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1. 一个多边形的内角和不可能是(
A.1 800°
B.540°
C.720°
D.810°
D
)A.1 800°
B.540°
C.720°
D.810°
答案
1.D
解析
【分析】
解题的核心是运用多边形内角和公式的特征：n边形（n为不小于3的正整数）的内角和为(n-2)×180°，因此任意多边形的内角和一定是180°的整数倍。解题时只需逐一验证各选项是否为180°的整数倍，不满足的即为不可能的情况。
【解析】
设多边形的边数为n，其中n是正整数且n≥3，根据多边形内角和公式可得：
多边形内角和 = (n-2)×180°，因此内角和必定是180°的整数倍。
对各选项逐一验证：
A. $1800° ÷ 180° = 10$，是整数，符合要求；
B. $540° ÷ 180° = 3$，是整数，符合要求；
C. $720° ÷ 180° = 4$，是整数，符合要求；
D. $810° ÷ 180° = 4.5$，不是整数，不符合要求。
【答案】
D
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查对多边形内角和公式的理解，不需要计算具体边数，抓住内角和是180°的整数倍这一特征即可快速判断，是多边形章节的常见易考题。
【难度系数】
0.9
解题的核心是运用多边形内角和公式的特征：n边形（n为不小于3的正整数）的内角和为(n-2)×180°，因此任意多边形的内角和一定是180°的整数倍。解题时只需逐一验证各选项是否为180°的整数倍，不满足的即为不可能的情况。
【解析】
设多边形的边数为n，其中n是正整数且n≥3，根据多边形内角和公式可得：
多边形内角和 = (n-2)×180°，因此内角和必定是180°的整数倍。
对各选项逐一验证：
A. $1800° ÷ 180° = 10$，是整数，符合要求；
B. $540° ÷ 180° = 3$，是整数，符合要求；
C. $720° ÷ 180° = 4$，是整数，符合要求；
D. $810° ÷ 180° = 4.5$，不是整数，不符合要求。
【答案】
D
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查对多边形内角和公式的理解，不需要计算具体边数，抓住内角和是180°的整数倍这一特征即可快速判断，是多边形章节的常见易考题。
【难度系数】
0.9
2. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍,那么这个多边形的边数是(
A.6
B.7
C.8
D.9
C
)A.6
B.7
C.8
D.9
答案
2.C
解析
【分析】
解题前先回忆多边形的相关性质：任意多边形的外角和都是固定的360°，多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且为整数）。题目给出内角和是外角和的3倍，我们可以先计算出这个多边形的内角和，再代入内角和公式列方程，即可求出边数$n$。
【解析】
1. 确定多边形外角和：任意多边形的外角和均为$360°$，由题意得该多边形内角和为$3×360°=1080°$。
2. 设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式列方程：
$(n-2)× 180°=1080°$
3. 解方程：
两边同时除以$180°$，得$n-2=6$
移项计算得$n=8$
因此这个多边形的边数是8。
【答案】C
【知识点】多边形外角和性质；多边形内角和公式
【点评】本题属于多边形性质的基础应用题，解题的核心是牢记多边形外角和恒为$360°$，熟练运用内角和公式建立方程求解即可。
【难度系数】0.8
解题前先回忆多边形的相关性质：任意多边形的外角和都是固定的360°，多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且为整数）。题目给出内角和是外角和的3倍，我们可以先计算出这个多边形的内角和，再代入内角和公式列方程，即可求出边数$n$。
【解析】
1. 确定多边形外角和：任意多边形的外角和均为$360°$，由题意得该多边形内角和为$3×360°=1080°$。
2. 设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式列方程：
$(n-2)× 180°=1080°$
3. 解方程：
两边同时除以$180°$，得$n-2=6$
移项计算得$n=8$
因此这个多边形的边数是8。
【答案】C
【知识点】多边形外角和性质；多边形内角和公式
【点评】本题属于多边形性质的基础应用题，解题的核心是牢记多边形外角和恒为$360°$，熟练运用内角和公式建立方程求解即可。
【难度系数】0.8
3. 如图，$∠ B=20°$, $∠ A=∠ C=40°$,则$∠ CDE$的度数为(
A.$40°$
B.$60°$
C.$80°$
D.$100°$
C
)A.$40°$
B.$60°$
C.$80°$
D.$100°$
答案
3.C
解析
【分析】
要求∠CDE的度数，可先确定它所在的△CDE的其余两个内角的度数：已知∠C=40°，只需求出∠CED的度数即可。∠CED与△ABE的内角∠AEB是邻补角，我们可以先利用三角形内角和定理求出△ABE中∠AEB的度数，再推导∠CED，最后用三角形内角和计算∠CDE。
【解析】
在△ABE中，根据三角形内角和为180°：
$∠ AEB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 40° - 20° = 120°$
∵$∠ CED$与$∠ AEB$互为邻补角，即$∠ CED + ∠ AEB = 180°$
∴$∠ CED = 180° - 120° = 60°$
在△CDE中，再次利用三角形内角和为180°：
$∠ CDE = 180° - ∠ C - ∠ CED = 180° - 40° - 60° = 80°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算问题，解题的关键是明确所求角所在的三角形，结合已知条件逐步推导未知角的度数，熟练掌握三角形内角和与邻补角的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.8
