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1. 下列各式化简正确的是 （
A.$a\sqrt{\dfrac{1}{a}}=\sqrt{a}$
B.$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$
C.$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+b$
D.$\sqrt{\dfrac{3}{4}a}=2\sqrt{3a}$
A
）A.$a\sqrt{\dfrac{1}{a}}=\sqrt{a}$
B.$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$
C.$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+b$
D.$\sqrt{\dfrac{3}{4}a}=2\sqrt{3a}$
答案
1.A
解析
【分析】
这道题考查二次根式的相关运算与化简，解题时需要结合二次根式有意义的条件、二次根式的性质以及整式运算公式，逐个对选项进行验证，排除错误选项即可得到正确答案。首先明确核心规则：二次根式的被开方数非负，二次根式乘除运算要遵循对应法则，只有同类二次根式才能合并加减，完全平方公式展开共有三项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：要使$\sqrt{\dfrac{1}{a}}$有意义，则$a＞0$，因此$a=\sqrt{a^2}$，代入原式得：$a\sqrt{\dfrac{1}{a}}=\sqrt{a^2}·\sqrt{\dfrac{1}{a}}=\sqrt{a^2·\dfrac{1}{a}}=\sqrt{a}$，该选项化简正确。
B选项：只有同类二次根式才可以合并，$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$不一定是同类二次根式，例如$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，该选项错误。
C选项：根据完全平方公式，$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=(\sqrt{a})^2+2\sqrt{a}·\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2=a+b+2\sqrt{ab}$，不等于$a+b$，该选项错误。
D选项：$\sqrt{\dfrac{3}{4}a}=\sqrt{\dfrac{3a}{4}}=\dfrac{\sqrt{3a}}{\sqrt{4}}=\dfrac{\sqrt{3a}}{2}$，不等于$2\sqrt{3a}$，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式化简；二次根式运算；完全平方公式
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，核心考查对二次根式性质和运算规则的掌握程度，解题时要注意二次根式有意义的隐含条件，避免出现运算漏项、化简规则误用的问题。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次根式的相关运算与化简，解题时需要结合二次根式有意义的条件、二次根式的性质以及整式运算公式，逐个对选项进行验证，排除错误选项即可得到正确答案。首先明确核心规则：二次根式的被开方数非负，二次根式乘除运算要遵循对应法则，只有同类二次根式才能合并加减，完全平方公式展开共有三项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：要使$\sqrt{\dfrac{1}{a}}$有意义，则$a＞0$，因此$a=\sqrt{a^2}$，代入原式得：$a\sqrt{\dfrac{1}{a}}=\sqrt{a^2}·\sqrt{\dfrac{1}{a}}=\sqrt{a^2·\dfrac{1}{a}}=\sqrt{a}$，该选项化简正确。
B选项：只有同类二次根式才可以合并，$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$不一定是同类二次根式，例如$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，该选项错误。
C选项：根据完全平方公式，$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=(\sqrt{a})^2+2\sqrt{a}·\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2=a+b+2\sqrt{ab}$，不等于$a+b$，该选项错误。
D选项：$\sqrt{\dfrac{3}{4}a}=\sqrt{\dfrac{3a}{4}}=\dfrac{\sqrt{3a}}{\sqrt{4}}=\dfrac{\sqrt{3a}}{2}$，不等于$2\sqrt{3a}$，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式化简；二次根式运算；完全平方公式
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，核心考查对二次根式性质和运算规则的掌握程度，解题时要注意二次根式有意义的隐含条件，避免出现运算漏项、化简规则误用的问题。
【难度系数】
0.8
2.若$y=\sqrt{(x^2 + 4)^4}$，则$\sqrt{y}$等于（
A.$x^2 + 4$
B.$x^2 + 2$
C.$(x^2 + 4)^2$
D.$(x^2 + 2)^2$
A
）A.$x^2 + 4$
B.$x^2 + 2$
C.$(x^2 + 4)^2$
D.$(x^2 + 2)^2$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先回忆二次根式的化简性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，再结合平方的非负性判断代数式的正负。第一步先化简给出的$y$的表达式，第二步再计算$\sqrt{y}$，最后对照选项选出结果即可。
