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7 如图，装裱一幅宽 40 cm、长 60 cm 的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的部分的上下的宽都为 15 cm，若装裱上去的左右部分的宽都为 x cm，则 x=
10
cm。答案
10
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的对应边成比例。我们先分别计算装裱后大矩形的长和宽，再根据两个矩形相似的性质，找到对应边的比例关系列出方程，最后解方程求出x的值，注意要检验结果是否符合实际意义。
【解析】
解：装裱完成后，大矩形的长为原矩形的长加上上下装裱的总宽度：
$60 + 15 × 2 = 90\ \mathrm{cm}$
大矩形的宽为原矩形的宽加上左右装裱的总宽度：
$40 + 2x\ \mathrm{cm}$
因为大矩形与原矩形相似，对应边成比例，即原矩形的宽与长的比等于大矩形的宽与长的比，据此列方程：
$\frac{40}{60} = \frac{40 + 2x}{90}$
化简得：$\frac{2}{3} = \frac{40 + 2x}{90}$
两边同乘90得：$60 = 40 + 2x$
解得：$x = 10$
检验：当$x=10$时，大矩形宽为$40+2×10=60\ \mathrm{cm}$，$\frac{60}{90}=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$，满足相似条件，且长度为正，符合实际。
【答案】
10
【知识点】
相似多边形的性质，一元一次方程求解
【点评】
本题是相似图形性质的实际应用题，解题的关键是找准相似图形的对应边，正确列出比例式，计算时要注意装裱部分是左右/上下两边同步加宽，避免漏算倍数导致错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的对应边成比例。我们先分别计算装裱后大矩形的长和宽，再根据两个矩形相似的性质，找到对应边的比例关系列出方程，最后解方程求出x的值，注意要检验结果是否符合实际意义。
【解析】
解：装裱完成后，大矩形的长为原矩形的长加上上下装裱的总宽度：
$60 + 15 × 2 = 90\ \mathrm{cm}$
大矩形的宽为原矩形的宽加上左右装裱的总宽度：
$40 + 2x\ \mathrm{cm}$
因为大矩形与原矩形相似，对应边成比例，即原矩形的宽与长的比等于大矩形的宽与长的比，据此列方程：
$\frac{40}{60} = \frac{40 + 2x}{90}$
化简得：$\frac{2}{3} = \frac{40 + 2x}{90}$
两边同乘90得：$60 = 40 + 2x$
解得：$x = 10$
检验：当$x=10$时，大矩形宽为$40+2×10=60\ \mathrm{cm}$，$\frac{60}{90}=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$，满足相似条件，且长度为正，符合实际。
【答案】
10
【知识点】
相似多边形的性质，一元一次方程求解
【点评】
本题是相似图形性质的实际应用题，解题的关键是找准相似图形的对应边，正确列出比例式，计算时要注意装裱部分是左右/上下两边同步加宽，避免漏算倍数导致错误。
【难度系数】
0.7
8 如图，点D、E分别是线段BC和AC的中点，AD、BE交于点O，且AD⊥BE，BC=22，AC=16，那么OD长是
3
。答案
3
解析
【分析】
首先，AD、BE是△ABC的两条中线，交点O是三角形的重心，根据重心性质可得AO:OD=2:1，BO:OE=2:1。因为AD⊥BE，所以图中△BOD、△AOE均为直角三角形，我们可以设OD=x，OE=y，结合D、E是中点得到的BD、AE长度，利用勾股定理列两个方程，联立消元即可求出x的值也就是OD的长。
【解析】
解：
∵D是BC中点，E是AC中点，
∴AD、BE是△ABC的中线，交点O是△ABC的重心，
根据重心性质得：AO=2OD，BO=2OE，BD=$\frac{1}{2}$BC=11，AE=$\frac{1}{2}$AC=8。
设OD=x，OE=y，则AO=2x，BO=2y，
∵AD⊥BE，
∴∠BOD=∠AOE=90°，
在Rt△BOD中，由勾股定理得：$BO^2 + OD^2 = BD^2$，即$(2y)^2 + x^2 = 11^2$，化简得$x^2 + 4y^2 = 121$ ①；
在Rt△AOE中，由勾股定理得：$AO^2 + OE^2 = AE^2$，即$(2x)^2 + y^2 = 8^2$，化简得$4x^2 + y^2 = 64$ ②；
将②×4得：$16x^2 + 4y^2 = 256$ ③，
