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11. 如果$\sqrt[b-a]{3b}$和$\sqrt{2b - a + 2}$是被开方数相同的最简二次根式，那么（
A.$a=0, b=2$
B.$a=2, b=0$
C.$a=-1, b=1$
D.$a=1, b=-2$
A
）A.$a=0, b=2$
B.$a=2, b=0$
C.$a=-1, b=1$
D.$a=1, b=-2$
答案
11.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确被开方数相同的最简二次根式（即同类二次根式）需满足的条件：第一，两者都是二次根式，因此根指数都为2；第二，化简后被开方数完全相同；同时还要满足二次根式有意义的隐含条件，即被开方数为非负数。解题时可先根据根指数、被开方数的要求列方程组求解，再验证结果是否符合要求，也可直接代入选项逐一排除错误答案。
【解析】
∵ $\sqrt[b-a]{3b}$和$\sqrt{2b - a + 2}$是被开方数相同的最简二次根式
∴ 需满足以下条件：
1. 根指数均为2：$b - a = 2$ ①
2. 被开方数相等：$3b = 2b - a + 2$ ②
3. 二次根式有意义：$3b≥0$，$2b - a + 2≥0$
将①变形为$b = a + 2$，代入②得：
$3(a + 2) = 2(a + 2) - a + 2$
展开化简：
$3a + 6 = a + 6$
解得$a=0$，代入①得$b=0+2=2$。
验证：当$a=0,b=2$时，两个根式分别为$\sqrt{6}$和$\sqrt{6}$，均为最简二次根式且被开方数相同，符合要求。
其他选项验证：B选项根指数为负、被开方数为0不符合；D选项被开方数为负无意义；C选项两个根式被开方数分别为3和5，不相等，均排除。
【答案】
A
【知识点】
同类二次根式的概念，二次根式有意义的条件，二元一次方程组的解法
【点评】
本题重点考查同类二次根式的判定，解题时不要忽略二次根式根指数为2、被开方数非负的隐含条件，求解后代入验证可避免错选，也可通过排除法快速锁定答案。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确被开方数相同的最简二次根式（即同类二次根式）需满足的条件：第一，两者都是二次根式，因此根指数都为2；第二，化简后被开方数完全相同；同时还要满足二次根式有意义的隐含条件，即被开方数为非负数。解题时可先根据根指数、被开方数的要求列方程组求解，再验证结果是否符合要求，也可直接代入选项逐一排除错误答案。
【解析】
∵ $\sqrt[b-a]{3b}$和$\sqrt{2b - a + 2}$是被开方数相同的最简二次根式
∴ 需满足以下条件：
1. 根指数均为2：$b - a = 2$ ①
2. 被开方数相等：$3b = 2b - a + 2$ ②
3. 二次根式有意义：$3b≥0$，$2b - a + 2≥0$
将①变形为$b = a + 2$，代入②得：
$3(a + 2) = 2(a + 2) - a + 2$
展开化简：
$3a + 6 = a + 6$
解得$a=0$，代入①得$b=0+2=2$。
验证：当$a=0,b=2$时，两个根式分别为$\sqrt{6}$和$\sqrt{6}$，均为最简二次根式且被开方数相同，符合要求。
其他选项验证：B选项根指数为负、被开方数为0不符合；D选项被开方数为负无意义；C选项两个根式被开方数分别为3和5，不相等，均排除。
【答案】
A
【知识点】
同类二次根式的概念，二次根式有意义的条件，二元一次方程组的解法
【点评】
本题重点考查同类二次根式的判定，解题时不要忽略二次根式根指数为2、被开方数非负的隐含条件，求解后代入验证可避免错选，也可通过排除法快速锁定答案。
【难度系数】
0.7
12.已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：$\sqrt{c^2 -4c +4} - \sqrt{\frac{1}{4}c^2 -4c +16} =$
$\dfrac{3}{2}c-6$
答案
12.$\dfrac{3}{2}c-6$
解析
【分析】
首先利用三角形三边关系确定第三边c的取值范围；再将根号内的多项式因式分解为完全平方形式，结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$把原式转化为含绝对值的式子；最后根据c的取值范围去掉绝对值符号，合并同类项即可完成化简。
【解析】
第一步：根据三角形三边关系求c的取值范围
