登录
四、根据比例的基本性质，判断下面各组中的两个比能否组成比例，把能组成的比例写出来，并指出比例的内项和外项。（共14分）
5：6和7：8
$\frac{3}{8}:\frac{4}{9}$和$\frac{81}{80}:\frac{6}{5}$
1.6：3.6和$\frac{2}{3}:\frac{3}{2}$
0.8：0.4和0.3：0.6
5：6和7：8
$\frac{3}{8}:\frac{4}{9}$和$\frac{81}{80}:\frac{6}{5}$
1.6：3.6和$\frac{2}{3}:\frac{3}{2}$
0.8：0.4和0.3：0.6
答案
1. $5×8=40$ $6×7=42$
$5:6$和$7:8$不能组成比例。
2. $\frac{3}{8}×\frac{6}{5}=\frac{9}{20}$
$\frac{4}{9}×\frac{81}{80}=\frac{9}{20}$
$\frac{3}{8}:\frac{4}{9}=\frac{81}{80}:\frac{6}{5}$
内项:$\frac{4}{9},\frac{81}{80}$
外项:$\frac{3}{8},\frac{6}{5}$
3. $1.6×\frac{3}{2}=2.4$
$3.6×\frac{2}{3}=2.4$
$1.6:3.6=\frac{2}{3}:\frac{3}{2}$
内项:$3.6,\frac{2}{3}$
外项:$1.6,\frac{3}{2}$
4. $0.8×0.6=0.48$
$0.4×0.3=0.12$
$0.8:0.4$和$0.3:0.6$不能组成比例。
(部分答案不唯一)
$5:6$和$7:8$不能组成比例。
2. $\frac{3}{8}×\frac{6}{5}=\frac{9}{20}$
$\frac{4}{9}×\frac{81}{80}=\frac{9}{20}$
$\frac{3}{8}:\frac{4}{9}=\frac{81}{80}:\frac{6}{5}$
内项:$\frac{4}{9},\frac{81}{80}$
外项:$\frac{3}{8},\frac{6}{5}$
3. $1.6×\frac{3}{2}=2.4$
$3.6×\frac{2}{3}=2.4$
$1.6:3.6=\frac{2}{3}:\frac{3}{2}$
内项:$3.6,\frac{2}{3}$
外项:$1.6,\frac{3}{2}$
4. $0.8×0.6=0.48$
$0.4×0.3=0.12$
$0.8:0.4$和$0.3:0.6$不能组成比例。
(部分答案不唯一)
解析
【分析】
解题的核心依据是比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。判断两个比能否组成比例时，我们可以先假设两个比能组成比例，将第一个比的前项与第二个比的后项相乘、第一个比的后项与第二个比的前项相乘，若两次乘积相等则两个比可以组成比例，反之则不能。如果能组成比例，组成比例后两端的两项是外项，中间的两项是内项，我们逐组按这个方法计算判断即可。
【解析】
1. 第一组：5:6和7:8
计算交叉乘积：$5×8=40$，$6×7=42$
因为$40≠42$，所以5:6和7:8不能组成比例。
2. 第二组：$\frac{3}{8}:\frac{4}{9}$和$\frac{81}{80}:\frac{6}{5}$
计算交叉乘积：$\frac{3}{8}×\frac{6}{5}=\frac{9}{20}$，$\frac{4}{9}×\frac{81}{80}=\frac{9}{20}$
因为$\frac{9}{20}=\frac{9}{20}$，所以两个比可以组成比例$\frac{3}{8}:\frac{4}{9}=\frac{81}{80}:\frac{6}{5}$，其中内项是中间的$\frac{4}{9}$和$\frac{81}{80}$，外项是两端的$\frac{3}{8}$和$\frac{6}{5}$。
3. 第三组：1.6:3.6和$\frac{2}{3}:\frac{3}{2}$
计算交叉乘积：$1.6×\frac{3}{2}=2.4$，$3.6×\frac{2}{3}=2.4$
因为$2.4=2.4$，所以两个比可以组成比例$1.6:3.6=\frac{2}{3}:\frac{3}{2}$，其中内项是中间的$3.6$和$\frac{2}{3}$，外项是两端的$1.6$和$\frac{3}{2}$。
4. 第四组：0.8:0.4和0.3:0.6
计算交叉乘积：$0.8×0.6=0.48$，$0.4×0.3=0.12$
因为$0.48≠0.12$，所以0.8:0.4和0.3:0.6不能组成比例。
（组成的比例写法不唯一）
