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9. 如图6,点E在AC的延长线上.给出下列条件:①$∠ 1=∠ 2$;②$∠ 3=∠ 4$;③$∠ A=∠ DCE$;④$∠ D=∠ DCE$;⑤$∠ A+∠ ABD=180°$;⑥$∠ A+∠ ACD=180°$.其中能判定$AC// BD$的条件有 (
A.①③⑥
B.①④
C.②⑤
D.②④⑤
D
)A.①③⑥
B.①④
C.②⑤
D.②④⑤
答案
9.D
解析
【分析】
要判断哪些条件能判定$AC// BD$，需结合平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行），逐个分析每个条件对应的被截直线，筛选出能推出$AC$和$BD$平行的条件即可。
首先明确各角对应的被截线：
①$∠1$和$∠2$是直线$AB$、$CD$被直线$BC$所截的内错角，$∠1=∠2$可推出$AB// CD$，不符合要求；
②$∠3$和$∠4$是直线$BD$、$AC$被直线$BC$所截的内错角，$∠3=∠4$可推出$AC// BD$，符合要求；
③$∠ A$和$∠ DCE$是直线$AB$、$CD$被直线$AE$所截的同位角，$∠ A=∠ DCE$可推出$AB// CD$，不符合要求；
④$∠ D$和$∠ DCE$是直线$BD$、$AC$被直线$CD$所截的内错角，$∠ D=∠ DCE$可推出$AC// BD$，符合要求；
⑤$∠ A$和$∠ ABD$是直线$AC$、$BD$被直线$AB$所截的同旁内角，$∠ A+∠ ABD=180°$可推出$AC// BD$，符合要求；
⑥$∠ A$和$∠ ACD$是直线$AB$、$CD$被直线$AC$所截的同旁内角，$∠ A+∠ ACD=180°$可推出$AB// CD$，不符合要求。
综上，符合条件的是②④⑤。
【解析】
根据平行线的判定定理逐个判断：
1. 条件①：$∠1$与$∠2$是$AB$、$CD$被$BC$所截的内错角，$∠1=∠2\implies AB// CD$，不能判定$AC// BD$，排除；
2. 条件②：$∠3$与$∠4$是$BD$、$AC$被$BC$所截的内错角，$∠3=∠4\implies AC// BD$，符合要求；
3. 条件③：$∠ A$与$∠ DCE$是$AB$、$CD$被$AE$所截的同位角，$∠ A=∠ DCE\implies AB// CD$，不能判定$AC// BD$，排除；
4. 条件④：$∠ D$与$∠ DCE$是$BD$、$AC$被$CD$所截的内错角，$∠ D=∠ DCE\implies AC// BD$，符合要求；
5. 条件⑤：$∠ A$与$∠ ABD$是$AC$、$BD$被$AB$所截的同旁内角，$∠ A+∠ ABD=180°\implies AC// BD$，符合要求；
6. 条件⑥：$∠ A$与$∠ ACD$是$AB$、$CD$被$AC$所截的同旁内角，$∠ A+∠ ACD=180°\implies AB// CD$，不能判定$AC// BD$，排除。
因此能判定$AC// BD$的是②④⑤，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定
【点评】
本题考查平行线的判定，解题的关键是准确分辨每一组角是哪两条直线被哪条截线所形成的角，再结合判定定理判断，避免混淆被截直线导致判断错误。
【难度系数】
0.7
要判断哪些条件能判定$AC// BD$，需结合平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行），逐个分析每个条件对应的被截直线，筛选出能推出$AC$和$BD$平行的条件即可。
首先明确各角对应的被截线：
①$∠1$和$∠2$是直线$AB$、$CD$被直线$BC$所截的内错角，$∠1=∠2$可推出$AB// CD$，不符合要求；
②$∠3$和$∠4$是直线$BD$、$AC$被直线$BC$所截的内错角，$∠3=∠4$可推出$AC// BD$，符合要求；
③$∠ A$和$∠ DCE$是直线$AB$、$CD$被直线$AE$所截的同位角，$∠ A=∠ DCE$可推出$AB// CD$，不符合要求；
④$∠ D$和$∠ DCE$是直线$BD$、$AC$被直线$CD$所截的内错角，$∠ D=∠ DCE$可推出$AC// BD$，符合要求；
⑤$∠ A$和$∠ ABD$是直线$AC$、$BD$被直线$AB$所截的同旁内角，$∠ A+∠ ABD=180°$可推出$AC// BD$，符合要求；