已知三角形两边长为3和5，因此第三边满足：
$5-3 ＜ c ＜ 5+3$，即$2 ＜ c ＜ 8$
第二步：化简二次根式
对根号内的式子变形为完全平方：
$c^2-4c+4=(c-2)^2$，$\frac{1}{4}c^2-4c+16=(\frac{1}{2}c-4)^2$
因此原式可化为：
$\sqrt{(c-2)^2}-\sqrt{(\frac{1}{2}c-4)^2}=|c-2|-|\frac{1}{2}c-4|$
第三步：去绝对值并化简
由$2 ＜ c ＜ 8$可得：
$c-2＞0$，故$|c-2|=c-2$；
$\frac{1}{2}c-4＜0$，故$|\frac{1}{2}c-4|=4-\frac{1}{2}c$
代入原式得：
$原式=(c-2)-(4-\frac{1}{2}c)=c-2-4+\frac{1}{2}c=\frac{3}{2}c-6$
【答案】
$\dfrac{3}{2}c-6$
【知识点】
三角形三边关系；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是代数化简与几何性质结合的基础题型，解题的核心是先确定参数的取值范围，再结合二次根式和绝对值的性质去符号，需要熟练掌握相关基础性质，避免忽略取值范围直接开平方出错。
【难度系数】
0.7
首先利用三角形三边关系确定第三边c的取值范围；再将根号内的多项式因式分解为完全平方形式，结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$把原式转化为含绝对值的式子；最后根据c的取值范围去掉绝对值符号，合并同类项即可完成化简。
【解析】
第一步：根据三角形三边关系求c的取值范围
已知三角形两边长为3和5，因此第三边满足：
$5-3 ＜ c ＜ 5+3$，即$2 ＜ c ＜ 8$
第二步：化简二次根式
对根号内的式子变形为完全平方：
$c^2-4c+4=(c-2)^2$，$\frac{1}{4}c^2-4c+16=(\frac{1}{2}c-4)^2$
因此原式可化为：
$\sqrt{(c-2)^2}-\sqrt{(\frac{1}{2}c-4)^2}=|c-2|-|\frac{1}{2}c-4|$
第三步：去绝对值并化简
由$2 ＜ c ＜ 8$可得：
$c-2＞0$，故$|c-2|=c-2$；
$\frac{1}{2}c-4＜0$，故$|\frac{1}{2}c-4|=4-\frac{1}{2}c$
代入原式得：
$原式=(c-2)-(4-\frac{1}{2}c)=c-2-4+\frac{1}{2}c=\frac{3}{2}c-6$
【答案】
$\dfrac{3}{2}c-6$
【知识点】
三角形三边关系；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是代数化简与几何性质结合的基础题型，解题的核心是先确定参数的取值范围，再结合二次根式和绝对值的性质去符号，需要熟练掌握相关基础性质，避免忽略取值范围直接开平方出错。
【难度系数】
0.7
13. 使$\sqrt{(3-a)(a+1)}=\sqrt{3-a}·\sqrt{a+1}$成立的所有整数$a$的和是
5
。答案
13.5
解析
【分析】
要使等式$\sqrt{(3-a)(a+1)}=\sqrt{3-a}·\sqrt{a+1}$成立，需符合二次根式乘法法则的适用前提：等式右侧的两个二次根式都有意义，即被开方数均为非负数。我们可以据此列出关于$a$的一元一次不等式组，求解得到$a$的取值范围后，找出范围内的所有整数，再将这些整数相加即可得到结果。
【解析】
根据二次根式乘法法则的成立条件，可得不等式组：
$\begin{cases}3-a≥0 \\a+1≥0\end{cases}$
解不等式$3-a≥0$，得$a≤3$；
解不等式$a+1≥0$，得$a≥-1$；
因此$a$的取值范围为$-1≤ a≤3$。
范围内的整数$a$为：$-1,0,1,2,3$，
所有整数的和为：$-1+0+1+2+3=5$。
【答案】
5
【知识点】
二次根式有意义的条件，二次根式乘法法则，一元一次不等式组解法
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握二次根式乘法运算的前提条件，即参与运算的每个二次根式的被开方数都必须是非负数，求解时注意不要遗漏取值边界处的整数。
【难度系数】
0.75
要使等式$\sqrt{(3-a)(a+1)}=\sqrt{3-a}·\sqrt{a+1}$成立，需符合二次根式乘法法则的适用前提：等式右侧的两个二次根式都有意义，即被开方数均为非负数。我们可以据此列出关于$a$的一元一次不等式组，求解得到$a$的取值范围后，找出范围内的所有整数，再将这些整数相加即可得到结果。