【解析】
1. 先化简$y$：
将$(x^2+4)^4$变形为$[(x^2+4)^2]^2$，根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$可得：
$y=\sqrt{[(x^2+4)^2]^2}=|(x^2+4)^2|$
因为任何数的平方都是非负数，且$x^2≥0$，所以$x^2+4≥4＞0$，因此$(x^2+4)^2＞0$，去掉绝对值得$y=(x^2+4)^2$。
2. 再计算$\sqrt{y}$：
把$y=(x^2+4)^2$代入得$\sqrt{y}=\sqrt{(x^2+4)^2}=|x^2+4|$，同理$x^2+4＞0$，去掉绝对值得$\sqrt{y}=x^2+4$。
对应选项可知选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次根式的化简
2. 非负数的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次根式的化简规则，解题时要注意结合非负数的性质判断代数式的正负，避免直接去绝对值导致出错。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次根式的化简性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，再结合平方的非负性判断代数式的正负。第一步先化简给出的$y$的表达式，第二步再计算$\sqrt{y}$，最后对照选项选出结果即可。
【解析】
1. 先化简$y$：
将$(x^2+4)^4$变形为$[(x^2+4)^2]^2$，根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$可得：
$y=\sqrt{[(x^2+4)^2]^2}=|(x^2+4)^2|$
因为任何数的平方都是非负数，且$x^2≥0$，所以$x^2+4≥4＞0$，因此$(x^2+4)^2＞0$，去掉绝对值得$y=(x^2+4)^2$。
2. 再计算$\sqrt{y}$：
把$y=(x^2+4)^2$代入得$\sqrt{y}=\sqrt{(x^2+4)^2}=|x^2+4|$，同理$x^2+4＞0$，去掉绝对值得$\sqrt{y}=x^2+4$。
对应选项可知选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次根式的化简
2. 非负数的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次根式的化简规则，解题时要注意结合非负数的性质判断代数式的正负，避免直接去绝对值导致出错。
【难度系数】
0.8
3.实数a,b在数轴上对应点的位置如
所示，那么化简$|a - b| - \sqrt{a^2}$的结果是（
A.$2a + b$
B.$b$
C.$2a - b$
D.$-b$
所示，那么化简$|a - b| - \sqrt{a^2}$的结果是（B
）A.$2a + b$
B.$b$
C.$2a - b$
D.$-b$
答案
3.B
解析
【分析】
首先观察数轴确定a、b的符号和大小关系：a在原点左侧，因此a＜0，b在原点右侧，因此b＞0，可得a＜b，即a-b＜0。再结合两个核心性质解题：①负数的绝对值等于它的相反数；②二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$。先分别化简绝对值和二次根式，再合并同类项即可得到结果。
【解析】
由数轴可知：$a＜0＜b$，因此$a-b＜0$。
根据绝对值的性质：$|a-b|=-(a-b)=b-a$；
根据二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，又因为$a＜0$，所以$|a|=-a$；
将上述结果代入原式得：
$|a-b|-\sqrt{a^2}=(b-a)-(-a)=b-a+a=b$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，绝对值的化简，二次根式的性质
【点评】
本题是数轴与代数式化简结合的基础题，解题核心是通过数轴准确判断代数式的正负，再结合对应性质化简计算，是代数部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
首先观察数轴确定a、b的符号和大小关系：a在原点左侧，因此a＜0，b在原点右侧，因此b＞0，可得a＜b，即a-b＜0。再结合两个核心性质解题：①负数的绝对值等于它的相反数；②二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$。先分别化简绝对值和二次根式，再合并同类项即可得到结果。
【解析】
由数轴可知：$a＜0＜b$，因此$a-b＜0$。
根据绝对值的性质：$|a-b|=-(a-b)=b-a$；
根据二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，又因为$a＜0$，所以$|a|=-a$；
将上述结果代入原式得：
$|a-b|-\sqrt{a^2}=(b-a)-(-a)=b-a+a=b$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，绝对值的化简，二次根式的性质
【点评】
本题是数轴与代数式化简结合的基础题，解题核心是通过数轴准确判断代数式的正负，再结合对应性质化简计算，是代数部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
4. 下列计算正确的是 （
A.$\sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{2}} = 1$
B.$\sqrt{4} - \sqrt{3} = 1$
C.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{3} = 2$
D.$\sqrt{4} = \pm 2$
A
）A.$\sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{2}} = 1$
B.$\sqrt{4} - \sqrt{3} = 1$
C.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{3} = 2$