⑥$∠ A$和$∠ ACD$是直线$AB$、$CD$被直线$AC$所截的同旁内角，$∠ A+∠ ACD=180°$可推出$AB// CD$，不符合要求。
综上，符合条件的是②④⑤。
【解析】
根据平行线的判定定理逐个判断：
1. 条件①：$∠1$与$∠2$是$AB$、$CD$被$BC$所截的内错角，$∠1=∠2\implies AB// CD$，不能判定$AC// BD$，排除；
2. 条件②：$∠3$与$∠4$是$BD$、$AC$被$BC$所截的内错角，$∠3=∠4\implies AC// BD$，符合要求；
3. 条件③：$∠ A$与$∠ DCE$是$AB$、$CD$被$AE$所截的同位角，$∠ A=∠ DCE\implies AB// CD$，不能判定$AC// BD$，排除；
4. 条件④：$∠ D$与$∠ DCE$是$BD$、$AC$被$CD$所截的内错角，$∠ D=∠ DCE\implies AC// BD$，符合要求；
5. 条件⑤：$∠ A$与$∠ ABD$是$AC$、$BD$被$AB$所截的同旁内角，$∠ A+∠ ABD=180°\implies AC// BD$，符合要求；
6. 条件⑥：$∠ A$与$∠ ACD$是$AB$、$CD$被$AC$所截的同旁内角，$∠ A+∠ ACD=180°\implies AB// CD$，不能判定$AC// BD$，排除。
因此能判定$AC// BD$的是②④⑤，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定
【点评】
本题考查平行线的判定，解题的关键是准确分辨每一组角是哪两条直线被哪条截线所形成的角，再结合判定定理判断，避免混淆被截直线导致判断错误。
【难度系数】
0.7
10.如图7，将一张宽度相同的纸条折叠，若∠ABC=120°，则∠1的度数为
60°
。答案
10.$60°$
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心条件：一是纸条对边互相平行，可应用平行线的性质推导角的关系；二是折叠前后重合的角度数相等。首先根据两直线平行、内错角相等，得到∠ABC与折叠后在C点形成的两个相等角的和相等，再结合折叠角相等的性质，即可计算出∠1的度数。
【解析】
∵ 宽度相同的纸条对边互相平行
∴ 根据“两直线平行，内错角相等”，可得折叠后以C为顶点、∠1两侧的两个角的和等于∠ABC=120°
又
∵ 折叠前后对应角相等，这两个角都和∠1相等
∴ 2∠1=120°
∴ ∠1=120°÷2=60°
【答案】
60°
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质
【点评】
本题结合生活中的纸条折叠场景，考查平行线性质与图形折叠性质的综合运用，解题的关键是准确找到平行线对应的相等角以及折叠后重合的角。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确两个核心条件：一是纸条对边互相平行，可应用平行线的性质推导角的关系；二是折叠前后重合的角度数相等。首先根据两直线平行、内错角相等，得到∠ABC与折叠后在C点形成的两个相等角的和相等，再结合折叠角相等的性质，即可计算出∠1的度数。
【解析】
∵ 宽度相同的纸条对边互相平行
∴ 根据“两直线平行，内错角相等”，可得折叠后以C为顶点、∠1两侧的两个角的和等于∠ABC=120°
又
∵ 折叠前后对应角相等，这两个角都和∠1相等
∴ 2∠1=120°
∴ ∠1=120°÷2=60°
【答案】
60°
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质
【点评】
本题结合生活中的纸条折叠场景，考查平行线性质与图形折叠性质的综合运用，解题的关键是准确找到平行线对应的相等角以及折叠后重合的角。
【难度系数】
0.7
11.如图8，村庄A要从河流l引水入庄，需修筑一水渠，请你画出修筑水渠的最短路线图。
答案
解：根据垂线段最短的性质，过点A作AO⊥直线l，垂足为O，线段AO即为修筑水渠的最短路线。
解析
【分析】
要解决从村庄A到河流l修筑最短水渠的问题，本质是求点A到直线l的最短连线。我们已学过点到直线的所有连线中，垂线段的长度最短，因此解题方向就是过点A作出直线l的垂线段，这条垂线段就是所求的最短路线。
【解析】