【解析】
根据二次根式乘法法则的成立条件，可得不等式组：
$\begin{cases}3-a≥0 \\a+1≥0\end{cases}$
解不等式$3-a≥0$，得$a≤3$；
解不等式$a+1≥0$，得$a≥-1$；
因此$a$的取值范围为$-1≤ a≤3$。
范围内的整数$a$为：$-1,0,1,2,3$，
所有整数的和为：$-1+0+1+2+3=5$。
【答案】
5
【知识点】
二次根式有意义的条件，二次根式乘法法则，一元一次不等式组解法
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握二次根式乘法运算的前提条件，即参与运算的每个二次根式的被开方数都必须是非负数，求解时注意不要遗漏取值边界处的整数。
【难度系数】
0.75
14. 形如$\sqrt{m\pm2\sqrt{n}}$的化简，只要我们找到两个数$a,b(a＞b＞0)$，使$a+b=m,ab=n$，这样$(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2=m,\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{n}$，于是$\sqrt{m\pm2\sqrt{n}}=\sqrt{(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$。
举例：化简$\sqrt{8+2\sqrt{15}}$。
解：这里$m=8,n=15$。
$\because3+5=8,3×5=15$，
即$(\sqrt{3})^2+(\sqrt{5})^2=8,\sqrt{3}×\sqrt{5}=\sqrt{15}$，
$\therefore\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2}=\sqrt{3}+\sqrt{5}$。
用上述例题的方法化简下列各式：
(1)$\sqrt{7+2\sqrt{10}}$；
(2)$\sqrt{9-4\sqrt{2}}$。
举例：化简$\sqrt{8+2\sqrt{15}}$。
解：这里$m=8,n=15$。
$\because3+5=8,3×5=15$，
即$(\sqrt{3})^2+(\sqrt{5})^2=8,\sqrt{3}×\sqrt{5}=\sqrt{15}$，
$\therefore\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2}=\sqrt{3}+\sqrt{5}$。
用上述例题的方法化简下列各式：
(1)$\sqrt{7+2\sqrt{10}}$；
(2)$\sqrt{9-4\sqrt{2}}$。
答案
14.(1)$\sqrt{2}+\sqrt{5}$ (2)$2\sqrt{2}-1$
解析
【分析】
本题是双重二次根式的化简题，解题思路如下：(1)第一问是$\sqrt{m+2\sqrt{n}}$的标准形式，直接寻找两个正数a、b（a＞b），满足a+b等于根号下的整数部分7，ab等于根号内的被开方数10，再利用完全平方公式将被开方数写成平方形式，结合二次根式的性质开方即可。(2)第二问根号内的根号项系数是4，不是标准的2，因此先将系数转化为2的形式，把剩余的系数放进根号内，得到$\sqrt{m-2\sqrt{n}}$的标准形式，再按同样的方法找a、b化简，注意开方结果为非负数，因此取$\sqrt{a}-\sqrt{b}$（a＞b）的形式。
【解析】
(1) 化简$\sqrt{7+2\sqrt{10}}$：
这里$m=7$，$n=10$，
$\because 2+5=7$，$2×5=10$，
即$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{5})^2=7$，$\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{10}$，
$\therefore \sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2}=\sqrt{2}+\sqrt{5}$。
(2) 化简$\sqrt{9-4\sqrt{2}}$：
先将原式转化为标准形式：$\sqrt{9-4\sqrt{2}}=\sqrt{9-2×2\sqrt{2}}=\sqrt{9-2\sqrt{2^2×2}}=\sqrt{9-2\sqrt{8}}$，
此时$m=9$，$n=8$，