用③ - ①得：$15x^2 = 135$，解得$x^2=9$，
∵x＞0，
∴x=3，即OD=3。
【答案】
3
【知识点】
三角形重心性质，勾股定理，中线的定义
【点评】
本题解题的核心是识别出三角形的重心，利用重心的线段比例关系设未知数，再结合直角三角形的勾股定理列方程求解，是几何与方程结合的典型基础题。
【难度系数】
0.6
首先，AD、BE是△ABC的两条中线，交点O是三角形的重心，根据重心性质可得AO:OD=2:1，BO:OE=2:1。因为AD⊥BE，所以图中△BOD、△AOE均为直角三角形，我们可以设OD=x，OE=y，结合D、E是中点得到的BD、AE长度，利用勾股定理列两个方程，联立消元即可求出x的值也就是OD的长。
【解析】
解：
∵D是BC中点，E是AC中点，
∴AD、BE是△ABC的中线，交点O是△ABC的重心，
根据重心性质得：AO=2OD，BO=2OE，BD=$\frac{1}{2}$BC=11，AE=$\frac{1}{2}$AC=8。
设OD=x，OE=y，则AO=2x，BO=2y，
∵AD⊥BE，
∴∠BOD=∠AOE=90°，
在Rt△BOD中，由勾股定理得：$BO^2 + OD^2 = BD^2$，即$(2y)^2 + x^2 = 11^2$，化简得$x^2 + 4y^2 = 121$ ①；
在Rt△AOE中，由勾股定理得：$AO^2 + OE^2 = AE^2$，即$(2x)^2 + y^2 = 8^2$，化简得$4x^2 + y^2 = 64$ ②；
将②×4得：$16x^2 + 4y^2 = 256$ ③，
用③ - ①得：$15x^2 = 135$，解得$x^2=9$，
∵x＞0，
∴x=3，即OD=3。
【答案】
3
【知识点】
三角形重心性质，勾股定理，中线的定义
【点评】
本题解题的核心是识别出三角形的重心，利用重心的线段比例关系设未知数，再结合直角三角形的勾股定理列方程求解，是几何与方程结合的典型基础题。
【难度系数】
0.6
9 如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3。若△ABC的面积为8，则△DEF的面积是
18
。答案
18
解析
【分析】
遇到位似图形相关的面积计算问题，首先明确位似是特殊的相似，位似图形满足相似图形的所有性质。本题已知两个三角形的位似比，要求未知三角形的面积，需先利用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”求出两个三角形的面积比，再结合已知三角形的面积代入计算即可。
【解析】
∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2:3
∴△ABC∽△DEF，相似比为$\frac{2}{3}$
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEF}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$
已知$S_{△ ABC}=8$，代入得：
$\frac{8}{S_{△ DEF}}=\frac{4}{9}$
解得：$S_{△ DEF}=8×\frac{9}{4}=18$
【答案】
18
【知识点】
位似图形的性质、相似三角形面积与相似比的关系
【点评】
本题是基础题，解题的关键是明确位似图形属于相似图形，可直接套用相似的相关性质计算，只要掌握相似三角形面积比和相似比的关系就能快速求解。
【难度系数】
0.7
遇到位似图形相关的面积计算问题，首先明确位似是特殊的相似，位似图形满足相似图形的所有性质。本题已知两个三角形的位似比，要求未知三角形的面积，需先利用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”求出两个三角形的面积比，再结合已知三角形的面积代入计算即可。
【解析】
∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2:3
∴△ABC∽△DEF，相似比为$\frac{2}{3}$
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEF}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$
已知$S_{△ ABC}=8$，代入得：
$\frac{8}{S_{△ DEF}}=\frac{4}{9}$
解得：$S_{△ DEF}=8×\frac{9}{4}=18$
【答案】
18
【知识点】
位似图形的性质、相似三角形面积与相似比的关系
【点评】
本题是基础题，解题的关键是明确位似图形属于相似图形，可直接套用相似的相关性质计算，只要掌握相似三角形面积比和相似比的关系就能快速求解。
【难度系数】
0.7