根据“垂线段最短”的性质作图，步骤如下：
1. 把三角板的一条直角边与直线l重合；
2. 沿直线l平移三角板，使三角板的另一条直角边经过点A；
3. 过点A沿着该直角边向直线l画线段，与直线l的交点记为垂足O，得到的线段AO就是修筑水渠的最短路线。
【答案】
过点A作AO⊥直线l，垂足为O，线段AO即为修筑水渠的最短路线。
【知识点】
垂线段最短；垂线的画法
【点评】
本题是几何性质在实际生活中的典型应用，解题关键是明确点到直线的连线中垂线段最短，结合规范的垂线作图方法即可解决问题，体现了数学知识的实用性。
【难度系数】
0.9
要解决从村庄A到河流l修筑最短水渠的问题，本质是求点A到直线l的最短连线。我们已学过点到直线的所有连线中，垂线段的长度最短，因此解题方向就是过点A作出直线l的垂线段，这条垂线段就是所求的最短路线。
【解析】
根据“垂线段最短”的性质作图，步骤如下：
1. 把三角板的一条直角边与直线l重合；
2. 沿直线l平移三角板，使三角板的另一条直角边经过点A；
3. 过点A沿着该直角边向直线l画线段，与直线l的交点记为垂足O，得到的线段AO就是修筑水渠的最短路线。
【答案】
过点A作AO⊥直线l，垂足为O，线段AO即为修筑水渠的最短路线。
【知识点】
垂线段最短；垂线的画法
【点评】
本题是几何性质在实际生活中的典型应用，解题关键是明确点到直线的连线中垂线段最短，结合规范的垂线作图方法即可解决问题，体现了数学知识的实用性。
【难度系数】
0.9
12.如图9,已知∠1=72°,∠2=108°,∠C=∠D.求证:
(1)$BD// CE$;
(2)$∠A=∠F$.
(1)$BD// CE$;
(2)$∠A=∠F$.
答案
证明：
(1) 已知∠1=72°，∠2=108°，
∴ ∠1 + ∠2 = 72° + 108° = 180°，
根据同旁内角互补，两直线平行，可得BD//CE。
(2) ∵ BD//CE，
∴ ∠D = ∠CEF（两直线平行，同位角相等），
又∵ ∠C = ∠D，
∴ ∠C = ∠CEF，
∴ AC//DF（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠A = ∠F（两直线平行，内错角相等）。
(1) 已知∠1=72°，∠2=108°，
∴ ∠1 + ∠2 = 72° + 108° = 180°，
根据同旁内角互补，两直线平行，可得BD//CE。
(2) ∵ BD//CE，
∴ ∠D = ∠CEF（两直线平行，同位角相等），
又∵ ∠C = ∠D，
∴ ∠C = ∠CEF，
∴ AC//DF（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠A = ∠F（两直线平行，内错角相等）。
解析
【分析】
(1) 要证BD//CE，可借助平行线的判定定理推导。已知∠1和∠2的度数，先计算两角的和，若两角和为180°，说明二者是互补的同旁内角，即可推出两条直线平行。
(2) 要证∠A=∠F，需先证AC//DF，因为两直线平行时内错角相等，可推出这两个角相等。首先利用(1)中得到的BD//CE的结论，结合平行线的性质得到∠D和∠CEF的相等关系，再结合已知∠C=∠D，等量代换后得到内错角∠C=∠CEF，即可判定AC//DF，最终推出∠A=∠F。
【解析】
(1) 已知∠1=72°，∠2=108°，
∴ ∠1 + ∠2 = 72° + 108° = 180°，
根据同旁内角互补，两直线平行，可得BD//CE。
(2)
∵ BD//CE，
∴ ∠D = ∠CEF（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠C = ∠D，
∴ ∠C = ∠CEF，
∴ AC//DF（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠A = ∠F（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
证明成立，过程如上。
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题是平行线相关定理的基础综合题，解题的核心是区分平行线的判定和性质：判定是通过角的数量关系判断直线的位置关系，性质是通过直线的平行关系推导角的数量关系，梳理清楚逻辑推导顺序即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 要证BD//CE，可借助平行线的判定定理推导。已知∠1和∠2的度数，先计算两角的和，若两角和为180°，说明二者是互补的同旁内角，即可推出两条直线平行。
