1. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD$是斜边$AB$上的高,$∠ ACD=30°$,那么下列结论正确的是().


A.$AD=\frac{1}{2}CD$
B.$AC=\frac{1}{2}AB$
C.$BD=\frac{1}{2}BC$
D.$CD=\frac{1}{2}AB$

1.B

2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$∠ B=30°$，$P$是$BC$边上的动点，则$AP$的长可能是（）。


A.5
B.6.2
C.7.8
D.8

2.A 解析 根据垂线段最短,可知AP 的长不能小于3。
$\because$在$△ ABC$ 中,$∠ C=90°,AC=3,∠ B=30°,\therefore AB=6$,
$\therefore AP$ 的长不能大于6。
故选A.

3. 如图,已知AD是△ABC的中线,∠1=2∠2,CE⊥AD于点E,BF⊥AD,交AD的延长线于点F.若EF=6,则BC=.

3.12 解析 $\because AD$ 是$△ ABC$ 的中线,$\therefore BD=CD$.
$\because CE⊥ AD,BF⊥ AD$,
$\therefore ∠ CED=∠ F=90°$.
$\because$在$△ CDE$ 和$△ BDF$ 中，
$\begin{cases}∠ CED=∠ BFD,\\∠ 2=∠ BDF,\\CD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ CDE≌△ BDF(\mathrm{AAS})$,
$\therefore DE=DF=\frac{1}{2}EF=3$.
$\because ∠ 1=2∠ 2,∠ 1+∠ 2=180°$,
$\therefore ∠ 2=60°$,
$\therefore ∠ DCE=30°,\therefore CD=2DE=6$,
$\therefore BC=2CD=12$.

4. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ B = 90°$, $∠ ACB = 60°$, $DE$ 是斜边 $AC$ 的垂直平分线, 分别交 $AB, AC$ 于 $D, E$ 两点. 若 $BD=2$, 求 $AD$ 的长.

4.解 $\because ∠ ACB=60°,∠ B=90°$,
$\therefore ∠ A=30°$.
$\because DE$ 是斜边$AC$ 的垂直平分线，
$\therefore AD=CD$,
$\therefore ∠ ACD=∠ A=30°$,
$\therefore ∠ BCD=30°$.
$\because BD=2,\therefore AD=CD=4$.

5. 上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得$∠ NAC = 30°$，$∠ NBC = 60°$。
(1)求从海岛B到灯塔C的距离；
(2)这条船继续向正北航行，在什么时间小船与灯塔C的距离最短？

5.解 (1)$\because ∠ NBC=60°,∠ NAC=30°$,
$\therefore ∠ ACB=60°-30°=30°$,
$\therefore AB=BC$.
$\because AB=15×2=30$(海里)，
$\therefore$从海岛B到灯塔C的距离为30海里.
(2)如图,过点$C$ 作$CP⊥ AN$ 于点$P$,故小船在点$P$ 处与灯塔$C$ 的距离最短.
$\because ∠ NBC=60°,∠ BPC=90°$,
$\therefore ∠ PCB=90°-60°=30°$,
$\therefore PB=\frac{1}{2}BC=15$(海里)，
$15÷15=1$(小时)，
$\therefore$这条船继续向正北航行,在上午的11时小船与灯塔C的距离最短.

6.如图,已知∠O=60°,点P在边OA上,OP=8,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,求ON的长.

6.解 过点$P$ 作$PD⊥ OB$ 于点$D$，
$\because ∠ ODP=90°,∠ O=60°$,
$\therefore ∠ OPD=30°$,
$\therefore OD=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×8=4$.
$\because PM=PN,PD⊥ MN,MN=2$,
$\therefore MD=ND=\frac{1}{2}MN=1$,
$\therefore ON=OD+DN=4+1=5$.