补角。
(2) 求∠BOD度数时，利用(1)的结论可知∠BOD=∠DOE，即OD平分∠BOE，先根据平角定义求出∠BOE的度数，再除以2即可得到结果。
【解析】
(1)
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠AOD+∠BOD=180°，∠AOD+∠AOC=180°，
∴∠BOD、∠AOC均与∠AOD互补。
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF，
∵∠COF=90°，
∴∠DOF=180°-∠COF=90°，
∴∠AOF+∠AOC=∠EOF+∠DOE=90°，
∴∠DOE=∠AOC，
∴∠AOD+∠DOE=180°，即∠DOE也与∠AOD互补。
综上，与∠AOD互补的角有∠AOC、∠BOD、∠DOE。
(2) 由(1)可知∠BOD=∠DOE，
∴∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOE，
∵∠AOE=120°，∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠BOE=180°-120°=60°，
∴∠BOD=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AOC、∠BOD、∠DOE}$
(2) $\boldsymbol{30°}$
【知识点】
补角的定义；角平分线的定义；平角的性质
【点评】
本题侧重考查基础几何概念的应用，解题时先从直观的邻补角入手，再结合已知条件推导隐含的角的等量关系，需要注意不要漏找符合条件的补角，整体逻辑链条清晰，对基础推理能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要找与∠AOD互补的角，先依据补角定义（和为180°的两个角互为补角）找邻补角：直线AB上∠AOD与∠BOD和为180°，直线CD上∠AOD与∠AOC和为180°，可得前两个补角；再结合已知条件OF平分∠AOE、∠COF=90°，通过角的和差关系推导出∠DOE=∠AOC，即可得到第三个补角。
(2) 求∠BOD度数时，利用(1)的结论可知∠BOD=∠DOE，即OD平分∠BOE，先根据平角定义求出∠BOE的度数，再除以2即可得到结果。
【解析】
(1)
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠AOD+∠BOD=180°，∠AOD+∠AOC=180°，
∴∠BOD、∠AOC均与∠AOD互补。
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF，
∵∠COF=90°，
∴∠DOF=180°-∠COF=90°，
∴∠AOF+∠AOC=∠EOF+∠DOE=90°，
∴∠DOE=∠AOC，
∴∠AOD+∠DOE=180°，即∠DOE也与∠AOD互补。
综上，与∠AOD互补的角有∠AOC、∠BOD、∠DOE。
(2) 由(1)可知∠BOD=∠DOE，
∴∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOE，
∵∠AOE=120°，∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠BOE=180°-120°=60°，
∴∠BOD=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AOC、∠BOD、∠DOE}$
(2) $\boldsymbol{30°}$
【知识点】
补角的定义；角平分线的定义；平角的性质
【点评】
本题侧重考查基础几何概念的应用，解题时先从直观的邻补角入手，再结合已知条件推导隐含的角的等量关系，需要注意不要漏找符合条件的补角，整体逻辑链条清晰，对基础推理能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
16.已知点O是直线AB上一点，$∠ COE=90°$，OF是$∠ AOE$的平分线.
(1)当点C，E，F在直线AB的同侧(如图①所示)时，试说明：$∠ BOE=2∠ COF$.
(2)当点C与点E，F在直线AB的两侧(如图②所示)时，(1)中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由.
(3)将图②中的射线OF绕点O顺时针旋转$m°(0＜m＜180)$，得到射线OD，设$∠ AOC=n°$，若$∠ BOD=(60-\dfrac{2n}{3})°$，则$∠ DOE$的度数是________(用含n的式子表示).
(1)当点C，E，F在直线AB的同侧(如图①所示)时，试说明：$∠ BOE=2∠ COF$.
(2)当点C与点E，F在直线AB的两侧(如图②所示)时，(1)中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由.
(3)将图②中的射线OF绕点O顺时针旋转$m°(0＜m＜180)$，得到射线OD，设$∠ AOC=n°$，若$∠ BOD=(60-\dfrac{2n}{3})°$，则$∠ DOE$的度数是________(用含n的式子表示).