D.$\sqrt{4} = \pm 2$
答案
4.A
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关运算及算术平方根的定义，解题思路是依次对每个选项运用对应运算法则计算，再和选项给出的结果对比判断正误。首先要明确二次根式乘除的运算法则、同类二次根式才能合并、算术平方根结果为非负数这些核心要点，逐个排查选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一计算判断：
选项A：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{2 × \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$，计算正确。
选项B：$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{3}$是最简二次根式，2和$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接合并相减，结果应为$2-\sqrt{3} ≠ 1$，计算错误。
选项C：根据二次根式除法法则$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}} \ (a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{6} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2} ≠ 2$，计算错误。
选项D：$\sqrt{4}$表示4的算术平方根，算术平方根的结果是非负数，故$\sqrt{4}=2$，不是$\pm2$，$\pm2$是4的平方根，该选项错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
二次根式乘除运算，算术平方根的概念，二次根式的加减
【点评】
本题是基础概念和运算类题目，核心考查二次根式的运算法则以及算术平方根和平方根的区别，掌握相关基础规则就能快速做出正确判断。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的相关运算及算术平方根的定义，解题思路是依次对每个选项运用对应运算法则计算，再和选项给出的结果对比判断正误。首先要明确二次根式乘除的运算法则、同类二次根式才能合并、算术平方根结果为非负数这些核心要点，逐个排查选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一计算判断：
选项A：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{2 × \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$，计算正确。
选项B：$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{3}$是最简二次根式，2和$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接合并相减，结果应为$2-\sqrt{3} ≠ 1$，计算错误。
选项C：根据二次根式除法法则$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}} \ (a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{6} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2} ≠ 2$，计算错误。
选项D：$\sqrt{4}$表示4的算术平方根，算术平方根的结果是非负数，故$\sqrt{4}=2$，不是$\pm2$，$\pm2$是4的平方根，该选项错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
二次根式乘除运算，算术平方根的概念，二次根式的加减
【点评】
本题是基础概念和运算类题目，核心考查二次根式的运算法则以及算术平方根和平方根的区别，掌握相关基础规则就能快速做出正确判断。
【难度系数】
0.8
5.若$a,b$为有理数，且$\sqrt{8}+\sqrt{18}+\sqrt{\frac{1}{8}}=a+\sqrt{2}b$，则$a=$
0
，$b=$$\dfrac{21}{4}$
。答案
5.$0\quad \dfrac{21}{4}$
解析
【分析】
解决本题的核心思路是先对等式左边的所有二次根式进行化简，再合并同类二次根式，最终将左边整理为“有理数+含$\sqrt{2}$的无理数”的形式，再根据等式两边有理数部分相等、无理数的系数对应相等的性质，即可求出$a$和$b$的值。
【解析】
先化简等式左边的各项：
1. $\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$
2. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$
3. $\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{2}{16}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
将化简后的结果相加合并同类二次根式：
$\begin{aligned}\sqrt{8}+\sqrt{18}+\sqrt{\frac{1}{8}}&=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=(2+3+\frac{1}{4})\sqrt{2}\\&=\frac{21}{4}\sqrt{2}\end{aligned}$
即左边可整理为$0+\frac{21}{4}\sqrt{2}$，与等式右边$a+\sqrt{2}b$对应，由于$a,b$为有理数，因此有理数部分$a=0$，$\sqrt{2}$的系数$b=\frac{21}{4}$。
【答案】
$0$；$\dfrac{21}{4}$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并，实数对应相等
