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17 某省运动会将于近期举行。如图是某大学未制作完整的三个年级省运会志愿者的统计图,请你根据图中所给信息解答下列问题。
(1) 请你求出三年级有多少名省运会志愿者,并将两幅统计图补充完整。
(2) 要求从一年级、三年级志愿者中各推荐一名队长候选人,二年级志愿者中推荐两名队长候选人,四名候选人中选出两人任队长,用列表法或树状图,求出两名队长都是二年级志愿者的概率是多少。
(1) 请你求出三年级有多少名省运会志愿者,并将两幅统计图补充完整。
(2) 要求从一年级、三年级志愿者中各推荐一名队长候选人,二年级志愿者中推荐两名队长候选人,四名候选人中选出两人任队长,用列表法或树状图,求出两名队长都是二年级志愿者的概率是多少。
答案
(1) 设三年级有x名志愿者,由题意得$x=(18+30+x)×20\%$,解得$x=12$,所以三年级有12名志愿者。
如图所示：
(2) 用A表示一年级队长候选人,B、C表示二年级队长候选人,D表示三年级队长候选人,树状图如下图所示：
从树状图可以看出,有12种等可能的结果,其中两人都是二年级志愿者的情况有两种,所以两名队长都是二年级志愿者的概率为$P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
(1) 解题时先从统计图提取信息：二年级有30名志愿者，占总人数的50%，三年级人数占总人数的20%。我们可以通过设三年级人数为未知数，根据“三年级人数=总人数×20%”的等量关系列方程求解，也可以先由二年级的人数和占比算出总人数，再乘三年级的占比得到三年级人数。得到三年级人数后，计算一年级人数的占比，即可补全两个统计图。
(2) 本题属于古典概型问题，先明确4名候选人的来源：1名来自一年级，2名来自二年级，1名来自三年级。我们可以通过画树状图列举出从4人中选2人的所有等可能结果，再统计两名队长都来自二年级的结果数，最后根据概率公式计算即可。
【解析】
(1) 设三年级有x名志愿者，三个年级志愿者总人数为$18+30+x$，根据三年级人数占总人数的20%，列方程：
$x=(18+30+x)×20\%$
解方程：
$x=9.6+0.2x$
$x-0.2x=9.6$
$0.8x=9.6$
$x=12$
经检验，$x=12$是方程的解，即三年级有12名志愿者。
总人数为$18+30+12=60$名，一年级人数占总人数的比例为$1-50\%-20\%=30\%$，据此补全两幅统计图。
(2) 用A表示一年级队长候选人，B、C表示二年级队长候选人，D表示三年级队长候选人，画树状图列举所有可能情况：
从树状图可得，从4人中选2人共有12种等可能的结果，其中两人都是二年级志愿者的情况有2种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{所求情况数}}{\mathrm{总情况数}}$，可得：
$P(\mathrm{两名队长都是二年级志愿者})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
【答案】
(1) 三年级有12名省运会志愿者，补全后的统计图如下：
(2) 两名队长都是二年级志愿者的概率为$\frac{1}{6}$，树状图如下：
【知识点】
统计图的应用、一元一次方程的应用、列举法求概率
【点评】
本题结合志愿者选拔的实际场景，综合考查统计和概率的基础知识点，既需要学生具备从统计图中提取信息、计算相关数据的能力，也需要学生熟练掌握用树状图求概率的方法，整体侧重对基础能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先从统计图提取信息：二年级有30名志愿者，占总人数的50%，三年级人数占总人数的20%。我们可以通过设三年级人数为未知数，根据“三年级人数=总人数×20%”的等量关系列方程求解，也可以先由二年级的人数和占比算出总人数，再乘三年级的占比得到三年级人数。得到三年级人数后，计算一年级人数的占比，即可补全两个统计图。
(2) 本题属于古典概型问题，先明确4名候选人的来源：1名来自一年级，2名来自二年级，1名来自三年级。我们可以通过画树状图列举出从4人中选2人的所有等可能结果，再统计两名队长都来自二年级的结果数，最后根据概率公式计算即可。
【解析】
(1) 设三年级有x名志愿者，三个年级志愿者总人数为$18+30+x$，根据三年级人数占总人数的20%，列方程：
$x=(18+30+x)×20\%$
解方程：
$x=9.6+0.2x$
$x-0.2x=9.6$
$0.8x=9.6$
$x=12$
经检验，$x=12$是方程的解，即三年级有12名志愿者。
总人数为$18+30+12=60$名，一年级人数占总人数的比例为$1-50\%-20\%=30\%$，据此补全两幅统计图。
(2) 用A表示一年级队长候选人，B、C表示二年级队长候选人，D表示三年级队长候选人，画树状图列举所有可能情况：
从树状图可得，从4人中选2人共有12种等可能的结果，其中两人都是二年级志愿者的情况有2种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{所求情况数}}{\mathrm{总情况数}}$，可得：
$P(\mathrm{两名队长都是二年级志愿者})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
【答案】
(1) 三年级有12名省运会志愿者，补全后的统计图如下：
(2) 两名队长都是二年级志愿者的概率为$\frac{1}{6}$，树状图如下：
【知识点】
统计图的应用、一元一次方程的应用、列举法求概率
