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1 图案设计是纺织品设计中的一个重要环节，“数”可以为纺织品图案的设计提供灵感. 例如：$\frac{1}{21}=0.\dot{0}4761\dot{9}$，如图①是将$0.\dot{0}4761\dot{9}$从上到下按蛇形排列填入方格内，然后用不同的图形“○”“△”“◇”“□”“☆”“⊙”表示各个数字，最后将图形填入方格中所得到的图案. 图②是利用某个循环小数的循环规律（不同的数字分别用不同的图形来表示），由内向外按某种顺序螺旋排列设计而成的一幅纺织品图案，则这个数可能是 （
A.$\frac{4}{27}$
B.$\frac{3}{13}$
C.$\frac{2}{11}$
D.$\frac{1}{9}$
A
）A.$\frac{4}{27}$
B.$\frac{3}{13}$
C.$\frac{2}{11}$
D.$\frac{1}{9}$
答案
1. A 【解析】因为$\frac{4}{27}=0.\dot{1}4\dot{8},\frac{3}{13}=0.\dot{2}3076\dot{9},\frac{2}{11}=0.\dot{1}\dot{8},\frac{1}{9}=0.\dot{1}$,由题图②可知,该图案中除 1 个“○”外只含有“△”“◇”“☆”三种图形,所以易得该循环小数的小数部分有且只有 3 个不一样的数字.所以这个数可能是$\frac{4}{27}$.
解析
【分析】
解题时首先明确不同图形对应不同的数字，因此先观察图②的图形种类：除1个特殊的“○”外，仅存在3种不同的图形，说明对应的循环小数的小数部分只有3个互不相同的数字。接下来只需要将四个选项的分数分别化为循环小数，判断哪个的循环节恰好有3个不同数字，即可得到答案。
【解析】
首先观察图②的图形组成：除1个“○”外，仅包含“△”“◇”“☆”3种不同的图形，说明该循环小数的小数部分有且仅有3个不同的数字。
分别计算各选项的商：
选项A：$\frac{4}{27}=4÷27=0.\dot{1}4\dot{8}$，循环节为1、4、8，共3个不同数字，符合要求；
选项B：$\frac{3}{13}=3÷13=0.\dot{2}3076\dot{9}$，循环节有6个不同数字，不符合要求；
选项C：$\frac{2}{11}=2÷11=0.\dot{1}\dot{8}$，循环节有2个不同数字，不符合要求；
选项D：$\frac{1}{9}=1÷9=0.\dot{1}$，循环节只有1个数字，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】A
【知识点】分数与小数的互化，循环小数，规律探究
【点评】本题将循环小数的知识和图案设计相结合，解题的核心是建立图形种类和循环小数中不同数字个数的对应关系，再通过分数化小数的运算筛选出符合要求的选项，考查了学生的观察能力和运算能力，兼具趣味性和实用性。
【难度系数】0.7
解题时首先明确不同图形对应不同的数字，因此先观察图②的图形种类：除1个特殊的“○”外，仅存在3种不同的图形，说明对应的循环小数的小数部分只有3个互不相同的数字。接下来只需要将四个选项的分数分别化为循环小数，判断哪个的循环节恰好有3个不同数字，即可得到答案。
【解析】
首先观察图②的图形组成：除1个“○”外，仅包含“△”“◇”“☆”3种不同的图形，说明该循环小数的小数部分有且仅有3个不同的数字。
分别计算各选项的商：
选项A：$\frac{4}{27}=4÷27=0.\dot{1}4\dot{8}$，循环节为1、4、8，共3个不同数字，符合要求；
选项B：$\frac{3}{13}=3÷13=0.\dot{2}3076\dot{9}$，循环节有6个不同数字，不符合要求；
选项C：$\frac{2}{11}=2÷11=0.\dot{1}\dot{8}$，循环节有2个不同数字，不符合要求；
选项D：$\frac{1}{9}=1÷9=0.\dot{1}$，循环节只有1个数字，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】A
【知识点】分数与小数的互化，循环小数，规律探究
【点评】本题将循环小数的知识和图案设计相结合，解题的核心是建立图形种类和循环小数中不同数字个数的对应关系，再通过分数化小数的运算筛选出符合要求的选项，考查了学生的观察能力和运算能力，兼具趣味性和实用性。
【难度系数】0.7
2 某大会标识中的八卦符号(如图①)可以用于记数,请探究这个符号所表示的数,互相交流各自的计算方法.
