登录
8.如图7，直线a,b,c相交于点O，∠1=2∠2，∠3−∠1=30°，则∠4的度数是（
A.30°
B.15°
C.20°
D.60°
A
）A.30°
B.15°
C.20°
D.60°
答案
8.A
解析
【分析】
解题时先观察图形，三条直线交于同一点，首先明确∠1、∠2、∠3组成平角，和为180°，且∠4和∠2是对顶角，二者相等。我们可以通过设未知数的方法，把已知的角度关系转化为方程求解：先设∠2的度数为x，根据∠1和∠2的关系、∠3和∠1的关系分别用含x的式子表示∠1和∠3，再利用三个角的和是180°列方程求出x，最后根据对顶角相等得到∠4的度数。
【解析】
设∠2=x，
∵∠1=2∠2，
∴∠1=2x，
又
∵∠3−∠1=30°，
∴∠3=∠1+30°=2x+30°，
∵∠1、∠2、∠3组成平角，
∴∠1+∠2+∠3=180°，
代入得：$2x + x + (2x+30°) = 180°$，
合并同类项得：$5x + 30° = 180°$，
解得：$x=30°$，即∠2=30°，
∵∠4与∠2是对顶角，根据对顶角相等，
∴∠4=∠2=30°。
【答案】
A
【知识点】
对顶角的性质，平角的定义，角度计算
【点评】
本题属于基础的相交线角度计算题，解题的关键是找准图中角的和差关系、对顶角相等的性质，结合方程思想求解角度，这类题型是几何角度计算的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形，三条直线交于同一点，首先明确∠1、∠2、∠3组成平角，和为180°，且∠4和∠2是对顶角，二者相等。我们可以通过设未知数的方法，把已知的角度关系转化为方程求解：先设∠2的度数为x，根据∠1和∠2的关系、∠3和∠1的关系分别用含x的式子表示∠1和∠3，再利用三个角的和是180°列方程求出x，最后根据对顶角相等得到∠4的度数。
【解析】
设∠2=x，
∵∠1=2∠2，
∴∠1=2x，
又
∵∠3−∠1=30°，
∴∠3=∠1+30°=2x+30°，
∵∠1、∠2、∠3组成平角，
∴∠1+∠2+∠3=180°，
代入得：$2x + x + (2x+30°) = 180°$，
合并同类项得：$5x + 30° = 180°$，
解得：$x=30°$，即∠2=30°，
∵∠4与∠2是对顶角，根据对顶角相等，
∴∠4=∠2=30°。
【答案】
A
【知识点】
对顶角的性质，平角的定义，角度计算
【点评】
本题属于基础的相交线角度计算题，解题的关键是找准图中角的和差关系、对顶角相等的性质，结合方程思想求解角度，这类题型是几何角度计算的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
9.如图8,有以下四种说法:①∠1和∠4是同位角;②∠3和∠5是内错角;③∠2和∠6是同旁内角;④∠2和∠5是同位角.其中正确的说法有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
图8 图9
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
图8 图9
答案
9.C
解析
【分析】
解决本题的核心是熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义，解题时先明确三类角的位置特征：同位角呈“F”型，在截线同旁、被截两直线同侧；内错角呈“Z”型，在截线两侧、被截两直线之间；同旁内角呈“U”型，在截线同旁、被截两直线之间。再逐一判断4个说法是否符合对应角的特征即可。
【解析】
我们根据三类角的定义逐一判断：
①∠1和∠4在截线的同侧，且位于两条被截直线的同一方，符合同位角的特征，说法正确；
②∠3和∠5在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，符合内错角的特征，说法正确；
③∠2和∠6在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，属于内错角，不是同旁内角，说法错误；
④∠2和∠5在截线的同侧，且位于两条被截直线的同一方，符合同位角的特征，说法正确。
综上，正确的说法有①②④，共3个，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
同位角；内错角；同旁内角
【点评】