【点评】
本题结合志愿者选拔的实际场景，综合考查统计和概率的基础知识点，既需要学生具备从统计图中提取信息、计算相关数据的能力，也需要学生熟练掌握用树状图求概率的方法，整体侧重对基础能力的考查。
【难度系数】
0.7
18 某商场进行促销,购物满额即可获得1次抽奖机会,抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球,从袋子中摸出1个球,红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖。
(1) 若小明获得1次抽奖机会,小明中奖是
(2) 小明观察一段时间后发现,平均每6个人中会有1人抽中一等奖,2人抽中二等奖,若袋中共有18个球,请你估算袋中白球的数量。
(3) 在(2)的条件下,如果在抽奖袋中增加三个黄球,那么抽中一等奖的概率会怎样变化?请说明理由。
(1) 若小明获得1次抽奖机会,小明中奖是
必然
事件。(填随机、必然或不可能)(2) 小明观察一段时间后发现,平均每6个人中会有1人抽中一等奖,2人抽中二等奖,若袋中共有18个球,请你估算袋中白球的数量。
(3) 在(2)的条件下,如果在抽奖袋中增加三个黄球,那么抽中一等奖的概率会怎样变化?请说明理由。
答案
(1) 必然 ［提示:因为有抽奖机会就会中奖,所以小明中奖是必然事件。］
(2) $18×\frac{6-1-2}{6}=18×\frac{1}{2}=9$。
(3) 减小,因为红色球的数量不变,但是袋子中球的总数增加了。
(2) $18×\frac{6-1-2}{6}=18×\frac{1}{2}=9$。
(3) 减小,因为红色球的数量不变,但是袋子中球的总数增加了。
解析
【分析】
(1) 先明确三类事件的定义：必然事件是一定发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件。本题中抽奖摸出的红、黄、白球都对应中奖，抽1次一定会中奖，据此判断事件类型。
(2) 本题采用频率估计概率的方法，先根据给出的平均抽奖结果算出抽中白球的频率，将其作为抽中白球的概率，再用总球数乘该概率即可估算白球数量。
(3) 根据概率计算公式$P(\mathrm{抽中一等奖})=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{总球数}}$，分析红球个数和总球数的变化，即可判断概率的变化趋势。
【解析】
(1) 抽奖时摸出的球只有红、黄、白三种，三种球均对应中奖，因此小明获得1次抽奖机会时一定会中奖，属于必然事件。
(2) 由题意可知，平均每6人中，抽中三等奖（白球）的人数为$6-1-2=3$人，因此抽中白球的频率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，用频率估计概率，可得抽中白球的概率约为$\frac{1}{2}$。
已知袋中共有18个球，因此白球的数量约为$18×\frac{1}{2}=9$个。
(3) 抽中一等奖的概率会减小。理由：原来红球数量为$18×\frac{1}{6}=3$个，增加3个黄球后，红球数量不变仍为3个，而袋中球的总数量变为$18+3=21$个，根据概率公式，分子不变、分母变大时，分数值变小，因此抽中一等奖的概率减小。
【答案】
(1) 必然
(2) 9
(3) 减小，因为红色球的数量不变，但是袋子中球的总数增加了。
【知识点】
事件的分类；用频率估计概率；概率的计算
【点评】
本题结合生活中常见的抽奖场景考查概率相关基础知识点，设问逐层递进，解题时需要准确理解事件分类的定义，熟练掌握用频率估计概率的方法，能灵活运用概率公式分析概率的变化情况。
【难度系数】
0.8
(1) 先明确三类事件的定义：必然事件是一定发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件。本题中抽奖摸出的红、黄、白球都对应中奖，抽1次一定会中奖，据此判断事件类型。
(2) 本题采用频率估计概率的方法，先根据给出的平均抽奖结果算出抽中白球的频率，将其作为抽中白球的概率，再用总球数乘该概率即可估算白球数量。
(3) 根据概率计算公式$P(\mathrm{抽中一等奖})=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{总球数}}$，分析红球个数和总球数的变化，即可判断概率的变化趋势。
【解析】
(1) 抽奖时摸出的球只有红、黄、白三种，三种球均对应中奖，因此小明获得1次抽奖机会时一定会中奖，属于必然事件。
(2) 由题意可知，平均每6人中，抽中三等奖（白球）的人数为$6-1-2=3$人，因此抽中白球的频率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，用频率估计概率，可得抽中白球的概率约为$\frac{1}{2}$。
已知袋中共有18个球，因此白球的数量约为$18×\frac{1}{2}=9$个。
(3) 抽中一等奖的概率会减小。理由：原来红球数量为$18×\frac{1}{6}=3$个，增加3个黄球后，红球数量不变仍为3个，而袋中球的总数量变为$18+3=21$个，根据概率公式，分子不变、分母变大时，分数值变小，因此抽中一等奖的概率减小。
【答案】
(1) 必然
(2) 9
(3) 减小，因为红色球的数量不变，但是袋子中球的总数增加了。
【知识点】
事件的分类；用频率估计概率；概率的计算
【点评】
本题结合生活中常见的抽奖场景考查概率相关基础知识点，设问逐层递进，解题时需要准确理解事件分类的定义，熟练掌握用频率估计概率的方法，能灵活运用概率公式分析概率的变化情况。
【难度系数】
0.8