(2) 要证∠A=∠F，需先证AC//DF，因为两直线平行时内错角相等，可推出这两个角相等。首先利用(1)中得到的BD//CE的结论，结合平行线的性质得到∠D和∠CEF的相等关系，再结合已知∠C=∠D，等量代换后得到内错角∠C=∠CEF，即可判定AC//DF，最终推出∠A=∠F。
【解析】
(1) 已知∠1=72°，∠2=108°，
∴ ∠1 + ∠2 = 72° + 108° = 180°，
根据同旁内角互补，两直线平行，可得BD//CE。
(2)
∵ BD//CE，
∴ ∠D = ∠CEF（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠C = ∠D，
∴ ∠C = ∠CEF，
∴ AC//DF（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠A = ∠F（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
证明成立，过程如上。
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题是平行线相关定理的基础综合题，解题的核心是区分平行线的判定和性质：判定是通过角的数量关系判断直线的位置关系，性质是通过直线的平行关系推导角的数量关系，梳理清楚逻辑推导顺序即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
13. 如图10，直线$a,b,c$被直线$m$所截，量得$∠1=∠2=∠3$.
(1)$a$与$c$平行吗？为什么？$∠1$与$∠4$有什么关系？
(2)$b$与$c$平行吗？为什么？$∠2$与$∠4$有什么关系？
(1)$a$与$c$平行吗？为什么？$∠1$与$∠4$有什么关系？
(2)$b$与$c$平行吗？为什么？$∠2$与$∠4$有什么关系？
答案
13.(1)$a// c$；内错角相等，两直线平行；$∠1$和$∠4$互补.
(2)$b// c$；内错角相等，两直线平行；$∠2$和$∠4$互补.
(2)$b// c$；内错角相等，两直线平行；$∠2$和$∠4$互补.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 判断两直线是否平行，可结合平行线的判定定理推导：首先观察已知$∠1=∠2=∠3$，先识别角的位置关系：$∠1$和$∠2$是直线a、b被m截得的内错角，相等可推出$a// b$；$∠2$和$∠3$是直线b、c被m截得的内错角，相等可推出$b// c$，再根据平行公理的推论即可得到a和c的平行关系。2. 探究角的数量关系时，先观察到$∠3$和$∠4$是邻补角，和为$180°$，结合已知角相等的条件等量代换，就能得到$∠1$、$∠2$分别和$∠4$的关系。
【解析】
(1) $a// c$，推导过程：
已知$∠ 1=∠ 2$，$∠1$和$∠2$是直线a、b被直线m所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$a// b$；
又已知$∠ 2=∠ 3$，$∠2$和$∠3$是直线b、c被直线m所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$b// c$；
根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，因此$a// c$。
角的关系推导：$∠3$和$∠4$是邻补角，根据邻补角定义可得$∠ 3+∠ 4=180°$，结合已知$∠1=∠3$，等量代换得$∠ 1+∠ 4=180°$，即$∠1$和$∠4$互补。
(2) $b// c$，推导过程：
已知$∠ 2=∠ 3$，$∠2$和$∠3$是直线b、c被直线m所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$b// c$。
角的关系推导：$∠3$和$∠4$是邻补角，可得$∠ 3+∠ 4=180°$，结合已知$∠2=∠3$，等量代换得$∠ 2+∠ 4=180°$，即$∠2$和$∠4$互补。
【答案】
(1)$a// c$；内错角相等，两直线平行；$∠1$和$∠4$互补.