提示:八卦中“══”称为阳爻,对应数字 1;“━━”称为阴爻,对应数字 0,这是二进制记数法.每卦均由三个阳爻或阴爻组成(如图①),左起第一个八卦符号表示的二进制数为$(011)_2$.
【观察发现】
（1）请写出图①中从左起第四个八卦符号表示的二进制数：
【拓展延伸】
二进制数转换成十进制数的方法如下:将二进制数的每一位数乘 2 的相应次方(从右往左依次为$2^0,2^1,2^2,2^3,\dots$),然后相加.例如:$(011)_2=0×2^2+1×2^1+1×2^0=0+2+1=3,(1101)_2=1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=8+4+0+1=13$(提示:任何不等于零的数的零次幂都等于 1,如$2^0=1$).
（2）把图①中八卦符号表示的二进制数依次转换为十进制数,得到的这个四位数是什么?将这个四位数看作一个八进制数,并将这个八进制数转换为十进制数(写出计算过程).
【类比迁移】
（3）在我国远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”.如图②所示为远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数,在从右向左依次排列的不同绳子上打结,满五进一.根据图示,求孩子已经出生的天数.
提示:八卦中“══”称为阳爻,对应数字 1;“━━”称为阴爻,对应数字 0,这是二进制记数法.每卦均由三个阳爻或阴爻组成(如图①),左起第一个八卦符号表示的二进制数为$(011)_2$.
【观察发现】
（1）请写出图①中从左起第四个八卦符号表示的二进制数：
$(101)_2$
.【拓展延伸】
二进制数转换成十进制数的方法如下:将二进制数的每一位数乘 2 的相应次方(从右往左依次为$2^0,2^1,2^2,2^3,\dots$),然后相加.例如:$(011)_2=0×2^2+1×2^1+1×2^0=0+2+1=3,(1101)_2=1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=8+4+0+1=13$(提示:任何不等于零的数的零次幂都等于 1,如$2^0=1$).
（2）把图①中八卦符号表示的二进制数依次转换为十进制数,得到的这个四位数是什么?将这个四位数看作一个八进制数,并将这个八进制数转换为十进制数(写出计算过程).
【类比迁移】
（3）在我国远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”.如图②所示为远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数,在从右向左依次排列的不同绳子上打结,满五进一.根据图示,求孩子已经出生的天数.
答案
2. (1) $(101)_2$
(2) 八卦符号表示的二进制数从左往右依次为$(011)_2,(111)_2,(100)_2,(101)_2$,因为$(011)_2=0×2^2+1×2^1+1×2^0=0+2+1=3,(111)_2=1×2^2+1×2^1+1×2^0=4+2+1=7,(100)_2=1×2^2+0×2^1+0×2^0=4+0+0=4,(101)_2=1×2^2+0×2^1+1×2^0=4+0+1=5$,所以这个四位数是 3 745.
$(3745)_8=3×8^3+7×8^2+4×8^1+5×8^0=2021$
(3) 由题意,得$1×5^2+3×5^1+2×5^0=1×25+3×5+2×1=25+15+2=42$(天),所以孩子已经出生 42 天
(2) 八卦符号表示的二进制数从左往右依次为$(011)_2,(111)_2,(100)_2,(101)_2$,因为$(011)_2=0×2^2+1×2^1+1×2^0=0+2+1=3,(111)_2=1×2^2+1×2^1+1×2^0=4+2+1=7,(100)_2=1×2^2+0×2^1+0×2^0=4+0+0=4,(101)_2=1×2^2+0×2^1+1×2^0=4+0+1=5$,所以这个四位数是 3 745.