本题是三线八角的基础识别题，解题的关键是准确找到两个角对应的截线和被截线，结合三类角的形状特征可以快速判断，避免混淆。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义，解题时先明确三类角的位置特征：同位角呈“F”型，在截线同旁、被截两直线同侧；内错角呈“Z”型，在截线两侧、被截两直线之间；同旁内角呈“U”型，在截线同旁、被截两直线之间。再逐一判断4个说法是否符合对应角的特征即可。
【解析】
我们根据三类角的定义逐一判断：
①∠1和∠4在截线的同侧，且位于两条被截直线的同一方，符合同位角的特征，说法正确；
②∠3和∠5在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，符合内错角的特征，说法正确；
③∠2和∠6在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，属于内错角，不是同旁内角，说法错误；
④∠2和∠5在截线的同侧，且位于两条被截直线的同一方，符合同位角的特征，说法正确。
综上，正确的说法有①②④，共3个，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
同位角；内错角；同旁内角
【点评】
本题是三线八角的基础识别题，解题的关键是准确找到两个角对应的截线和被截线，结合三类角的形状特征可以快速判断，避免混淆。
【难度系数】
0.7
10.如图9,若$OE⊥AB,∠2$比$∠1$大$60°$,则$∠AOC$的度数为
$15°$
,$∠BOC$的度数为$165°$
.答案
10.$15°\quad 165°$
解析
【分析】
解题首先梳理已知条件的关联：由OE⊥AB，根据垂直的定义可得∠1与∠2的和为90°；结合题目给出的∠2比∠1大60°的条件，可通过两角的和差关系求出∠1的度数。之后，∠AOC与∠1是对顶角，根据对顶角相等的性质就能得到∠AOC的度数；最后∠BOC与∠AOC互为邻补角，二者和为180°，用180°减去∠AOC的度数即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵OE⊥AB，
∴∠BOE=90°，即∠1 + ∠2 = 90° ①，
由题意得∠2 - ∠1 = 60° ②，
将②变形为∠2 = ∠1 + 60°代入①：
∠1 + ∠1 + 60° = 90°，
2∠1 = 30°，
解得∠1 = 15°。
∵∠AOC与∠1是对顶角，
∴∠AOC = ∠1 = 15°。
∵∠BOC与∠AOC互为邻补角，
∴∠BOC = 180° - ∠AOC = 180° - 15° = 165°。
【答案】
$15°$；$165°$
【知识点】
垂直的定义；对顶角的性质；邻补角的性质
【点评】
本题是相交线相关的基础常考题，核心是结合角的位置关系挖掘隐含的数量关系，再联立已知的角的和差条件求解，解题时要注意准确识别对顶角、邻补角，避免混淆角的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题首先梳理已知条件的关联：由OE⊥AB，根据垂直的定义可得∠1与∠2的和为90°；结合题目给出的∠2比∠1大60°的条件，可通过两角的和差关系求出∠1的度数。之后，∠AOC与∠1是对顶角，根据对顶角相等的性质就能得到∠AOC的度数；最后∠BOC与∠AOC互为邻补角，二者和为180°，用180°减去∠AOC的度数即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵OE⊥AB，
∴∠BOE=90°，即∠1 + ∠2 = 90° ①，
由题意得∠2 - ∠1 = 60° ②，
将②变形为∠2 = ∠1 + 60°代入①：
∠1 + ∠1 + 60° = 90°，
2∠1 = 30°，
解得∠1 = 15°。
∵∠AOC与∠1是对顶角，
∴∠AOC = ∠1 = 15°。
∵∠BOC与∠AOC互为邻补角，
∴∠BOC = 180° - ∠AOC = 180° - 15° = 165°。
【答案】
$15°$；$165°$
【知识点】
垂直的定义；对顶角的性质；邻补角的性质
【点评】
本题是相交线相关的基础常考题，核心是结合角的位置关系挖掘隐含的数量关系，再联立已知的角的和差条件求解，解题时要注意准确识别对顶角、邻补角，避免混淆角的对应关系。
【难度系数】
0.8
11. 如图10，已知 $DE ⊥ AC$，$∠ AGF = ∠ ABC$，$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由。
答案
11.$BF⊥ AC$,理由略.