【答案】
1. $5×8=40$ $6×7=42$
$5:6$和$7:8$不能组成比例。
2. $\frac{3}{8}×\frac{6}{5}=\frac{9}{20}$
$\frac{4}{9}×\frac{81}{80}=\frac{9}{20}$
$\frac{3}{8}:\frac{4}{9}=\frac{81}{80}:\frac{6}{5}$
内项:$\frac{4}{9},\frac{81}{80}$
外项:$\frac{3}{8},\frac{6}{5}$
3. $1.6×\frac{3}{2}=2.4$
$3.6×\frac{2}{3}=2.4$
$1.6:3.6=\frac{2}{3}:\frac{3}{2}$
内项:$3.6,\frac{2}{3}$
外项:$1.6,\frac{3}{2}$
4. $0.8×0.6=0.48$
$0.4×0.3=0.12$
$0.8:0.4$和$0.3:0.6$不能组成比例。
(部分答案不唯一)
【知识点】
比例的基本性质、比例的判定、比例的内项外项
【点评】
本题是比例章节的基础题型，核心考查对比例基本性质的应用，掌握交叉相乘判断比例的方法即可快速解题，解题时要注意分数、小数计算的准确性，同时牢记内项、外项的位置定义。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。判断两个比能否组成比例时，我们可以先假设两个比能组成比例，将第一个比的前项与第二个比的后项相乘、第一个比的后项与第二个比的前项相乘，若两次乘积相等则两个比可以组成比例，反之则不能。如果能组成比例，组成比例后两端的两项是外项，中间的两项是内项，我们逐组按这个方法计算判断即可。
【解析】
1. 第一组：5:6和7:8
计算交叉乘积：$5×8=40$，$6×7=42$
因为$40≠42$，所以5:6和7:8不能组成比例。
2. 第二组：$\frac{3}{8}:\frac{4}{9}$和$\frac{81}{80}:\frac{6}{5}$
计算交叉乘积：$\frac{3}{8}×\frac{6}{5}=\frac{9}{20}$，$\frac{4}{9}×\frac{81}{80}=\frac{9}{20}$
因为$\frac{9}{20}=\frac{9}{20}$，所以两个比可以组成比例$\frac{3}{8}:\frac{4}{9}=\frac{81}{80}:\frac{6}{5}$，其中内项是中间的$\frac{4}{9}$和$\frac{81}{80}$，外项是两端的$\frac{3}{8}$和$\frac{6}{5}$。
3. 第三组：1.6:3.6和$\frac{2}{3}:\frac{3}{2}$
计算交叉乘积：$1.6×\frac{3}{2}=2.4$，$3.6×\frac{2}{3}=2.4$
因为$2.4=2.4$，所以两个比可以组成比例$1.6:3.6=\frac{2}{3}:\frac{3}{2}$，其中内项是中间的$3.6$和$\frac{2}{3}$，外项是两端的$1.6$和$\frac{3}{2}$。
4. 第四组：0.8:0.4和0.3:0.6
计算交叉乘积：$0.8×0.6=0.48$，$0.4×0.3=0.12$
因为$0.48≠0.12$，所以0.8:0.4和0.3:0.6不能组成比例。
（组成的比例写法不唯一）
【答案】
1. $5×8=40$ $6×7=42$
$5:6$和$7:8$不能组成比例。
2. $\frac{3}{8}×\frac{6}{5}=\frac{9}{20}$
$\frac{4}{9}×\frac{81}{80}=\frac{9}{20}$
$\frac{3}{8}:\frac{4}{9}=\frac{81}{80}:\frac{6}{5}$
内项:$\frac{4}{9},\frac{81}{80}$
外项:$\frac{3}{8},\frac{6}{5}$
3. $1.6×\frac{3}{2}=2.4$
$3.6×\frac{2}{3}=2.4$
$1.6:3.6=\frac{2}{3}:\frac{3}{2}$
内项:$3.6,\frac{2}{3}$
外项:$1.6,\frac{3}{2}$
4. $0.8×0.6=0.48$
$0.4×0.3=0.12$
$0.8:0.4$和$0.3:0.6$不能组成比例。
(部分答案不唯一)
【知识点】
比例的基本性质、比例的判定、比例的内项外项
【点评】
本题是比例章节的基础题型，核心考查对比例基本性质的应用，掌握交叉相乘判断比例的方法即可快速解题，解题时要注意分数、小数计算的准确性，同时牢记内项、外项的位置定义。
【难度系数】
0.8
五、求下面涂色部分的周长。（共12分）
1. 4 cm
2.