要求∠CDE的度数，可先确定它所在的△CDE的其余两个内角的度数：已知∠C=40°，只需求出∠CED的度数即可。∠CED与△ABE的内角∠AEB是邻补角，我们可以先利用三角形内角和定理求出△ABE中∠AEB的度数，再推导∠CED，最后用三角形内角和计算∠CDE。
【解析】
在△ABE中，根据三角形内角和为180°：
$∠ AEB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 40° - 20° = 120°$
∵$∠ CED$与$∠ AEB$互为邻补角，即$∠ CED + ∠ AEB = 180°$
∴$∠ CED = 180° - 120° = 60°$
在△CDE中，再次利用三角形内角和为180°：
$∠ CDE = 180° - ∠ C - ∠ CED = 180° - 40° - 60° = 80°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算问题，解题的关键是明确所求角所在的三角形，结合已知条件逐步推导未知角的度数，熟练掌握三角形内角和与邻补角的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.8
4. 如图，把含有$60°$角的直角三角板的斜边放在直线$l$上，则$∠ α$的度数为（
A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$150°$
D
）A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$150°$
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先回忆直角三角板的角度特征，结合三角形内角和定理先求出三角板中与∠α相邻的锐角的度数，再根据平角为180°的性质，用180°减去该锐角的度数即可得到∠α的度数。
【解析】
已知该直角三角板有一个内角为60°，根据三角形内角和为180°，可得三角板剩余的锐角为：
$180° - 90° - 60° = 30°$
由于直线$l$是平角，度数为$180°$，$∠α$和上述30°的角互为邻补角，因此：
$∠α = 180° - 30° = 150°$
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，平角的性质，邻补角计算
【点评】
本题是基础的角度计算题，结合常见三角板的角度特征出题，难度较低，主要考查学生对基础角度性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆直角三角板的角度特征，结合三角形内角和定理先求出三角板中与∠α相邻的锐角的度数，再根据平角为180°的性质，用180°减去该锐角的度数即可得到∠α的度数。
【解析】
已知该直角三角板有一个内角为60°，根据三角形内角和为180°，可得三角板剩余的锐角为：
$180° - 90° - 60° = 30°$
由于直线$l$是平角，度数为$180°$，$∠α$和上述30°的角互为邻补角，因此：
$∠α = 180° - 30° = 150°$
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，平角的性质，邻补角计算
【点评】
本题是基础的角度计算题，结合常见三角板的角度特征出题，难度较低，主要考查学生对基础角度性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.9
5. 如图，$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E$等于(
A.$180°$
B.$240°$
C.$270°$
D.$360°$
A
)A.$180°$
B.$240°$
C.$270°$
D.$360°$
答案
5.A
解析
【分析】
解决这类分散角的求和问题，核心思路是借助三角形外角的性质，把不在同一三角形内的角转移到同一个三角形中，再结合三角形内角和定理计算总和。第一步先观察图形，找到合适的三角形外角，分别将两组角的和转化为同一个三角形的两个内角；第二步利用三角形内角和为180°的性质，代入转化后的角即可算出五个角的总度数。
【解析】
解：设BE与AC交于点F，BD与AC交于点G。
1. 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
$∠ CFG$是$△ ABF$的外角，因此$∠ CFG = ∠ A + ∠ B$；
$∠ CGF$是$△ DEG$的外角，因此$∠ CGF = ∠ D + ∠ E$。
2. 在$△ CFG$中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ C + ∠ CFG + ∠ CGF = 180°$。
3. 将前两步的结论代入上式，替换得：
$∠ C + (∠ A+∠ B) + (∠ D+∠ E) = 180°$，
即$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=180°$。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形性质应用的典型题型，解题关键是灵活运用外角性质将分散的角集中到同一个三角形中，能有效考查学生对三角形相关性质的迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
解决这类分散角的求和问题，核心思路是借助三角形外角的性质，把不在同一三角形内的角转移到同一个三角形中，再结合三角形内角和定理计算总和。第一步先观察图形，找到合适的三角形外角，分别将两组角的和转化为同一个三角形的两个内角；第二步利用三角形内角和为180°的性质，代入转化后的角即可算出五个角的总度数。
【解析】
解：设BE与AC交于点F，BD与AC交于点G。