解析
【分析】
要判断BF与AC的位置关系，已知DE⊥AC，可先尝试证明BF与DE平行，进而推导BF和AC的垂直关系：首先观察到∠AGF和∠ABC是同位角，由二者相等可判定FG//BC，得到内错角∠1=∠3；再结合∠1+∠2=180°，等量代换后得到∠3+∠2=180°，可判定DE//BF；最后结合DE垂直AC的条件，由平行线的性质即可推出BF垂直AC。
【解析】
$BF ⊥ AC$，理由如下：
1. $\because ∠ AGF = ∠ ABC$（已知）
$\therefore FG // BC$（同位角相等，两直线平行）
$\therefore ∠ 1 = ∠ 3$（两直线平行，内错角相等）
2. $\because ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$（已知）
$\therefore ∠ 3 + ∠ 2 = 180°$（等量代换）
$\therefore DE // BF$（同旁内角互补，两直线平行）
3. $\because DE ⊥ AC$（已知）
$\therefore ∠ DEC = 90°$（垂直的定义）
$\therefore ∠ BFC = ∠ DEC = 90°$（两直线平行，同位角相等）
$\therefore BF ⊥ AC$（垂直的定义）
【答案】
$BF ⊥ AC$
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、垂直的定义
【点评】
本题是平面几何基础题型，重点考察平行线判定与性质的综合应用，要求学生能根据已知角的关系推导直线的位置关系，再由直线平行推导新的角的关系，对培养几何逻辑推理能力有很好的训练作用。
【难度系数】
0.7
要判断BF与AC的位置关系，已知DE⊥AC，可先尝试证明BF与DE平行，进而推导BF和AC的垂直关系：首先观察到∠AGF和∠ABC是同位角，由二者相等可判定FG//BC，得到内错角∠1=∠3；再结合∠1+∠2=180°，等量代换后得到∠3+∠2=180°，可判定DE//BF；最后结合DE垂直AC的条件，由平行线的性质即可推出BF垂直AC。
【解析】
$BF ⊥ AC$，理由如下：
1. $\because ∠ AGF = ∠ ABC$（已知）
$\therefore FG // BC$（同位角相等，两直线平行）
$\therefore ∠ 1 = ∠ 3$（两直线平行，内错角相等）
2. $\because ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$（已知）
$\therefore ∠ 3 + ∠ 2 = 180°$（等量代换）
$\therefore DE // BF$（同旁内角互补，两直线平行）
3. $\because DE ⊥ AC$（已知）
$\therefore ∠ DEC = 90°$（垂直的定义）
$\therefore ∠ BFC = ∠ DEC = 90°$（两直线平行，同位角相等）
$\therefore BF ⊥ AC$（垂直的定义）
【答案】
$BF ⊥ AC$
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、垂直的定义
【点评】
本题是平面几何基础题型，重点考察平行线判定与性质的综合应用，要求学生能根据已知角的关系推导直线的位置关系，再由直线平行推导新的角的关系，对培养几何逻辑推理能力有很好的训练作用。
【难度系数】
0.7
12. 如图11，∠1=∠C，BE⊥DF于点P。
(1)若∠2=55°，求∠B的度数；
(2)若∠2+∠D=90°，求证：AB//CD。
图11
(1)若∠2=55°，求∠B的度数；
(2)若∠2+∠D=90°，求证：AB//CD。
图11答案
12.(1)$∠ B=55°$ (2)略
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先利用已知∠1=∠C，根据同位角相等两直线平行判定CF//BE，再根据平行线的同位角相等的性质，得到∠B与∠2相等，代入∠2的度数即可求出∠B的大小。
(2) 解题思路：要证明AB//CD，可通过证明同位角∠2=∠C实现。首先由BE⊥DF可得直角，推出∠1和∠D互余，结合已知∠2和∠D互余，利用同角的余角相等得到∠1=∠2，再结合已知∠1=∠C，等量代换得到∠2=∠C，即可判定AB//CD。
【解析】
(1) 解：
∵ $∠ 1 = ∠ C$（已知）
∴ $CF // BE$（同位角相等，两直线平行）
∴ $∠ B = ∠ 2$（两直线平行，同位角相等）
又
∵ $∠ 2 = 55°$（已知）
∴ $∠ B = 55°$
(2) 证明：
∵ $BE ⊥ DF$（已知）
∴ $∠ DPE = 90°$（垂直的定义）
∴ $∠ 1 + ∠ D = 90°$（直角三角形两锐角互余）
又
∵ $∠ 2 + ∠ D = 90°$（已知）
∴ $∠ 1 = ∠ 2$（同角的余角相等）
∵ $∠ 1 = ∠ C$（已知）
∴ $∠ 2 = ∠ C$（等量代换）
∴ $AB // CD$（同位角相等，两直线平行）
【答案】
(1) $∠ B=55°$
(2) 证明成立，过程如上
【知识点】
平行线的判定与性质、余角的性质、垂直的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，主要考查平行线的相关定理和余角的性质，解题时需要准确识别同位角等位置关系，合理进行角的等量转化，有助于巩固平行线的判定和性质的应用，培养几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：首先利用已知∠1=∠C，根据同位角相等两直线平行判定CF//BE，再根据平行线的同位角相等的性质，得到∠B与∠2相等，代入∠2的度数即可求出∠B的大小。
(2) 解题思路：要证明AB//CD，可通过证明同位角∠2=∠C实现。首先由BE⊥DF可得直角，推出∠1和∠D互余，结合已知∠2和∠D互余，利用同角的余角相等得到∠1=∠2，再结合已知∠1=∠C，等量代换得到∠2=∠C，即可判定AB//CD。
【解析】
(1) 解：
∵ $∠ 1 = ∠ C$（已知）
∴ $CF // BE$（同位角相等，两直线平行）
∴ $∠ B = ∠ 2$（两直线平行，同位角相等）
又
∵ $∠ 2 = 55°$（已知）
∴ $∠ B = 55°$
(2) 证明：
∵ $BE ⊥ DF$（已知）
∴ $∠ DPE = 90°$（垂直的定义）
∴ $∠ 1 + ∠ D = 90°$（直角三角形两锐角互余）
又
∵ $∠ 2 + ∠ D = 90°$（已知）
∴ $∠ 1 = ∠ 2$（同角的余角相等）
∵ $∠ 1 = ∠ C$（已知）
∴ $∠ 2 = ∠ C$（等量代换）
∴ $AB // CD$（同位角相等，两直线平行）
【答案】
(1) $∠ B=55°$
(2) 证明成立，过程如上
【知识点】
平行线的判定与性质、余角的性质、垂直的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，主要考查平行线的相关定理和余角的性质，解题时需要准确识别同位角等位置关系，合理进行角的等量转化，有助于巩固平行线的判定和性质的应用，培养几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
13.如图12，直线$AB// CD$，M，N分别在直线AB，CD上，MB平分$∠ FME$，NE平分$∠ FND$，且$2∠ E+∠ F=174°$，求$∠ FME$的度数.