$\because 8+1=9$，$8×1=8$，
即$(\sqrt{8})^2+(\sqrt{1})^2=9$，$\sqrt{8}×\sqrt{1}=\sqrt{8}$，
$\therefore \sqrt{9-4\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{8}-\sqrt{1})^2}=\sqrt{8}-\sqrt{1}=2\sqrt{2}-1$。
【答案】
(1)$\sqrt{2}+\sqrt{5}$ (2)$2\sqrt{2}-1$
【知识点】
二次根式的性质；完全平方公式；双重二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式化简的典型题型，核心是掌握将双重二次根式转化为完全平方式开方的技巧，解题时需先观察是否为标准的$\sqrt{m\pm2\sqrt{n}}$形式，非标准形式要先变形，最终化简结果需保证非负。
【难度系数】
0.7
本题是双重二次根式的化简题，解题思路如下：(1)第一问是$\sqrt{m+2\sqrt{n}}$的标准形式，直接寻找两个正数a、b（a＞b），满足a+b等于根号下的整数部分7，ab等于根号内的被开方数10，再利用完全平方公式将被开方数写成平方形式，结合二次根式的性质开方即可。(2)第二问根号内的根号项系数是4，不是标准的2，因此先将系数转化为2的形式，把剩余的系数放进根号内，得到$\sqrt{m-2\sqrt{n}}$的标准形式，再按同样的方法找a、b化简，注意开方结果为非负数，因此取$\sqrt{a}-\sqrt{b}$（a＞b）的形式。
【解析】
(1) 化简$\sqrt{7+2\sqrt{10}}$：
这里$m=7$，$n=10$，
$\because 2+5=7$，$2×5=10$，
即$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{5})^2=7$，$\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{10}$，
$\therefore \sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2}=\sqrt{2}+\sqrt{5}$。
(2) 化简$\sqrt{9-4\sqrt{2}}$：
先将原式转化为标准形式：$\sqrt{9-4\sqrt{2}}=\sqrt{9-2×2\sqrt{2}}=\sqrt{9-2\sqrt{2^2×2}}=\sqrt{9-2\sqrt{8}}$，
此时$m=9$，$n=8$，
$\because 8+1=9$，$8×1=8$，
即$(\sqrt{8})^2+(\sqrt{1})^2=9$，$\sqrt{8}×\sqrt{1}=\sqrt{8}$，
$\therefore \sqrt{9-4\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{8}-\sqrt{1})^2}=\sqrt{8}-\sqrt{1}=2\sqrt{2}-1$。
【答案】
(1)$\sqrt{2}+\sqrt{5}$ (2)$2\sqrt{2}-1$
【知识点】
二次根式的性质；完全平方公式；双重二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式化简的典型题型，核心是掌握将双重二次根式转化为完全平方式开方的技巧，解题时需先观察是否为标准的$\sqrt{m\pm2\sqrt{n}}$形式，非标准形式要先变形，最终化简结果需保证非负。
【难度系数】
0.7
15.我们知道两个数的和为2,这两个数的平均数为1,按照这样简单的数学知识,我们给出一个新的数学概念,若$a+b=2$,则$a$与$b$的平均数是1,我们称$a$与$b$是关于1的平衡数.例:3与$-1$是关于1的平衡数.根据以上材料,解答下列问题:
(1)4与
(2)若$(m+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=-5+3\sqrt{3}$,试判断$m+\sqrt{3}$与$5-\sqrt{3}$是不是关于1的平衡数.
(1)4与
$-2$
是关于1的平衡数;5−$\sqrt{2}$与$-3+\sqrt{2}$
是关于1的平衡数;(2)若$(m+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=-5+3\sqrt{3}$,试判断$m+\sqrt{3}$与$5-\sqrt{3}$是不是关于1的平衡数.