答案
16.解:(1)设$∠ COF=x$,则$∠ EOF=90°-x$。
因为OF是$∠ AOE$的平分线，
所以$∠ AOE=2∠ EOF=180°-2x$，
所以$∠ BOE=180°-∠ AOE=2x=2∠ COF$。
(2)成立.理由如下：
设$∠ EOF=y$,则$∠ COF=90°-y$。
因为OF是$∠ AOE$的平分线，
所以$∠ AOE=2∠ EOF=2y$，
所以$∠ BOE=180°-∠ AOE=180°-2y$，
故$∠ BOE=2∠ COF$。
(3)分两种情况讨论：
①当射线OD在AB上方时,由题意,得
$∠ AOE=∠ COE-∠ AOC=(90-n)°$，
则$∠ DOE=180°-∠ AOE-∠ BOD=180°-(90-n)°-(60-\frac{2}{3}n)°=(30+\frac{5}{3}n)°$；
②当射线OD在AB下方时,由题意,得
$∠ AOE=∠ COE-∠ AOC=(90-n)°$，
所以$∠ BOE=180°-∠ AOE=(90+n)°$，
则$∠ DOE=∠ BOE+∠ BOD=(150+\frac{n}{3})°$。
综合上述,$∠ DOE$的度数是$(30+\frac{5}{3}n)°$或$(150+\frac{n}{3})°$。
因为OF是$∠ AOE$的平分线，
所以$∠ AOE=2∠ EOF=180°-2x$，
所以$∠ BOE=180°-∠ AOE=2x=2∠ COF$。
(2)成立.理由如下：
设$∠ EOF=y$,则$∠ COF=90°-y$。
因为OF是$∠ AOE$的平分线，
所以$∠ AOE=2∠ EOF=2y$，
所以$∠ BOE=180°-∠ AOE=180°-2y$，
故$∠ BOE=2∠ COF$。
(3)分两种情况讨论：
①当射线OD在AB上方时,由题意,得
$∠ AOE=∠ COE-∠ AOC=(90-n)°$，
则$∠ DOE=180°-∠ AOE-∠ BOD=180°-(90-n)°-(60-\frac{2}{3}n)°=(30+\frac{5}{3}n)°$；
②当射线OD在AB下方时,由题意,得
$∠ AOE=∠ COE-∠ AOC=(90-n)°$，
所以$∠ BOE=180°-∠ AOE=(90+n)°$，
则$∠ DOE=∠ BOE+∠ BOD=(150+\frac{n}{3})°$。
综合上述,$∠ DOE$的度数是$(30+\frac{5}{3}n)°$或$(150+\frac{n}{3})°$。
解析
【分析】
(1) 要证明$∠BOE=2∠COF$，可先设$∠COF$为未知数，结合$∠COE=90°$表示出$∠EOF$，再利用OF是$∠AOE$的平分线得到$∠AOE$的表达式，最后根据平角$∠AOB=180°$求出$∠BOE$，对比即可得证。
(2) 第二问和第一问推导思路一致，设$∠EOF$为未知数，先表示出$∠COF$，再结合角平分线性质得到$∠AOE$，进而求出$∠BOE$，验证是否满足$∠BOE=2∠COF$即可。
(3) 第三问OF旋转得到OD，需分两种情况讨论：①OD在AB上方；②OD在AB下方。两种情况均先求出$∠AOE$，再结合已知的$∠BOD$表达式，利用角的和差关系计算$∠DOE$，注意不要漏解。
【解析】
(1) 设$∠COF=x$，
∵$∠COE=90°$，
∴$∠EOF=90°-x$。
∵OF是$∠AOE$的平分线，
∴$∠AOE=2∠EOF=2(90°-x)=180°-2x$，
∵点O在直线AB上，$∠AOB=180°$，
∴$∠BOE=180°-∠AOE=180°-(180°-2x)=2x$，
即$∠BOE=2∠COF$。
(2) 结论仍然成立，理由如下：
设$∠EOF=y$，
∵$∠COE=90°$，
∴$∠COF=∠COE - ∠EOF=90°-y$。
∵OF是$∠AOE$的平分线，
∴$∠AOE=2∠EOF=2y$，
∵$∠AOB=180°$，
∴$∠BOE=180°-∠AOE=180°-2y=2(90°-y)$，
即$∠BOE=2∠COF$，结论成立。
(3) 分两种情况讨论：
①当射线OD在AB上方时：
∵$∠COE=90°$，$∠AOC=n°$，
∴$∠AOE=∠COE - ∠AOC=(90-n)°$，