10 平行于四边形一组平行对边的直线截四边形的另一组对边，当两交点分别是所在对边的黄金分割点时，我们称这条介于两交点之间的线段是四边形的“黄金分割线”。如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=6，BC=10，点E、F分别在边AB、CD上(AE＞BE)，如果EF是四边形ABCD的“黄金分割线”，那么EF=
$2\sqrt{5}+4$
。答案
$2\sqrt{5}+4$
解析
【分析】
解题首先要明确新定义“黄金分割线”的含义：EF平行于AD、BC，且E是AB的黄金分割点，因AE＞BE，故AE与AB的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。接下来可通过构造辅助线，将梯形问题转化为平行四边形和相似三角形问题：过A作CD的平行线，分别交EF、BC于点Q、P，利用平行四边形性质得BP的长度，再结合相似三角形对应边成比例求出EQ的长度，最后相加得到EF的长度。
【解析】
∵EF是四边形ABCD的“黄金分割线”，
∴EF//AD//BC，E是AB的黄金分割点，且$AE＞BE$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
过点A作$AP// CD$，交EF于Q，交BC于P，
∵$AD// BC$，$AP// CD$，
∴四边形APCD是平行四边形，
∴$PC=AD=6$，$QF=AD=6$，
∴$BP=BC-PC=10-6=4$。
∵$EQ// BP$，
∴$△ AEQ ∽ △ ABP$，
∴$\frac{EQ}{BP}=\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
代入$BP=4$，得$EQ=4×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-2$，
∴$EF=EQ+QF=(2\sqrt{5}-2)+6=2\sqrt{5}+4$。
【答案】
$2\sqrt{5}+4$
【知识点】
黄金分割，梯形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是先准确理解“黄金分割线”的定义，结合平行四边形、相似三角形的性质计算，需要注意区分黄金分割中较长线段和较短线段的占比，避免比值代反出错。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确新定义“黄金分割线”的含义：EF平行于AD、BC，且E是AB的黄金分割点，因AE＞BE，故AE与AB的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。接下来可通过构造辅助线，将梯形问题转化为平行四边形和相似三角形问题：过A作CD的平行线，分别交EF、BC于点Q、P，利用平行四边形性质得BP的长度，再结合相似三角形对应边成比例求出EQ的长度，最后相加得到EF的长度。
【解析】
∵EF是四边形ABCD的“黄金分割线”，
∴EF//AD//BC，E是AB的黄金分割点，且$AE＞BE$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
过点A作$AP// CD$，交EF于Q，交BC于P，
∵$AD// BC$，$AP// CD$，
∴四边形APCD是平行四边形，
∴$PC=AD=6$，$QF=AD=6$，
∴$BP=BC-PC=10-6=4$。
∵$EQ// BP$，
∴$△ AEQ ∽ △ ABP$，
∴$\frac{EQ}{BP}=\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
代入$BP=4$，得$EQ=4×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-2$，
∴$EF=EQ+QF=(2\sqrt{5}-2)+6=2\sqrt{5}+4$。
【答案】
$2\sqrt{5}+4$
【知识点】
黄金分割，梯形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是先准确理解“黄金分割线”的定义，结合平行四边形、相似三角形的性质计算，需要注意区分黄金分割中较长线段和较短线段的占比，避免比值代反出错。
【难度系数】
0.6
11 如图，长方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在AB、AC上。已知△ABC的边BC长120 cm，高AH为40 cm，且长方形DEFG的长DG是宽DE的2倍，那么DE的长度是
24
cm。答案
24
解析
【分析】