，5 dm，5 dm，5 dm
3. 20 m
1. 4 cm
2.
，5 dm，5 dm，5 dm3. 20 m
答案
1. $2×3.14×4+4×4=41.12$(cm)
2. $5×2×4+3.14×5×2=71.4$(dm)
3. $3.14×(20÷2)×2+3.14×20÷2=94.2$(m)
2. $5×2×4+3.14×5×2=71.4$(dm)
3. $3.14×(20÷2)×2+3.14×20÷2=94.2$(m)
解析
【分析】
解决组合图形涂色部分周长的问题，核心思路是先拆分周长的组成：先观察涂色部分的边由哪些线段、曲线构成，不要漏算也不要重复计算，再分别计算各部分长度后求和即可。
1. 第一题：涂色部分周长由半径为4cm的整圆周长，加上4条长度为4cm的线段（内部正方形的四条边）组成，分别计算两部分长度相加即可。
2. 第二题：图形四个边各凹进去1个直径为5dm的半圆，4个半圆刚好可以拼成2个完整的圆；直边部分每个边剩下2段5dm的线段，共8段，分别计算直边总长度和2个圆的周长再求和。
3. 第三题：涂色部分周长由2个直径为10m的小圆的周长，加上1个直径为20m的半圆弧长组成，分别计算两部分相加即可。
【解析】
圆的周长公式为$C=π d=2π r$：
1. 半径$r=4\mathrm{cm}$
整圆周长：$2×3.14×4=25.12(\mathrm{cm})$
4条线段总长度：$4×4=16(\mathrm{cm})$
总周长：$25.12+16=41.12(\mathrm{cm})$
2. 直边总长度：$5×2×4=40(\mathrm{dm})$
4个半圆可拼成2个直径$d=5\mathrm{dm}$的整圆，2个圆总周长：$3.14×5×2=31.4(\mathrm{dm})$
总周长：$40+31.4=71.4(\mathrm{dm})$
3. 小圆直径$d=20÷2=10(\mathrm{m})$，2个小圆总周长：$3.14×10×2=62.8(\mathrm{m})$
直径20m的半圆弧长：$3.14×20÷2=31.4(\mathrm{m})$
总周长：$62.8+31.4=94.2(\mathrm{m})$
【答案】
1. $\boldsymbol{41.12\ \mathrm{cm}}$
2. $\boldsymbol{71.4\ \mathrm{dm}}$
3. $\boldsymbol{94.2\ \mathrm{m}}$
【知识点】
圆的周长计算；组合图形周长计算；转化法解题
【点评】
本题重点考察组合图形周长的计算能力，解题的关键是先梳理清楚涂色部分周长包含的所有线段和曲线部分，再结合圆的周长公式分步计算，注意不要遗漏或重复计算周长的组成部分。
【难度系数】
0.7
解决组合图形涂色部分周长的问题，核心思路是先拆分周长的组成：先观察涂色部分的边由哪些线段、曲线构成，不要漏算也不要重复计算，再分别计算各部分长度后求和即可。
1. 第一题：涂色部分周长由半径为4cm的整圆周长，加上4条长度为4cm的线段（内部正方形的四条边）组成，分别计算两部分长度相加即可。
2. 第二题：图形四个边各凹进去1个直径为5dm的半圆，4个半圆刚好可以拼成2个完整的圆；直边部分每个边剩下2段5dm的线段，共8段，分别计算直边总长度和2个圆的周长再求和。
3. 第三题：涂色部分周长由2个直径为10m的小圆的周长，加上1个直径为20m的半圆弧长组成，分别计算两部分相加即可。
【解析】
圆的周长公式为$C=π d=2π r$：
1. 半径$r=4\mathrm{cm}$
整圆周长：$2×3.14×4=25.12(\mathrm{cm})$
4条线段总长度：$4×4=16(\mathrm{cm})$
总周长：$25.12+16=41.12(\mathrm{cm})$
2. 直边总长度：$5×2×4=40(\mathrm{dm})$