答案
13.$∠ FME=116°$
解析
【分析】
本题是平行线与角平分线结合的拐点类问题，解题思路如下：第一步，利用角平分线的定义，设出相关角的度数，将所求∠FME用含参数的式子表示；第二步，过两个拐点E、F分别作AB的平行线，根据平行公理的推论可得所作辅助线也平行于CD，再利用平行线内错角相等的性质，分别把∠E和∠F用刚才设的参数表示；第三步，结合已知条件2∠E+∠F=174°，代入后无关参数会消元，即可求出参数的值，进而得到∠FME的度数。
【解析】
解：设∠BME=α，∠END=β。
∵ MB平分∠FME，
∴ ∠FMB=∠BME=α，∠FME=2α。
∵ NE平分∠FND，
∴ ∠FNE=∠END=β，∠FND=2β。
过点E作EG//AB，
∵ AB//CD，
∴ EG//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴ ∠BME=∠MEG=α，∠END=∠NEG=β（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠MEN=∠MEG + ∠NEG=α+β，即∠E=α+β。
过点F作FH//AB，同理可得FH//CD，
∴ ∠BMF=∠MFH=α，∠FND=∠HFN=2β（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠MFN=∠MFH - ∠HFN=α - 2β，即∠F=α - 2β。
将∠E=α+β、∠F=α - 2β代入2∠E + ∠F=174°，得：
2(α+β)+(α-2β)=174°，
化简得3α=174°，
解得α=58°，
∴ ∠FME=2α=2×58°=116°。
【答案】
∠FME=116°
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，平行公理推论
【点评】
本题是平行线与角平分线结合的常见题型，核心考查辅助线的作法和角的转化能力，通过作平行线将拐点处的角拆分为两组内错角，再结合角平分线的性质消去无关参数，即可快速求解，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题是平行线与角平分线结合的拐点类问题，解题思路如下：第一步，利用角平分线的定义，设出相关角的度数，将所求∠FME用含参数的式子表示；第二步，过两个拐点E、F分别作AB的平行线，根据平行公理的推论可得所作辅助线也平行于CD，再利用平行线内错角相等的性质，分别把∠E和∠F用刚才设的参数表示；第三步，结合已知条件2∠E+∠F=174°，代入后无关参数会消元，即可求出参数的值，进而得到∠FME的度数。
【解析】
解：设∠BME=α，∠END=β。
∵ MB平分∠FME，
∴ ∠FMB=∠BME=α，∠FME=2α。
∵ NE平分∠FND，
∴ ∠FNE=∠END=β，∠FND=2β。
过点E作EG//AB，
∵ AB//CD，
∴ EG//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴ ∠BME=∠MEG=α，∠END=∠NEG=β（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠MEN=∠MEG + ∠NEG=α+β，即∠E=α+β。
过点F作FH//AB，同理可得FH//CD，
∴ ∠BMF=∠MFH=α，∠FND=∠HFN=2β（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠MFN=∠MFH - ∠HFN=α - 2β，即∠F=α - 2β。
将∠E=α+β、∠F=α - 2β代入2∠E + ∠F=174°，得：
2(α+β)+(α-2β)=174°，
化简得3α=174°，
解得α=58°，
∴ ∠FME=2α=2×58°=116°。
【答案】
∠FME=116°
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，平行公理推论
【点评】
本题是平行线与角平分线结合的常见题型，核心考查辅助线的作法和角的转化能力，通过作平行线将拐点处的角拆分为两组内错角，再结合角平分线的性质消去无关参数，即可快速求解，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