首先观察图形特征，长方形DEFG的边DG平行于BC，可推出△ADG与△ABC相似。根据相似三角形的核心性质：相似三角形对应高的比等于相似比，我们可以设宽DE的长度为$ x $，则长DG为$ 2x $，△ADG的高等于△ABC的高AH减去DE的长度，据此列方程即可求出DE的长度。
【解析】
设DE的长度为$ x \, \mathrm{cm} $，由题意得DG = $ 2x \, \mathrm{cm} $。
∵ 四边形DEFG是长方形，
∴ $ DG // BC $，$ DE ⊥ BC $，
又
∵ AH是△ABC的高，即$ AH ⊥ BC $，
∴ △ADG∽△ABC，且△ADG的高为$ AH - DE = (40 - x) \, \mathrm{cm} $。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{DG}{BC} = \frac{AH - DE}{AH}$
代入$ DG=2x $，$ BC=120 \, \mathrm{cm} $，$ AH=40 \, \mathrm{cm} $，得：
$\frac{2x}{120} = \frac{40 - x}{40}$
化简求解：
交叉相乘得$ 40 × 2x = 120 × (40 - x) $
即$ 80x = 4800 - 120x $
移项合并同类项得$ 200x = 4800 $
解得$ x=24 $。
【答案】
24
【知识点】
相似三角形的性质，长方形的性质
【点评】
本题是三角形内接矩形的典型基础题型，解题关键是利用平行线得到相似三角形，再结合相似三角形对应高的比等于相似比建立方程求解，整体逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征，长方形DEFG的边DG平行于BC，可推出△ADG与△ABC相似。根据相似三角形的核心性质：相似三角形对应高的比等于相似比，我们可以设宽DE的长度为$ x $，则长DG为$ 2x $，△ADG的高等于△ABC的高AH减去DE的长度，据此列方程即可求出DE的长度。
【解析】
设DE的长度为$ x \, \mathrm{cm} $，由题意得DG = $ 2x \, \mathrm{cm} $。
∵ 四边形DEFG是长方形，
∴ $ DG // BC $，$ DE ⊥ BC $，
又
∵ AH是△ABC的高，即$ AH ⊥ BC $，
∴ △ADG∽△ABC，且△ADG的高为$ AH - DE = (40 - x) \, \mathrm{cm} $。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{DG}{BC} = \frac{AH - DE}{AH}$
代入$ DG=2x $，$ BC=120 \, \mathrm{cm} $，$ AH=40 \, \mathrm{cm} $，得：
$\frac{2x}{120} = \frac{40 - x}{40}$
化简求解：
交叉相乘得$ 40 × 2x = 120 × (40 - x) $
即$ 80x = 4800 - 120x $
移项合并同类项得$ 200x = 4800 $
解得$ x=24 $。
【答案】
24
【知识点】
相似三角形的性质，长方形的性质
【点评】
本题是三角形内接矩形的典型基础题型，解题关键是利用平行线得到相似三角形，再结合相似三角形对应高的比等于相似比建立方程求解，整体逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.7
12 如图,在直角坐标系中,△ABC与△ODE是位似图形,则它们位似中心的坐标是
(4, 2)
。答案
(4, 2)
解析
【分析】
位似图形的位似中心是所有对应顶点连线的公共交点，解题思路如下：第一步先确定两个三角形的对应顶点，第二步选取两组对应顶点，分别求出过这两组对应点的直线的解析式，第三步联立两个解析式求解，得到的交点坐标就是位似中心的坐标；也可以直接在网格中延长对应顶点的连线，直观找到交点位置得到坐标。
【解析】
首先确定两个三角形的对应顶点：由图可得△ABC顶点坐标为A(2,1)、B(3,3)、C(2,3)，△ODE顶点坐标为O(0,0)、D(2,4)、E(0,4)，根据对应边平行可知对应点为A↔O、B↔D。
1. 求直线OA的解析式：
直线OA过点O(0,0)和A(2,1)，设解析式为$y=k_1x$，代入A(2,1)得$1=2k_1$，解得$k_1=\frac{1}{2}$，因此直线OA解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
2. 求直线BD的解析式：
直线BD过点B(3,3)和D(2,4)，设解析式为$y=k_2x+b$，代入两点坐标得：
$\begin{cases}3=3k_2+b\\4=2k_2+b\end{cases}$