(2)$b// c$；内错角相等，两直线平行；$∠2$和$∠4$互补.
【知识点】
平行线的判定；平行公理推论；邻补角的性质
【点评】
本题是平行线相关的基础题型，重点考查三线八角中内错角的识别能力，以及平行线判定定理、邻补角性质的应用能力，解题时找准角的位置关系，结合已知条件逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 判断两直线是否平行，可结合平行线的判定定理推导：首先观察已知$∠1=∠2=∠3$，先识别角的位置关系：$∠1$和$∠2$是直线a、b被m截得的内错角，相等可推出$a// b$；$∠2$和$∠3$是直线b、c被m截得的内错角，相等可推出$b// c$，再根据平行公理的推论即可得到a和c的平行关系。2. 探究角的数量关系时，先观察到$∠3$和$∠4$是邻补角，和为$180°$，结合已知角相等的条件等量代换，就能得到$∠1$、$∠2$分别和$∠4$的关系。
【解析】
(1) $a// c$，推导过程：
已知$∠ 1=∠ 2$，$∠1$和$∠2$是直线a、b被直线m所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$a// b$；
又已知$∠ 2=∠ 3$，$∠2$和$∠3$是直线b、c被直线m所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$b// c$；
根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，因此$a// c$。
角的关系推导：$∠3$和$∠4$是邻补角，根据邻补角定义可得$∠ 3+∠ 4=180°$，结合已知$∠1=∠3$，等量代换得$∠ 1+∠ 4=180°$，即$∠1$和$∠4$互补。
(2) $b// c$，推导过程：
已知$∠ 2=∠ 3$，$∠2$和$∠3$是直线b、c被直线m所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$b// c$。
角的关系推导：$∠3$和$∠4$是邻补角，可得$∠ 3+∠ 4=180°$，结合已知$∠2=∠3$，等量代换得$∠ 2+∠ 4=180°$，即$∠2$和$∠4$互补。
【答案】
(1)$a// c$；内错角相等，两直线平行；$∠1$和$∠4$互补.
(2)$b// c$；内错角相等，两直线平行；$∠2$和$∠4$互补.
【知识点】
平行线的判定；平行公理推论；邻补角的性质
【点评】
本题是平行线相关的基础题型，重点考查三线八角中内错角的识别能力，以及平行线判定定理、邻补角性质的应用能力，解题时找准角的位置关系，结合已知条件逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
14. 如图11，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB.
(1)若∠EOC：∠COA=7：3，求∠BOD的度数；
(2)从点O出发，在∠AOD内部引射线OF，若∠AOC与∠EOF互补，则OD与OF有什么位置关系？说明理由.
(1)若∠EOC：∠COA=7：3，求∠BOD的度数；
(2)从点O出发，在∠AOD内部引射线OF，若∠AOC与∠EOF互补，则OD与OF有什么位置关系？说明理由.
答案
14.(1)$∠ BOD=27°$
(2)$OD⊥ OF$,理由略.
(2)$OD⊥ OF$,理由略.