$(3745)_8=3×8^3+7×8^2+4×8^1+5×8^0=2021$
(3) 由题意,得$1×5^2+3×5^1+2×5^0=1×25+3×5+2×1=25+15+2=42$(天),所以孩子已经出生 42 天
解析
【分析】
（1）首先明确计数规则：阳爻对应数字1，阴爻对应数字0，每卦的三个爻从上到下依次对应二进制数从高位到低位的三位。观察左起第四个八卦符号，从上到下依次为阳爻、阴爻、阳爻，对应数字1、0、1，即可得到对应的二进制数。
（2）先依次写出四个八卦符号对应的二进制数，再按照给定的二进制转十进制规则，将每个二进制数转换为一位十进制数，按顺序拼接得到四位数；再按照类似的进制转换规则，把该八进制数的每一位乘8的对应次方（从右往左依次为$8^0、8^1、8^2、8^3$），相加得到最终结果。
（3）“满五进一”属于五进制计数，从右向左绳子上的结数依次对应五进制数从低位到高位的数字，分别乘$5^0、5^1、5^2$后相加，即可得到对应的十进制天数。
【解析】
（1）根据阳爻对应1，阴爻对应0，左起第四个八卦符号从上到下为阳爻、阴爻、阳爻，对应二进制数为$(101)_2$。
（2）四个八卦符号对应的二进制数从左到右依次为$(011)_2、(111)_2、(100)_2、(101)_2$，分别转换为十进制：
$(011)_2=0×2^2+1×2^1+1×2^0=0+2+1=3$
$(111)_2=1×2^2+1×2^1+1×2^0=4+2+1=7$
$(100)_2=1×2^2+0×2^1+0×2^0=4+0+0=4$
$(101)_2=1×2^2+0×2^1+1×2^0=4+0+1=5$
按顺序拼接得到四位数为3745。
将八进制数$(3745)_8$转换为十进制：
$(3745)_8=3×8^3+7×8^2+4×8^1+5×8^0=3×512+7×64+4×8+5×1=1536+448+32+5=2021$
（3）由题意可知计数规则为满五进一（五进制），从右向左三根绳子的打结数分别为2、3、1，对应五进制的个位、十位、百位，转换为十进制：
$1×5^2+3×5^1+2×5^0=1×25+3×5+2×1=25+15+2=42$（天）
【答案】
（1）$\boldsymbol{(101)_2}$
（2）得到的四位数是3745，转换为十进制是2021
（3）孩子已经出生42天
【知识点】
进制转换、乘方运算、有理数混合运算
【点评】
本题结合八卦、结绳计数等传统文化元素考查不同进制和十进制的转换，解题核心是读懂题目给定的计数规则，按照对应方法逐步计算即可，解题时需注意乘方的指数对应规则，避免错位出错。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确计数规则：阳爻对应数字1，阴爻对应数字0，每卦的三个爻从上到下依次对应二进制数从高位到低位的三位。观察左起第四个八卦符号，从上到下依次为阳爻、阴爻、阳爻，对应数字1、0、1，即可得到对应的二进制数。
（2）先依次写出四个八卦符号对应的二进制数，再按照给定的二进制转十进制规则，将每个二进制数转换为一位十进制数，按顺序拼接得到四位数；再按照类似的进制转换规则，把该八进制数的每一位乘8的对应次方（从右往左依次为$8^0、8^1、8^2、8^3$），相加得到最终结果。
（3）“满五进一”属于五进制计数，从右向左绳子上的结数依次对应五进制数从低位到高位的数字，分别乘$5^0、5^1、5^2$后相加，即可得到对应的十进制天数。
【解析】
（1）根据阳爻对应1，阴爻对应0，左起第四个八卦符号从上到下为阳爻、阴爻、阳爻，对应二进制数为$(101)_2$。
（2）四个八卦符号对应的二进制数从左到右依次为$(011)_2、(111)_2、(100)_2、(101)_2$，分别转换为十进制：
$(011)_2=0×2^2+1×2^1+1×2^0=0+2+1=3$
$(111)_2=1×2^2+1×2^1+1×2^0=4+2+1=7$
$(100)_2=1×2^2+0×2^1+0×2^0=4+0+0=4$
$(101)_2=1×2^2+0×2^1+1×2^0=4+0+1=5$
按顺序拼接得到四位数为3745。
将八进制数$(3745)_8$转换为十进制：
$(3745)_8=3×8^3+7×8^2+4×8^1+5×8^0=3×512+7×64+4×8+5×1=1536+448+32+5=2021$
（3）由题意可知计数规则为满五进一（五进制），从右向左三根绳子的打结数分别为2、3、1，对应五进制的个位、十位、百位，转换为十进制：
$1×5^2+3×5^1+2×5^0=1×25+3×5+2×1=25+15+2=42$（天）
【答案】
（1）$\boldsymbol{(101)_2}$
（2）得到的四位数是3745，转换为十进制是2021
（3）孩子已经出生42天
【知识点】
进制转换、乘方运算、有理数混合运算
【点评】
本题结合八卦、结绳计数等传统文化元素考查不同进制和十进制的转换，解题核心是读懂题目给定的计数规则，按照对应方法逐步计算即可，解题时需注意乘方的指数对应规则，避免错位出错。
【难度系数】
0.7