用第一个式子减第二个式子得$-1=k_2$，将$k_2=-1$代入$4=2k_2+b$得$4=-2+b$，解得$b=6$，因此直线BD解析式为$y=-x+6$。
3. 联立两个解析式求交点：
$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x\\y=-x+6\end{cases}$
将第一个式子代入第二个式子得：$\frac{1}{2}x=-x+6$，解得$x=4$，代入$y=\frac{1}{2}x$得$y=2$，因此交点坐标为(4,2)，即位似中心坐标为(4,2)。
【答案】
(4, 2)
【知识点】
位似图形的性质；待定系数法求一次函数解析式；一次函数交点求解
【点评】
本题属于位似图形的基础题型，解题核心是牢记位似中心是位似图形对应顶点连线的交点，通过求两条直线交点的方法即可快速得到结果，也可通过直接延长连线的方法在网格中快速定位交点。
【难度系数】
0.7
位似图形的位似中心是所有对应顶点连线的公共交点，解题思路如下：第一步先确定两个三角形的对应顶点，第二步选取两组对应顶点，分别求出过这两组对应点的直线的解析式，第三步联立两个解析式求解，得到的交点坐标就是位似中心的坐标；也可以直接在网格中延长对应顶点的连线，直观找到交点位置得到坐标。
【解析】
首先确定两个三角形的对应顶点：由图可得△ABC顶点坐标为A(2,1)、B(3,3)、C(2,3)，△ODE顶点坐标为O(0,0)、D(2,4)、E(0,4)，根据对应边平行可知对应点为A↔O、B↔D。
1. 求直线OA的解析式：
直线OA过点O(0,0)和A(2,1)，设解析式为$y=k_1x$，代入A(2,1)得$1=2k_1$，解得$k_1=\frac{1}{2}$，因此直线OA解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
2. 求直线BD的解析式：
直线BD过点B(3,3)和D(2,4)，设解析式为$y=k_2x+b$，代入两点坐标得：
$\begin{cases}3=3k_2+b\\4=2k_2+b\end{cases}$
用第一个式子减第二个式子得$-1=k_2$，将$k_2=-1$代入$4=2k_2+b$得$4=-2+b$，解得$b=6$，因此直线BD解析式为$y=-x+6$。
3. 联立两个解析式求交点：
$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x\\y=-x+6\end{cases}$
将第一个式子代入第二个式子得：$\frac{1}{2}x=-x+6$，解得$x=4$，代入$y=\frac{1}{2}x$得$y=2$，因此交点坐标为(4,2)，即位似中心坐标为(4,2)。
【答案】
(4, 2)
【知识点】
位似图形的性质；待定系数法求一次函数解析式；一次函数交点求解
【点评】
本题属于位似图形的基础题型，解题核心是牢记位似中心是位似图形对应顶点连线的交点，通过求两条直线交点的方法即可快速得到结果，也可通过直接延长连线的方法在网格中快速定位交点。
【难度系数】
0.7
13 如图,在四边形ABCD中,AD // BC,∠BAC=∠D,若AD=4,BC=10,则AC=
$2\sqrt{10}$
。答案
$2\sqrt{10}$
解析
【分析】
首先根据AD平行于BC的性质，可得内错角∠DAC=∠ACB，结合题干给出的∠BAC=∠D，可判定△DAC与△ACB相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出关于AC的比例式，代入已知边长计算即可得到AC的长度。
【解析】
解：
∵AD//BC
∴∠DAC = ∠ACB（两直线平行，内错角相等）
又
∵∠BAC = ∠D
∴△DAC ∽ △ACB（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{BC}$，即$AC^2 = AD · BC$
将AD=4，BC=10代入得：
$AC^2 = 4 × 10 = 40$
∵AC为线段长度，取正值
∴$AC = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何求线段长的典型题型，解题关键是利用平行线的性质找到相等的角，证明三角形相似，再通过相似三角形的比例关系建立等式求解，考查基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
首先根据AD平行于BC的性质，可得内错角∠DAC=∠ACB，结合题干给出的∠BAC=∠D，可判定△DAC与△ACB相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出关于AC的比例式，代入已知边长计算即可得到AC的长度。
【解析】
解：
∵AD//BC
∴∠DAC = ∠ACB（两直线平行，内错角相等）
又
∵∠BAC = ∠D