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查二次根式的化简及合并同类二次根式的能力，解题时需先将所有二次根式化为最简形式再合并，再根据等式两边同类部分系数对应相等求解即可。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心思路是先对等式左边的所有二次根式进行化简，再合并同类二次根式，最终将左边整理为“有理数+含$\sqrt{2}$的无理数”的形式，再根据等式两边有理数部分相等、无理数的系数对应相等的性质，即可求出$a$和$b$的值。
【解析】
先化简等式左边的各项：
1. $\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$
2. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$
3. $\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{2}{16}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
将化简后的结果相加合并同类二次根式：
$\begin{aligned}\sqrt{8}+\sqrt{18}+\sqrt{\frac{1}{8}}&=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+\frac{1}{4}\sqrt{2}\\&=(2+3+\frac{1}{4})\sqrt{2}\\&=\frac{21}{4}\sqrt{2}\end{aligned}$
即左边可整理为$0+\frac{21}{4}\sqrt{2}$，与等式右边$a+\sqrt{2}b$对应，由于$a,b$为有理数，因此有理数部分$a=0$，$\sqrt{2}$的系数$b=\frac{21}{4}$。
【答案】
$0$；$\dfrac{21}{4}$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并，实数对应相等
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查二次根式的化简及合并同类二次根式的能力，解题时需先将所有二次根式化为最简形式再合并，再根据等式两边同类部分系数对应相等求解即可。
【难度系数】
0.8
6.有一个密码系统，其原理如图2所示，当输出的值为$\sqrt{3}$时，则输入的$x=$
$2\sqrt{2}$
。答案
6.$2\sqrt{2}$
解析
【分析】
遇到这类程序运算题，首先要读懂运算规则：输入x后，会按照$\frac{x+\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$的规则计算得到输出值。现在已知输出值为$\sqrt{3}$，我们只需把输出值代入运算规则，列出关于x的方程，再结合二次根式的运算规则解方程，就能求出输入的x的值。
【解析】
根据题意可列方程：
$\frac{x+\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\sqrt{3}$
方程两边同时乘$\sqrt{6}$，消去分母得：
$x+\sqrt{2}=\sqrt{3}×\sqrt{6}$
计算右侧二次根式的乘积：$\sqrt{3}×\sqrt{6}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
移项得：
$x=3\sqrt{2}-\sqrt{2}$
合并同类二次根式得：
$x=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
1. 二次根式运算
2. 解一元一次方程
【点评】
本题结合趣味密码情境考查基础运算，解题核心是读懂运算规则列出等式，掌握二次根式的基本运算法则就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
遇到这类程序运算题，首先要读懂运算规则：输入x后，会按照$\frac{x+\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$的规则计算得到输出值。现在已知输出值为$\sqrt{3}$，我们只需把输出值代入运算规则，列出关于x的方程，再结合二次根式的运算规则解方程，就能求出输入的x的值。
【解析】
根据题意可列方程：
$\frac{x+\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\sqrt{3}$
方程两边同时乘$\sqrt{6}$，消去分母得：
$x+\sqrt{2}=\sqrt{3}×\sqrt{6}$
计算右侧二次根式的乘积：$\sqrt{3}×\sqrt{6}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
移项得：
$x=3\sqrt{2}-\sqrt{2}$
合并同类二次根式得：
$x=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
1. 二次根式运算
2. 解一元一次方程
【点评】
本题结合趣味密码情境考查基础运算，解题核心是读懂运算规则列出等式，掌握二次根式的基本运算法则就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
7.若$xy＞0$，则二次根式$x\sqrt{-\frac{y}{x^2}}$化简的结果为
$-\sqrt{-y}$
。答案
7.$-\sqrt{-y}$
解析
【分析】
解题时首先需明确两个核心依据：一是二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，二是已知条件xy＞0说明x与y同号。第一步先根据被开方数非负推导y的符号，第二步结合xy＞0判断x的符号，第三步利用二次根式的性质√a²=|a|对原式进行化简，注意根据x的符号正确去掉绝对值。
【解析】
1. 先确定二次根式有意义的条件：
要使$\sqrt{-\frac{y}{x^2}}$有意义，则被开方数$-\frac{y}{x^2}≥0$。
因为$x^2$是分母，故$x≠0$，$x^2＞0$，不等式两边同乘$x^2$，不等号方向不变，可得$-y≥0$，即$y≤0$。