解析
【分析】
(1) 首先根据OE⊥AB可得∠EOA=90°，∠EOC与∠COA的和恰好等于∠EOA，结合两角的比例关系先求出∠COA的度数，再利用对顶角相等的性质即可求出∠BOD的度数。
(2) 判断OD与OF的位置关系只需验证∠DOF是否为90°。先根据互补的定义得到∠AOC与∠EOF的和为180°，再结合OE⊥AB得到的直角，推导角的和差关系，求出∠DOF的度数即可得出结论。
【解析】
(1) 解：
∵OE⊥AB，
∴$∠ EOA=90°$，即$∠ EOC+∠ COA=90°$。
已知$∠ EOC:∠ COA=7:3$，设$∠ EOC=7x$，$∠ COA=3x$，
则$7x+3x=90°$，解得$x=9°$，
∴$∠ COA=3×9°=27°$。
∵直线AB、CD交于点O，∠BOD与∠COA是对顶角，
∴$∠ BOD=∠ COA=27°$。
(2) $OD⊥ OF$，理由如下：
∵∠AOC与∠EOF互补，
∴$∠ AOC+∠ EOF=180°$。
∵OE⊥AB，
∴$∠ EOA=90°$，且$∠ EOF=∠ EOA+∠ AOF=90°+∠ AOF$，
代入上式得：$∠ AOC+90°+∠ AOF=180°$，
∴$∠ AOC+∠ AOF=90°$。
又
∵对顶角相等，$∠ BOD=∠ AOC$，且$∠ BOD+∠ DOF+∠ AOF=180°$（平角的定义），
∴$∠ DOF=180°-(∠ BOD+∠ AOF)=180°-(∠ AOC+∠ AOF)=180°-90°=90°$，
∴$OD⊥ OF$。
【答案】
(1) $∠ BOD=27°$
(2) $OD⊥ OF$
【知识点】
对顶角相等，垂直的判定，补角的定义
【点评】
本题属于相交线的基础应用题，解题核心是结合图形梳理角的和差关系，熟练运用对顶角、垂直、互补的性质进行推导计算。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据OE⊥AB可得∠EOA=90°，∠EOC与∠COA的和恰好等于∠EOA，结合两角的比例关系先求出∠COA的度数，再利用对顶角相等的性质即可求出∠BOD的度数。
(2) 判断OD与OF的位置关系只需验证∠DOF是否为90°。先根据互补的定义得到∠AOC与∠EOF的和为180°，再结合OE⊥AB得到的直角，推导角的和差关系，求出∠DOF的度数即可得出结论。
【解析】
(1) 解：
∵OE⊥AB，
∴$∠ EOA=90°$，即$∠ EOC+∠ COA=90°$。
已知$∠ EOC:∠ COA=7:3$，设$∠ EOC=7x$，$∠ COA=3x$，
则$7x+3x=90°$，解得$x=9°$，
∴$∠ COA=3×9°=27°$。
∵直线AB、CD交于点O，∠BOD与∠COA是对顶角，
∴$∠ BOD=∠ COA=27°$。
(2) $OD⊥ OF$，理由如下：
∵∠AOC与∠EOF互补，
∴$∠ AOC+∠ EOF=180°$。
∵OE⊥AB，
∴$∠ EOA=90°$，且$∠ EOF=∠ EOA+∠ AOF=90°+∠ AOF$，
代入上式得：$∠ AOC+90°+∠ AOF=180°$，
∴$∠ AOC+∠ AOF=90°$。
又
∵对顶角相等，$∠ BOD=∠ AOC$，且$∠ BOD+∠ DOF+∠ AOF=180°$（平角的定义），
∴$∠ DOF=180°-(∠ BOD+∠ AOF)=180°-(∠ AOC+∠ AOF)=180°-90°=90°$，
∴$OD⊥ OF$。
【答案】
(1) $∠ BOD=27°$
(2) $OD⊥ OF$
【知识点】
对顶角相等，垂直的判定，补角的定义
【点评】
本题属于相交线的基础应用题，解题核心是结合图形梳理角的和差关系，熟练运用对顶角、垂直、互补的性质进行推导计算。
【难度系数】
0.7