∴△DAC ∽ △ACB（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{BC}$，即$AC^2 = AD · BC$
将AD=4，BC=10代入得：
$AC^2 = 4 × 10 = 40$
∵AC为线段长度，取正值
∴$AC = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何求线段长的典型题型，解题关键是利用平行线的性质找到相等的角，证明三角形相似，再通过相似三角形的比例关系建立等式求解，考查基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
14 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$E$为$BC$上一点，过点$E$作$DE ⊥ AB$，垂足为点$D$，并交$AC$的延长线于点$F$，连接$AE$，如果$AE=6$，$CE=2$，则$\frac{CF}{BC}$的值为
$\frac{\sqrt{2}}{4}$
。答案
$\frac{\sqrt{2}}{4}$
解析
【分析】
解题时首先从已知的直角条件入手，先推导角的等量关系：由DE⊥AB和∠ACB=90°，可得∠F与∠B都和∠BAC互余，因此∠F=∠B，结合两个直角相等可证△FCE与△BCA相似，得到所求比值$\frac{CF}{BC}$等于$\frac{CE}{AC}$。再利用Rt△ACE的勾股定理求出AC的长度，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=∠ACB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADF=90°，
∴∠F + ∠BAC = 90°，
又
∵在Rt△ABC中，∠B + ∠BAC = 90°，
∴∠F = ∠B，
∴△FCE ∽ △BCA（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{CF}{BC}=\frac{CE}{AC}$，
在Rt△ACE中，∠ACE=90°，AE=6，CE=2，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AE^2 - CE^2}=\sqrt{6^2 - 2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
∴$\frac{CF}{BC}=\frac{CE}{AC}=\frac{2}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形的性质
【点评】
本题解题的核心是通过互余关系推导角相等，进而证明三角形相似，将待求的线段比转化为已知相关线段的比，再结合勾股定理计算求解，是几何中常见的比值计算类题型，需要熟练掌握相似三角形的判定方法。
【难度系数】
0.65
解题时首先从已知的直角条件入手，先推导角的等量关系：由DE⊥AB和∠ACB=90°，可得∠F与∠B都和∠BAC互余，因此∠F=∠B，结合两个直角相等可证△FCE与△BCA相似，得到所求比值$\frac{CF}{BC}$等于$\frac{CE}{AC}$。再利用Rt△ACE的勾股定理求出AC的长度，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=∠ACB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADF=90°，
∴∠F + ∠BAC = 90°，
又
∵在Rt△ABC中，∠B + ∠BAC = 90°，
∴∠F = ∠B，
∴△FCE ∽ △BCA（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{CF}{BC}=\frac{CE}{AC}$，
在Rt△ACE中，∠ACE=90°，AE=6，CE=2，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AE^2 - CE^2}=\sqrt{6^2 - 2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
∴$\frac{CF}{BC}=\frac{CE}{AC}=\frac{2}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形的性质
【点评】
本题解题的核心是通过互余关系推导角相等，进而证明三角形相似，将待求的线段比转化为已知相关线段的比，再结合勾股定理计算求解，是几何中常见的比值计算类题型，需要熟练掌握相似三角形的判定方法。
【难度系数】
0.65