答案
15.(1)$-2\quad -3+\sqrt{2}$ (2)不是
解析
【分析】
解题的核心是准确理解“关于1的平衡数”的定义：若两个数是关于1的平衡数，则两数之和为2。第(1)问已知其中一个数，直接用2减去已知数即可求出对应的平衡数；第(2)问先通过给定的等式求出m的值，再计算两个数的和，判断和是否等于2即可得出结论。
【解析】
根据题意，若两个数是关于1的平衡数，则两数之和为2。
(1) 设4对应的平衡数为x，可得：
$4 + x = 2$，解得$x = 2 - 4 = -2$；
设$5-\sqrt{2}$对应的平衡数为y，可得：
$5-\sqrt{2} + y = 2$，解得$y = 2 - (5-\sqrt{2}) = -3+\sqrt{2}$。
(2) 先求解m的值：
展开等式左边：$(m+\sqrt{3})(1-\sqrt{3}) = m(1-\sqrt{3}) + \sqrt{3}(1-\sqrt{3}) = m - m\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3$
整理得：$(m - 3) + (1 - m)\sqrt{3} = -5 + 3\sqrt{3}$
对应常数项和二次根式项的系数分别相等，可得：
$m - 3 = -5$，解得$m = -2$，代入验证二次根式系数：$1 - (-2) = 3$，符合等式。
再计算$m+\sqrt{3}$与$5-\sqrt{3}$的和：
将$m=-2$代入得：$(-2+\sqrt{3}) + (5-\sqrt{3}) = 3$
因为$3 ≠ 2$，不符合关于1的平衡数的定义。
【答案】
(1)$-2$；$-3+\sqrt{2}$ (2)不是
【知识点】
新定义运算，二次根式混合运算，代数式求值
【点评】
本题以新定义为载体，考查基础运算能力，解题的关键是抓住新定义的核心规则，再结合二次根式、整式运算的知识求解，计算时要注意合并同类项，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题的核心是准确理解“关于1的平衡数”的定义：若两个数是关于1的平衡数，则两数之和为2。第(1)问已知其中一个数，直接用2减去已知数即可求出对应的平衡数；第(2)问先通过给定的等式求出m的值，再计算两个数的和，判断和是否等于2即可得出结论。
【解析】
根据题意，若两个数是关于1的平衡数，则两数之和为2。
(1) 设4对应的平衡数为x，可得：
$4 + x = 2$，解得$x = 2 - 4 = -2$；
设$5-\sqrt{2}$对应的平衡数为y，可得：
$5-\sqrt{2} + y = 2$，解得$y = 2 - (5-\sqrt{2}) = -3+\sqrt{2}$。
(2) 先求解m的值：
展开等式左边：$(m+\sqrt{3})(1-\sqrt{3}) = m(1-\sqrt{3}) + \sqrt{3}(1-\sqrt{3}) = m - m\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3$
整理得：$(m - 3) + (1 - m)\sqrt{3} = -5 + 3\sqrt{3}$
对应常数项和二次根式项的系数分别相等，可得：
$m - 3 = -5$，解得$m = -2$，代入验证二次根式系数：$1 - (-2) = 3$，符合等式。
再计算$m+\sqrt{3}$与$5-\sqrt{3}$的和：
将$m=-2$代入得：$(-2+\sqrt{3}) + (5-\sqrt{3}) = 3$
因为$3 ≠ 2$，不符合关于1的平衡数的定义。
【答案】
(1)$-2$；$-3+\sqrt{2}$ (2)不是
【知识点】
新定义运算，二次根式混合运算，代数式求值
【点评】
本题以新定义为载体，考查基础运算能力，解题的关键是抓住新定义的核心规则，再结合二次根式、整式运算的知识求解，计算时要注意合并同类项，避免出错。
【难度系数】
0.7
16. 如图3,从一张面积为$80\ \mathrm{cm}^2$的正方形纸板的四个角上各剪掉一个面积为$5\ \mathrm{cm}^2$的小正方形,将剩余部分制成一个无盖的长方体盒子.