∵$∠AOB=180°$，
∴$∠DOE=180°-∠AOE-∠BOD=180°-(90-n)°-(60-\frac{2}{3}n)°=(30+\frac{5}{3}n)°$；
②当射线OD在AB下方时：
同理可得$∠AOE=(90-n)°$，
∴$∠BOE=180°-∠AOE=180°-(90-n)°=(90+n)°$，
∴$∠DOE=∠BOE+∠BOD=(90+n)°+(60-\frac{2}{3}n)°=(150+\frac{n}{3})°$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 结论仍然成立，理由见上述解析；
(3) $(30+\frac{5}{3}n)°$或$(150+\frac{n}{3})°$
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 平角的性质
3. 角的和差计算
【点评】
本题围绕角的计算展开，结合了角平分线、直角、平角的性质，解题时通过设未知数表示角度的方法可以简化推导过程，第三问需要注意分类讨论射线OD的不同位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$∠BOE=2∠COF$，可先设$∠COF$为未知数，结合$∠COE=90°$表示出$∠EOF$，再利用OF是$∠AOE$的平分线得到$∠AOE$的表达式，最后根据平角$∠AOB=180°$求出$∠BOE$，对比即可得证。
(2) 第二问和第一问推导思路一致，设$∠EOF$为未知数，先表示出$∠COF$，再结合角平分线性质得到$∠AOE$，进而求出$∠BOE$，验证是否满足$∠BOE=2∠COF$即可。
(3) 第三问OF旋转得到OD，需分两种情况讨论：①OD在AB上方；②OD在AB下方。两种情况均先求出$∠AOE$，再结合已知的$∠BOD$表达式，利用角的和差关系计算$∠DOE$，注意不要漏解。
【解析】
(1) 设$∠COF=x$，
∵$∠COE=90°$，
∴$∠EOF=90°-x$。
∵OF是$∠AOE$的平分线，
∴$∠AOE=2∠EOF=2(90°-x)=180°-2x$，
∵点O在直线AB上，$∠AOB=180°$，
∴$∠BOE=180°-∠AOE=180°-(180°-2x)=2x$，
即$∠BOE=2∠COF$。
(2) 结论仍然成立，理由如下：
设$∠EOF=y$，
∵$∠COE=90°$，
∴$∠COF=∠COE - ∠EOF=90°-y$。
∵OF是$∠AOE$的平分线，
∴$∠AOE=2∠EOF=2y$，
∵$∠AOB=180°$，
∴$∠BOE=180°-∠AOE=180°-2y=2(90°-y)$，
即$∠BOE=2∠COF$，结论成立。
(3) 分两种情况讨论：
①当射线OD在AB上方时：
∵$∠COE=90°$，$∠AOC=n°$，
∴$∠AOE=∠COE - ∠AOC=(90-n)°$，
∵$∠AOB=180°$，
∴$∠DOE=180°-∠AOE-∠BOD=180°-(90-n)°-(60-\frac{2}{3}n)°=(30+\frac{5}{3}n)°$；
②当射线OD在AB下方时：
同理可得$∠AOE=(90-n)°$，
∴$∠BOE=180°-∠AOE=180°-(90-n)°=(90+n)°$，
∴$∠DOE=∠BOE+∠BOD=(90+n)°+(60-\frac{2}{3}n)°=(150+\frac{n}{3})°$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 结论仍然成立，理由见上述解析；
(3) $(30+\frac{5}{3}n)°$或$(150+\frac{n}{3})°$
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 平角的性质
3. 角的和差计算
【点评】
本题围绕角的计算展开，结合了角平分线、直角、平角的性质，解题时通过设未知数表示角度的方法可以简化推导过程，第三问需要注意分类讨论射线OD的不同位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