4个半圆可拼成2个直径$d=5\mathrm{dm}$的整圆，2个圆总周长：$3.14×5×2=31.4(\mathrm{dm})$
总周长：$40+31.4=71.4(\mathrm{dm})$
3. 小圆直径$d=20÷2=10(\mathrm{m})$，2个小圆总周长：$3.14×10×2=62.8(\mathrm{m})$
直径20m的半圆弧长：$3.14×20÷2=31.4(\mathrm{m})$
总周长：$62.8+31.4=94.2(\mathrm{m})$
【答案】
1. $\boldsymbol{41.12\ \mathrm{cm}}$
2. $\boldsymbol{71.4\ \mathrm{dm}}$
3. $\boldsymbol{94.2\ \mathrm{m}}$
【知识点】
圆的周长计算；组合图形周长计算；转化法解题
【点评】
本题重点考察组合图形周长的计算能力，解题的关键是先梳理清楚涂色部分周长包含的所有线段和曲线部分，再结合圆的周长公式分步计算，注意不要遗漏或重复计算周长的组成部分。
【难度系数】
0.7
六、求下面图形涂色部分的面积。（单位：厘米）（共12分）
1. 6，6，10
2.
，8
3. 3，3，3，3，3
1. 6，6，10
2.
，83. 3，3，3，3，3
答案
1. $(6+10)×6÷2=48$(平方厘米)
2. $3.14×(8÷4)^2×2=25.12$(平方厘米)
3. $3.14×3^2÷2=14.13$(平方厘米)
2. $3.14×(8÷4)^2×2=25.12$(平方厘米)
3. $3.14×3^2÷2=14.13$(平方厘米)
解析
【分析】
1. 第一题可使用割补法转化图形：左侧阴影扇形与右侧空白扇形大小形状完全一致，将左侧扇形平移到右侧空白处，阴影部分就转化为上底6cm、下底10cm、高6cm的梯形，直接用梯形面积公式计算即可。
2. 第二题可通过拼接转化图形：4个阴影半圆的直径相等，大圆直径为8cm，因此每个小半圆的直径为$8÷2=4\mathrm{cm}$，4个半圆刚好可以拼成2个半径为2cm的完整圆形，计算2个圆的面积和就是阴影总面积。
3. 第三题可利用角度和拼接图形：三个阴影扇形的半径都是3cm，三角形内角和为180°，三个扇形的圆心角之和刚好为180°，因此三个扇形可以拼接成1个半径为3cm的半圆，计算半圆面积即可得到阴影总面积。
【解析】
1. 根据梯形面积公式$S=(a+b)h÷2$，代入数据计算：
$\begin{split}S&=(6+10)×6÷2\\&=16×6÷2\\&=48(\mathrm{平方厘米})\end{split}$
2. 先求小圆半径：$8÷4=2(\mathrm{厘米})$，根据圆的面积公式$S=πr²$，2个圆的面积为：
$\begin{split}S&=3.14×2²×2\\&=3.14×4×2\\&=25.12(\mathrm{平方厘米})\end{split}$
3. 三个扇形拼接为半圆，半圆面积为整圆面积的$\frac{1}{2}$：
$\begin{split}S&=3.14×3²÷2\\&=3.14×9÷2\\&=14.13(\mathrm{平方厘米})\end{split}$
【答案】
1. 48平方厘米
2. 25.12平方厘米
3. 14.13平方厘米
【知识点】
割补法求面积、圆的面积计算、梯形面积计算
【点评】
这三道题均考查不规则阴影面积的计算，核心是运用转化思想，通过割补、拼接的方式把不规则图形转化为常见规则图形，再代入对应公式求解，解题时要注意观察图形特征，找到简便计算的突破口。
【难度系数】
0.7
1. 第一题可使用割补法转化图形：左侧阴影扇形与右侧空白扇形大小形状完全一致，将左侧扇形平移到右侧空白处，阴影部分就转化为上底6cm、下底10cm、高6cm的梯形，直接用梯形面积公式计算即可。