2. 结合$xy＞0$判断符号：
$xy＞0$说明$x$、$y$同号且均不为0，结合$y≤0$可得$y＜0$，因此$x＜0$。
3. 化简二次根式：
根据二次根式的性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}（a≥0,b＞0）$，原式可变形为：
$x·\frac{\sqrt{-y}}{\sqrt{x^2}}$
又因为$\sqrt{x^2}=|x|$，且$x＜0$，所以$|x|=-x$，代入得：
$x·\frac{\sqrt{-y}}{-x}=-\sqrt{-y}$
【答案】
$-\sqrt{-y}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的常见题型，易错点是忽略x的符号，直接将x移入根号内导致符号错误。解题的关键是先根据已知条件确定x的正负，再正确运用二次根式的性质进行化简。
【难度系数】
0.6
解题时首先需明确两个核心依据：一是二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，二是已知条件xy＞0说明x与y同号。第一步先根据被开方数非负推导y的符号，第二步结合xy＞0判断x的符号，第三步利用二次根式的性质√a²=|a|对原式进行化简，注意根据x的符号正确去掉绝对值。
【解析】
1. 先确定二次根式有意义的条件：
要使$\sqrt{-\frac{y}{x^2}}$有意义，则被开方数$-\frac{y}{x^2}≥0$。
因为$x^2$是分母，故$x≠0$，$x^2＞0$，不等式两边同乘$x^2$，不等号方向不变，可得$-y≥0$，即$y≤0$。
2. 结合$xy＞0$判断符号：
$xy＞0$说明$x$、$y$同号且均不为0，结合$y≤0$可得$y＜0$，因此$x＜0$。
3. 化简二次根式：
根据二次根式的性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}（a≥0,b＞0）$，原式可变形为：
$x·\frac{\sqrt{-y}}{\sqrt{x^2}}$
又因为$\sqrt{x^2}=|x|$，且$x＜0$，所以$|x|=-x$，代入得：
$x·\frac{\sqrt{-y}}{-x}=-\sqrt{-y}$
【答案】
$-\sqrt{-y}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的常见题型，易错点是忽略x的符号，直接将x移入根号内导致符号错误。解题的关键是先根据已知条件确定x的正负，再正确运用二次根式的性质进行化简。
【难度系数】
0.6
8.如果一个长方体的体积为12 $\mathrm{cm}^3$，它的长是 $2\sqrt{6}$ cm，宽是 $\sqrt{3}$ cm，那么它的高是
$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
。答案
8.$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题时首先回忆长方体的体积计算公式，我们知道长方体体积=长×宽×高，要求高可以将公式变形为高=体积÷(长×宽)。接下来将题目给出的已知量代入变形后的公式，再按照八年级所学的二次根式乘除运算法则、分母有理化的方法进行计算化简，就能得到最终的高的数值。
【解析】
解：根据长方体体积公式$V=长×宽×高$，推导得高的计算公式：
$h=\frac{V}{长×宽}$
第一步先计算长和宽的乘积：
$2\sqrt{6} × \sqrt{3} = 2\sqrt{6×3} = 2\sqrt{18} = 2×3\sqrt{2}=6\sqrt{2} \ \mathrm{cm}$
第二步代入体积数值计算高：
$h=\frac{12}{6\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}$
第三步对结果分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$：
$h=\frac{2×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2} \ \mathrm{cm}$
【答案】
$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
长方体体积公式，二次根式乘除运算，分母有理化
【点评】
本题属于基础题，结合几何体积公式考查二次根式的运算能力，只要熟练掌握长方体体积公式和二次根式的化简规则，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆长方体的体积计算公式，我们知道长方体体积=长×宽×高，要求高可以将公式变形为高=体积÷(长×宽)。接下来将题目给出的已知量代入变形后的公式，再按照八年级所学的二次根式乘除运算法则、分母有理化的方法进行计算化简，就能得到最终的高的数值。
【解析】
解：根据长方体体积公式$V=长×宽×高$，推导得高的计算公式：
$h=\frac{V}{长×宽}$
第一步先计算长和宽的乘积：
$2\sqrt{6} × \sqrt{3} = 2\sqrt{6×3} = 2\sqrt{18} = 2×3\sqrt{2}=6\sqrt{2} \ \mathrm{cm}$
第二步代入体积数值计算高：
$h=\frac{12}{6\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}$
第三步对结果分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$：
$h=\frac{2×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2} \ \mathrm{cm}$
【答案】
$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
长方体体积公式，二次根式乘除运算，分母有理化
【点评】
本题属于基础题，结合几何体积公式考查二次根式的运算能力，只要熟练掌握长方体体积公式和二次根式的化简规则，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
9.小亮经过下面的推理得出了“$-2=2$”的结论,请你帮他找一找错在哪里.
