1. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$的平分线交$AC$于点$D$,过点$D$作$DE// BC$,交$AB$于点$E$.
(1)求证:$BE=DE$.
(2)若$∠ A=80°,∠ C=40°$,求$∠ BDE$的度数.

(第1题图)

(1)在△ABC 中,∠ABC 的平分线交 AC 于点 D,
∴ ∠ABD=∠CBD.
∵ DE//BC,
∴ ∠EDB=∠CBD.
∴ ∠EBD=∠EDB.
∴ BE=DE.
(2)
∵ ∠A=80°,∠C=40°,
∴ ∠ABC=60°.
∵ ∠ABC 的平分线交 AC 于点 D,
∴ ∠ABD = ∠CBD = $\frac{1}{2}$∠ABC =30°.
由(1)知∠EDB=∠EBD=30°,
∴ ∠BDE 的度数为 30°.

2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=60°$,$∠ ACB=40°$,$∠ ABC$的平分线$BD$交边$AC$于点$D$,$E$为$BC$的中点,连结$DE$.
(1)求证:$△ BCD$为等腰三角形.
(2)求$∠ EDC$的度数.

（第2题图）

(1) 根据三角形内角和可知∠ABC =180°-∠BAC-∠ACB=80°.
∵ BD 平分∠ABC,
∴ ∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=40°.
∴ ∠DBC=∠ACB=40°.
∴ DB=DC.
∴ △BCD 为等腰三角形.
(2)
∵ ∠DBC=∠ACB=40°,
∴ ∠BDC=180°-40°-40°=100°.
∵ DB=DC,E 为 BC 的中点,
∴ DE 平分∠BDC.
∴ ∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BDC=50°.