(1)原来大正方形的边长为
(2)求这个长方体盒子的底面边长和体积(参考数据:$\sqrt{2} \approx 1.41,\sqrt{3} \approx 1.73,\sqrt{5} \approx 2.24$).
(1)原来大正方形的边长为
$4\sqrt{5}$
cm,剪掉的小正方形的边长为$\sqrt{5}$
cm;(2)求这个长方体盒子的底面边长和体积(参考数据:$\sqrt{2} \approx 1.41,\sqrt{3} \approx 1.73,\sqrt{5} \approx 2.24$).
答案
16.(1)$4\sqrt{5}\quad \sqrt{5}$
(2)这个长方体盒子的底面边长约为 4.48 cm，体积约为 44.8 $\mathrm{cm}^3$.
(2)这个长方体盒子的底面边长约为 4.48 cm，体积约为 44.8 $\mathrm{cm}^3$.
解析
【分析】
第(1)问可利用正方形面积与边长的关系求解：正方形面积等于边长的平方，因此已知面积求边长时，对面积取算术平方根即可，分别代入大、小正方形的面积就能求出对应边长。
第(2)问先分析裁剪后边长的关系：长方体底面是正方形，边长等于原大正方形边长减去两侧剪掉的2个小正方形的边长；长方体的高与小正方形边长相等，再结合长方体体积=底面积×高的公式，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 设大正方形边长为$a$，由正方形面积公式$S=a^2$，已知大正方形面积为$80\ \mathrm{cm}^2$，得$a=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
设小正方形边长为$b$，已知小正方形面积为$5\ \mathrm{cm}^2$，同理得$b=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
(2) 长方体盒子底面边长：$4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=2\sqrt{5}\approx2×2.24=4.48\ \mathrm{cm}$；
长方体盒子的高等于小正方形边长$\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，则体积为：
$V=(2\sqrt{5})^2×\sqrt{5}=20×\sqrt{5}\approx20×2.24=44.8\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1) $4\sqrt{5}$；$\sqrt{5}$
(2) 底面边长约为4.48 cm，体积约为44.8 $\mathrm{cm}^3$
【知识点】
算术平方根计算；二次根式应用；长方体体积计算
【点评】
本题结合二次根式运算与几何实际应用，考察正方形面积、长方体体积公式的掌握，以及二次根式化简、近似计算的能力，解题关键是理清裁剪后各边长的数量关系。
【难度系数】
0.7
第(1)问可利用正方形面积与边长的关系求解：正方形面积等于边长的平方，因此已知面积求边长时，对面积取算术平方根即可，分别代入大、小正方形的面积就能求出对应边长。
第(2)问先分析裁剪后边长的关系：长方体底面是正方形，边长等于原大正方形边长减去两侧剪掉的2个小正方形的边长；长方体的高与小正方形边长相等，再结合长方体体积=底面积×高的公式，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 设大正方形边长为$a$，由正方形面积公式$S=a^2$，已知大正方形面积为$80\ \mathrm{cm}^2$，得$a=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
设小正方形边长为$b$，已知小正方形面积为$5\ \mathrm{cm}^2$，同理得$b=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
(2) 长方体盒子底面边长：$4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=2\sqrt{5}\approx2×2.24=4.48\ \mathrm{cm}$；
长方体盒子的高等于小正方形边长$\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，则体积为：
$V=(2\sqrt{5})^2×\sqrt{5}=20×\sqrt{5}\approx20×2.24=44.8\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1) $4\sqrt{5}$；$\sqrt{5}$
(2) 底面边长约为4.48 cm，体积约为44.8 $\mathrm{cm}^3$
【知识点】
算术平方根计算；二次根式应用；长方体体积计算
【点评】
本题结合二次根式运算与几何实际应用，考察正方形面积、长方体体积公式的掌握，以及二次根式化简、近似计算的能力，解题关键是理清裁剪后各边长的数量关系。
【难度系数】
0.7
