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10.如图3，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，其对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，那么CE的长为
$\frac{25}{8}$
。答案
10.$\frac{25}{8}$
解析
【分析】
解题时首先根据线段垂直平分线的性质可得AE=CE，再结合矩形的性质得到CD、AD的长度以及∠D为直角，设CE的长为未知数，用含未知数的式子表示出DE的长度，最后在Rt△CDE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形
∴CD=AB=3，AD=BC=4，∠D=90°
∵EO是AC的垂直平分线
∴AE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
设CE=x，则AE=x，DE=AD-AE=4-x
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CD^2 + DE^2 = CE^2$
代入得：$3^2 + (4-x)^2 = x^2$
展开计算：$9 + 16 - 8x + x^2 = x^2$
整理得：$25 = 8x$
解得：$x=\frac{25}{8}$
【答案】
$\frac{25}{8}$
【知识点】
矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质实现边的等量转换，再结合勾股定理通过方程思想求解线段长度，是平面几何中常见的考查形式。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据线段垂直平分线的性质可得AE=CE，再结合矩形的性质得到CD、AD的长度以及∠D为直角，设CE的长为未知数，用含未知数的式子表示出DE的长度，最后在Rt△CDE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形
∴CD=AB=3，AD=BC=4，∠D=90°
∵EO是AC的垂直平分线
∴AE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
设CE=x，则AE=x，DE=AD-AE=4-x
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CD^2 + DE^2 = CE^2$
代入得：$3^2 + (4-x)^2 = x^2$
展开计算：$9 + 16 - 8x + x^2 = x^2$
整理得：$25 = 8x$
解得：$x=\frac{25}{8}$
【答案】
$\frac{25}{8}$
【知识点】
矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质实现边的等量转换，再结合勾股定理通过方程思想求解线段长度，是平面几何中常见的考查形式。
【难度系数】
0.7
11.李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱里剩余油量y(升)与行驶里程x(千米)之间是一次函数关系，其图象如图4所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是
40.8
升.答案
11.40.8
解析
【分析】
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：首先已知剩余油量y与行驶里程x是一次函数关系，因此优先考虑用待定系数法求解函数解析式：第一步设一次函数的一般形式y=kx+b（k≠0）；第二步从函数图像中提取两个点的坐标，分别是行驶里程为0时的初始油量对应点(0,60)，以及行驶100千米时剩余油量对应点(100,52)；第三步将两个点代入解析式求出k、b的值，得到完整的函数关系式；最后将乙地对应的行驶里程x=240代入解析式，计算得到的y值就是到达乙地时的剩余油量。
【解析】
解：设剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）的函数解析式为$ y=kx+b $（$ k≠0 $）。
由函数图象可知，该函数过点$(0,60)$和$(100,52)$。
将$(0,60)$代入解析式，得：
$ 60 = 0× k + b $，解得$ b=60 $。
将$ b=60 $和$(100,52)$代入解析式，得：
$ 52 = 100k + 60 $
移项得：$ 100k = 52 - 60 = -8 $
解得：$ k=-0.08 $
因此函数解析式为$ y = -0.08x + 60 $。
已知甲乙两地相距240千米，即行驶里程$ x=240 $，代入解析式得：
$ y = -0.08×240 + 60 = -19.2 + 60 = 40.8 $
即到达乙地时油箱剩余油量是40.8升。
【答案】
40.8
【知识点】
1. 一次函数的实际应用
2. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题结合出行油耗的生活场景考查一次函数的应用，核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，解题时要注意从图像中准确提取有效信息，代入计算时要保证数值运算的准确性。
【难度系数】
0.7
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：首先已知剩余油量y与行驶里程x是一次函数关系，因此优先考虑用待定系数法求解函数解析式：第一步设一次函数的一般形式y=kx+b（k≠0）；第二步从函数图像中提取两个点的坐标，分别是行驶里程为0时的初始油量对应点(0,60)，以及行驶100千米时剩余油量对应点(100,52)；第三步将两个点代入解析式求出k、b的值，得到完整的函数关系式；最后将乙地对应的行驶里程x=240代入解析式，计算得到的y值就是到达乙地时的剩余油量。
【解析】
解：设剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）的函数解析式为$ y=kx+b $（$ k≠0 $）。
由函数图象可知，该函数过点$(0,60)$和$(100,52)$。
将$(0,60)$代入解析式，得：
$ 60 = 0× k + b $，解得$ b=60 $。
将$ b=60 $和$(100,52)$代入解析式，得：