1. 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
$∠ CFG$是$△ ABF$的外角，因此$∠ CFG = ∠ A + ∠ B$；
$∠ CGF$是$△ DEG$的外角，因此$∠ CGF = ∠ D + ∠ E$。
2. 在$△ CFG$中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ C + ∠ CFG + ∠ CGF = 180°$。
3. 将前两步的结论代入上式，替换得：
$∠ C + (∠ A+∠ B) + (∠ D+∠ E) = 180°$，
即$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=180°$。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形性质应用的典型题型，解题关键是灵活运用外角性质将分散的角集中到同一个三角形中，能有效考查学生对三角形相关性质的迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$∠ A=80°$，$∠ B=26°$，$∠ C=35°$，则$∠ BDC$的度数为(
A.$135°$
B.$150°$
C.$141°$
D.$110°$
C
)A.$135°$
B.$150°$
C.$141°$
D.$110°$
答案
6.C
解析
【分析】
要求∠BDC的度数，已知∠A、∠B、∠C的度数，可通过添加辅助线构造三角形外角，利用三角形外角的性质建立已知角和未知角的联系。具体思路为：连接AD并延长，将∠BDC拆分为两个三角形的外角之和，再把外角转化为对应的不相邻内角之和，代入已知角度即可计算出结果。
【解析】
解：连接AD并延长至点E。
∵∠BDE是△ABD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠BDE = ∠B + ∠BAD，
同理，∠CDE是△ACD的外角，
∴∠CDE = ∠C + ∠CAD，
∴∠BDC = ∠BDE + ∠CDE = ∠B + ∠BAD + ∠C + ∠CAD，
又
∵∠BAD + ∠CAD = ∠A = 80°，∠B=26°，∠C=35°，
∴∠BDC = 26° + 35° + 80° = 141°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质；角的和差运算
【点评】
本题是角度计算的常见题型，解题核心是合理添加辅助线构造外角，将未知角与已知角关联起来，熟练掌握三角形外角性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
要求∠BDC的度数，已知∠A、∠B、∠C的度数，可通过添加辅助线构造三角形外角，利用三角形外角的性质建立已知角和未知角的联系。具体思路为：连接AD并延长，将∠BDC拆分为两个三角形的外角之和，再把外角转化为对应的不相邻内角之和，代入已知角度即可计算出结果。
【解析】
解：连接AD并延长至点E。
∵∠BDE是△ABD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠BDE = ∠B + ∠BAD，
同理，∠CDE是△ACD的外角，
∴∠CDE = ∠C + ∠CAD，
∴∠BDC = ∠BDE + ∠CDE = ∠B + ∠BAD + ∠C + ∠CAD，
又
∵∠BAD + ∠CAD = ∠A = 80°，∠B=26°，∠C=35°，
∴∠BDC = 26° + 35° + 80° = 141°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质；角的和差运算
【点评】
本题是角度计算的常见题型，解题核心是合理添加辅助线构造外角，将未知角与已知角关联起来，熟练掌握三角形外角性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
1. 如果从多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将这个多边形分成4个三角形，那么这个多边形的内角和为
720°
。答案
1.720°
解析
【分析】
解题时首先回忆多边形的相关性质：从n边形的一个顶点出发作对角线，最多可将多边形分成(n-2)个三角形。我们可以先根据题目给出的“最多分成4个三角形”这一条件，求出多边形的边数n，再代入多边形内角和公式计算，即可得到最终结果。
【解析】
设这个多边形的边数为n。
根据多边形对角线的性质：从n边形一个顶点出发作对角线，分得的三角形个数为n-2，结合题意可得：
$n - 2 = 4$
解得$n = 6$，即该多边形为六边形。
再根据多边形内角和公式：$n\mathrm{边形内角和} = (n-2)×180°$，将$n=6$代入得：
$\mathrm{内角和} = (6-2)×180° = 4×180° = 720°$
【答案】
$720°$
【知识点】
多边形对角线性质；多边形内角和公式
【点评】
本题属于多边形基础题，重点考察对多边形相关性质和公式的记忆，解题关键是先通过分得的三角形个数确定多边形边数，再代入内角和公式计算，掌握基础性质即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆多边形的相关性质：从n边形的一个顶点出发作对角线，最多可将多边形分成(n-2)个三角形。我们可以先根据题目给出的“最多分成4个三角形”这一条件，求出多边形的边数n，再代入多边形内角和公式计算，即可得到最终结果。
【解析】
设这个多边形的边数为n。
根据多边形对角线的性质：从n边形一个顶点出发作对角线，分得的三角形个数为n-2，结合题意可得：
$n - 2 = 4$
解得$n = 6$，即该多边形为六边形。
再根据多边形内角和公式：$n\mathrm{边形内角和} = (n-2)×180°$，将$n=6$代入得：
$\mathrm{内角和} = (6-2)×180° = 4×180° = 720°$
【答案】
$720°$
【知识点】