因为$-2\sqrt{3}=\sqrt{(-2)^2 × 3}=\sqrt{12}$,①
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$,②
所以$-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$,③
所以$-2=2$.④
因为$-2\sqrt{3}=\sqrt{(-2)^2 × 3}=\sqrt{12}$,①
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$,②
所以$-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$,③
所以$-2=2$.④
答案
9.第①步出错
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的相关性质：算术平方根的结果是非负的，将根号外的因式移入根号内时，需先判断因式的符号：若因式为正，可直接将其平方后放入根号内；若因式为负，必须将负号留在根号外，仅把因式的绝对值平方后放入根号内。我们逐步骤排查小亮的推导：左边原式$-2\sqrt{3}$是负数，而第①步变形后得到$\sqrt{12}$是正数，二者明显不相等，由此可定位错误出在第①步。
【解析】
根据二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，且根号外的负因数不能直接移入根号内，仅非负因数可以平方后移入根号。
第①步的变形错误，正确的变形应为：$-2\sqrt{3}=-\sqrt{2^2×3}=-\sqrt{12}$，而非$\sqrt{12}$，后续的推导都是基于第①步的错误结果展开的，因此整个推导的错误源头是第①步。
【答案】
第①步出错
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式变形的典型易错题，解题的关键是牢记将根号外的因式移入根号内时，必须先判断因式的符号，负数不能直接移入根号内，避免出现符号类的低级错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆二次根式的相关性质：算术平方根的结果是非负的，将根号外的因式移入根号内时，需先判断因式的符号：若因式为正，可直接将其平方后放入根号内；若因式为负，必须将负号留在根号外，仅把因式的绝对值平方后放入根号内。我们逐步骤排查小亮的推导：左边原式$-2\sqrt{3}$是负数，而第①步变形后得到$\sqrt{12}$是正数，二者明显不相等，由此可定位错误出在第①步。
【解析】
根据二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，且根号外的负因数不能直接移入根号内，仅非负因数可以平方后移入根号。
第①步的变形错误，正确的变形应为：$-2\sqrt{3}=-\sqrt{2^2×3}=-\sqrt{12}$，而非$\sqrt{12}$，后续的推导都是基于第①步的错误结果展开的，因此整个推导的错误源头是第①步。
【答案】
第①步出错
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式变形的典型易错题，解题的关键是牢记将根号外的因式移入根号内时，必须先判断因式的符号，负数不能直接移入根号内，避免出现符号类的低级错误。
【难度系数】
0.6
10.若$x+y=3+2\sqrt{2}$，$x-y=3-2\sqrt{2}$，则$\sqrt{x^2-y^2}$的值是 （
A.$4\sqrt{2}$
B.$1$
C.$6$
D.$3-2\sqrt{2}$
B
）A.$4\sqrt{2}$
B.$1$
C.$6$
D.$3-2\sqrt{2}$
答案
10.B
解析
【分析】
本题可先利用平方差公式对被开方数$x^2 - y^2$进行因式分解，分解后发现式子可直接用题目给出的$x+y$和$x-y$整体代入计算，无需单独求解x、y的值，最后对计算结果开算术平方根即可得到答案。
【解析】
根据平方差公式可得：$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$
将$x+y=3+2\sqrt{2}$，$x-y=3-2\sqrt{2}$代入上式：
$\begin{aligned}(x+y)(x-y)&=(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})\\&=3^2 - (2\sqrt{2})^2\\&=9 - 8\\&=1\end{aligned}$
因此$\sqrt{x^2 - y^2}=\sqrt{1}=1$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；二次根式运算；代数式求值
【点评】
本题解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，采用整体代入的方法计算可简化运算过程，避免单独求解x、y带来的多余计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
本题可先利用平方差公式对被开方数$x^2 - y^2$进行因式分解，分解后发现式子可直接用题目给出的$x+y$和$x-y$整体代入计算，无需单独求解x、y的值，最后对计算结果开算术平方根即可得到答案。
【解析】
根据平方差公式可得：$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$
将$x+y=3+2\sqrt{2}$，$x-y=3-2\sqrt{2}$代入上式：
$\begin{aligned}(x+y)(x-y)&=(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})\\&=3^2 - (2\sqrt{2})^2\\&=9 - 8\\&=1\end{aligned}$
因此$\sqrt{x^2 - y^2}=\sqrt{1}=1$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；二次根式运算；代数式求值
【点评】
本题解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，采用整体代入的方法计算可简化运算过程，避免单独求解x、y带来的多余计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
