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2. 如图6，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM，DN.
（1）求证：四边形BMDN是菱形.
（2）若AB=4，AD=8，求MD的长.
（1）求证：四边形BMDN是菱形.
（2）若AB=4，AD=8，求MD的长.
答案
2.（1）
∵MN是BD的垂直平分线，
∴$BO = DO$，$∠ BON = ∠ DOM = 90°$ .
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD // BC$，
∴$∠ BNO = ∠ DMO$，
∴$△ BON ≌ △ DOM$（AAS），
∴$OM = ON$.
∵$OB = OD$，
∴四边形BMDN是平行四边形.
∵$MN ⊥ BD$，
∴$□ BMDN$是菱形.
（2）设$MD = x$，则$MB = x$，$MA = 8 - x$，
在$Rt △ ABM$中，
∵ $BM^2 = AM^2 + AB^2$，
∴$x^2 = (8 - x) ^2 + 4^2$，解得$x = 5$.
∴MD的长为5.
∵MN是BD的垂直平分线，
∴$BO = DO$，$∠ BON = ∠ DOM = 90°$ .
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD // BC$，
∴$∠ BNO = ∠ DMO$，
∴$△ BON ≌ △ DOM$（AAS），
∴$OM = ON$.
∵$OB = OD$，
∴四边形BMDN是平行四边形.
∵$MN ⊥ BD$，
∴$□ BMDN$是菱形.
（2）设$MD = x$，则$MB = x$，$MA = 8 - x$，
在$Rt △ ABM$中，
∵ $BM^2 = AM^2 + AB^2$，
∴$x^2 = (8 - x) ^2 + 4^2$，解得$x = 5$.
∴MD的长为5.
李村有一个呈四边形的池塘，如图7所示，在它的四个顶点A，B，C，D处各有一棵大树.李村准备将池塘改建成养鱼池，要使养鱼池的面积扩大一倍又想保持四棵大树不动，并要求扩建后的养鱼池呈平行四边形形状，请问，李村能否实现这一设想？若能，请你设计方案并画图；若不能，请说明理由.
答案
能. 连接AC，BD，过A，C分别作BD的平行线，过B，D分别作AC的平行线，四线相交形成一个平行四边形.