多边形对角线性质；多边形内角和公式
【点评】
本题属于多边形基础题，重点考察对多边形相关性质和公式的记忆，解题关键是先通过分得的三角形个数确定多边形边数，再代入内角和公式计算，掌握基础性质即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
2. 如图，BD平分∠ABC，∠ADB=60°，∠BDC=80°，∠C=70°，则△ABD是
直角
(填“锐角”“直角”或“钝角”)三角形。答案
2.直角
解析
【分析】
要判断△ABD的形状，需先求出它的三个内角度数。已知∠ADB=60°，我们可以先利用三角形内角和定理求出△BDC中∠DBC的度数，再结合BD平分∠ABC的条件得到∠ABD的度数，最后再次利用三角形内角和定理求出△ABD中∠A的度数，即可判断三角形的类型。
【解析】
1. 在△BDC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ DBC = 180° - ∠ BDC - ∠ C = 180° - 80° - 70° = 30°$
2. 因为BD平分$∠ ABC$，根据角平分线的定义：
$∠ ABD = ∠ DBC = 30°$
3. 在△ABD中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A = 180° - ∠ ABD - ∠ ADB = 180° - 30° - 60° = 90°$
有一个角是直角的三角形是直角三角形，因此△ABD是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题为基础题型，解题核心是先通过已知内角的△BDC求出公共角的部分角度，再结合角平分线的性质推导所求三角形的内角，进而判断三角形形状，逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
要判断△ABD的形状，需先求出它的三个内角度数。已知∠ADB=60°，我们可以先利用三角形内角和定理求出△BDC中∠DBC的度数，再结合BD平分∠ABC的条件得到∠ABD的度数，最后再次利用三角形内角和定理求出△ABD中∠A的度数，即可判断三角形的类型。
【解析】
1. 在△BDC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ DBC = 180° - ∠ BDC - ∠ C = 180° - 80° - 70° = 30°$
2. 因为BD平分$∠ ABC$，根据角平分线的定义：
$∠ ABD = ∠ DBC = 30°$
3. 在△ABD中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A = 180° - ∠ ABD - ∠ ADB = 180° - 30° - 60° = 90°$
有一个角是直角的三角形是直角三角形，因此△ABD是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题为基础题型，解题核心是先通过已知内角的△BDC求出公共角的部分角度，再结合角平分线的性质推导所求三角形的内角，进而判断三角形形状，逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
3. 若一个多边形的每一个内角都为$150°$,则这个多边形的边数为
12
. 答案
3.12
解析
【分析】
解题有两种常用思路：思路1：利用多边形外角和的固定性质求解。多边形每个内角与相邻外角互补，先求出单个外角的度数，再结合任意多边形外角和恒为360°，用外角和除以单个外角度数即可得到边数。思路2：利用多边形内角和公式列方程求解。设边数为n，分别用内角和公式、“单个内角×边数”表示总内角和，建立方程求解即可。
【解析】
方法一（外角和法）：
∵ 多边形的每个内角为150°，内角与相邻外角互补
∴ 每个外角的度数为：$180° - 150° = 30°$
∵ 任意多边形的外角和为$360°$
∴ 多边形的边数 = $360° ÷ 30° = 12$
方法二（内角和方程法）：
设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式：n边形内角和为$(n-2)×180°$
由题意得：$(n-2)×180° = 150°×n$
展开得：$180n - 360 = 150n$
移项合并得：$30n = 360$
解得：$n = 12$
【答案】
12
【知识点】
多边形外角和定理；多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形内角相关的基础题，两种解题方法中，利用外角和恒为360°的性质求解更简便，解题时可优先选择更高效的思路。
【难度系数】
0.8
解题有两种常用思路：思路1：利用多边形外角和的固定性质求解。多边形每个内角与相邻外角互补，先求出单个外角的度数，再结合任意多边形外角和恒为360°，用外角和除以单个外角度数即可得到边数。思路2：利用多边形内角和公式列方程求解。设边数为n，分别用内角和公式、“单个内角×边数”表示总内角和，建立方程求解即可。
【解析】
方法一（外角和法）：
∵ 多边形的每个内角为150°，内角与相邻外角互补
∴ 每个外角的度数为：$180° - 150° = 30°$
∵ 任意多边形的外角和为$360°$
∴ 多边形的边数 = $360° ÷ 30° = 12$
方法二（内角和方程法）：
设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式：n边形内角和为$(n-2)×180°$
由题意得：$(n-2)×180° = 150°×n$
展开得：$180n - 360 = 150n$
移项合并得：$30n = 360$
解得：$n = 12$
【答案】
12
【知识点】
多边形外角和定理；多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形内角相关的基础题，两种解题方法中，利用外角和恒为360°的性质求解更简便，解题时可优先选择更高效的思路。
【难度系数】
0.8