2. 第二题可通过拼接转化图形：4个阴影半圆的直径相等，大圆直径为8cm，因此每个小半圆的直径为$8÷2=4\mathrm{cm}$，4个半圆刚好可以拼成2个半径为2cm的完整圆形，计算2个圆的面积和就是阴影总面积。
3. 第三题可利用角度和拼接图形：三个阴影扇形的半径都是3cm，三角形内角和为180°，三个扇形的圆心角之和刚好为180°，因此三个扇形可以拼接成1个半径为3cm的半圆，计算半圆面积即可得到阴影总面积。
【解析】
1. 根据梯形面积公式$S=(a+b)h÷2$，代入数据计算：
$\begin{split}S&=(6+10)×6÷2\\&=16×6÷2\\&=48(\mathrm{平方厘米})\end{split}$
2. 先求小圆半径：$8÷4=2(\mathrm{厘米})$，根据圆的面积公式$S=πr²$，2个圆的面积为：
$\begin{split}S&=3.14×2²×2\\&=3.14×4×2\\&=25.12(\mathrm{平方厘米})\end{split}$
3. 三个扇形拼接为半圆，半圆面积为整圆面积的$\frac{1}{2}$：
$\begin{split}S&=3.14×3²÷2\\&=3.14×9÷2\\&=14.13(\mathrm{平方厘米})\end{split}$
【答案】
1. 48平方厘米
2. 25.12平方厘米
3. 14.13平方厘米
【知识点】
割补法求面积、圆的面积计算、梯形面积计算
【点评】
这三道题均考查不规则阴影面积的计算，核心是运用转化思想，通过割补、拼接的方式把不规则图形转化为常见规则图形，再代入对应公式求解，解题时要注意观察图形特征，找到简便计算的突破口。
【难度系数】
0.7
下面三个圆的半径都是2厘米。涂色部分的面积是多少平方厘米？
答案
$3.14×2^2÷2=6.28$(平方厘米)
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：三个圆的半径完全相等，涂色部分是3个独立的扇形，我们可以用割补转化的思路简化计算，不需要单独求每个扇形的面积。三个扇形的圆心角之和刚好是180°，正好可以拼接成1个半径为2厘米的半圆，因此求涂色部分面积就转化为求这个半圆的面积。
【解析】
解：经过割补拼接，3块涂色部分可以拼成1个半径为2厘米的半圆，涂色部分面积等于该半圆的面积：
$\begin{split}&3.14×2^2÷2\\=&3.14×4÷2\\=&12.56÷2\\=&6.28(\mathrm{平方厘米})\end{split}$
【答案】
6.28平方厘米
【知识点】
圆的面积计算；割补法求面积；扇形拼接
【点评】
本题重点考查图形转化思想，不需要分别计算每块阴影的面积，通过观察图形共性，把不规则的多块阴影拼接为规则的半圆即可快速求解，做题时要学会观察图形特征，寻找简便计算的思路。
【难度系数】
0.6
解题时先观察图形特征：三个圆的半径完全相等，涂色部分是3个独立的扇形，我们可以用割补转化的思路简化计算，不需要单独求每个扇形的面积。三个扇形的圆心角之和刚好是180°，正好可以拼接成1个半径为2厘米的半圆，因此求涂色部分面积就转化为求这个半圆的面积。
【解析】
解：经过割补拼接，3块涂色部分可以拼成1个半径为2厘米的半圆，涂色部分面积等于该半圆的面积：
$\begin{split}&3.14×2^2÷2\\=&3.14×4÷2\\=&12.56÷2\\=&6.28(\mathrm{平方厘米})\end{split}$
【答案】
6.28平方厘米
【知识点】
圆的面积计算；割补法求面积；扇形拼接
【点评】
本题重点考查图形转化思想，不需要分别计算每块阴影的面积，通过观察图形共性，把不规则的多块阴影拼接为规则的半圆即可快速求解，做题时要学会观察图形特征，寻找简便计算的思路。
【难度系数】
0.6