$ 52 = 100k + 60 $
移项得：$ 100k = 52 - 60 = -8 $
解得：$ k=-0.08 $
因此函数解析式为$ y = -0.08x + 60 $。
已知甲乙两地相距240千米，即行驶里程$ x=240 $，代入解析式得：
$ y = -0.08×240 + 60 = -19.2 + 60 = 40.8 $
即到达乙地时油箱剩余油量是40.8升。
【答案】
40.8
【知识点】
1. 一次函数的实际应用
2. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题结合出行油耗的生活场景考查一次函数的应用，核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，解题时要注意从图像中准确提取有效信息，代入计算时要保证数值运算的准确性。
【难度系数】
0.7
12.如图5，已知D是△ABC的边AB上一点，CE//AB，DE交AC于点O，且OA=OC。猜想线段CD与线段AE的数量关系和位置关系，并证明。
答案
12.$CD=AE,且CD// AE,证明略.$
解析
【分析】
要判断CD与AE的数量和位置关系，可结合已知条件逐步推导：首先由CE//AB可得一组内错角相等，结合OA=OC、对顶角相等，可先证明△AOD和△COE全等，得到AD与CE平行且相等，即可判定四边形ADCE是平行四边形，最后根据平行四边形的性质就能得到CD和AE的关系。
【解析】
猜想：$CD=AE$，且$CD// AE$，证明如下：
$\because CE// AB$，
$\therefore ∠ OAD=∠ OCE$（两直线平行，内错角相等），
在$△ AOD$和$△ COE$中：
$\begin{cases}∠ OAD=∠ OCE \\OA=OC \\∠ AOD=∠ COE（对顶角相等）\end{cases}$
$\therefore △ AOD≌△ COE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AD=CE$，
又$\because AD// CE$，
$\therefore$四边形$ADCE$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
$\therefore CD=AE$，$CD// AE$（平行四边形的对边平行且相等）。
【答案】
$CD=AE$，且$CD// AE$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先利用平行线性质和已知边相等证明三角形全等，得到边的等量关系后判定平行四边形，最终推导出所求线段的关系，能够很好地考查学生对全等三角形、平行四边形相关知识的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断CD与AE的数量和位置关系，可结合已知条件逐步推导：首先由CE//AB可得一组内错角相等，结合OA=OC、对顶角相等，可先证明△AOD和△COE全等，得到AD与CE平行且相等，即可判定四边形ADCE是平行四边形，最后根据平行四边形的性质就能得到CD和AE的关系。
【解析】
猜想：$CD=AE$，且$CD// AE$，证明如下：
$\because CE// AB$，
$\therefore ∠ OAD=∠ OCE$（两直线平行，内错角相等），
在$△ AOD$和$△ COE$中：
$\begin{cases}∠ OAD=∠ OCE \\OA=OC \\∠ AOD=∠ COE（对顶角相等）\end{cases}$
$\therefore △ AOD≌△ COE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AD=CE$，
又$\because AD// CE$，
$\therefore$四边形$ADCE$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
$\therefore CD=AE$，$CD// AE$（平行四边形的对边平行且相等）。
【答案】
$CD=AE$，且$CD// AE$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先利用平行线性质和已知边相等证明三角形全等，得到边的等量关系后判定平行四边形，最终推导出所求线段的关系，能够很好地考查学生对全等三角形、平行四边形相关知识的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
13.某学校举办网络安全知识竞赛,初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛,初、高中部各选出的5名选手的决赛成绩如图6所示.
对图中的数据进行整理、分析,制成下表:
(1)求$a,b,c$的值.
(2)结合两队决赛成绩的平均数和中位数进行分析,哪个代表队的选手成绩较好?
(3)计算初中代表队决赛成绩的方差,并判断哪个代表队的选手成绩较为稳定.
对图中的数据进行整理、分析,制成下表:
(1)求$a,b,c$的值.
(2)结合两队决赛成绩的平均数和中位数进行分析,哪个代表队的选手成绩较好?
(3)计算初中代表队决赛成绩的方差,并判断哪个代表队的选手成绩较为稳定.
答案
13.(1)$a=85\quad b=85\quad c=80$
(2)初中代表队
(3)$s^2_{初中}=70,初中代表队$
(2)初中代表队
(3)$s^2_{初中}=70,初中代表队$
解析
【分析】
（1）求a、b、c的值需先明确对应统计量的定义：a为初中代表队成绩的平均数，用所有成绩总和除以人数即可计算；b为初中代表队成绩的中位数，将成绩从小到大排序后取中间位置的数即可；c为高中代表队成绩的众数，找成绩中出现次数最多的数即可。
（2）比较两队成绩优劣时，若平均数相同，中位数越高说明队里中等水平的成绩越好，整体成绩更优。
（3）根据方差公式代入初中队成绩计算数值，方差越小说明成绩波动越小、越稳定，对比两队方差大小即可判断稳定性。
【解析】
（1）已知初中代表队5名选手的决赛成绩为75、80、85、85、100：
① 平均数计算：$a=\frac{75+80+85+85+100}{5}=\frac{425}{5}=85$；
② 把初中成绩从小到大排序为75、80、85、85、100，第3个数据为中位数，即$b=85$；
③ 统计高中代表队成绩，80出现次数最多，故众数$c=80$。
（2）由题意可知初、高中代表队决赛成绩的平均数相同，初中代表队成绩的中位数85大于高中代表队的中位数，因此初中代表队的选手成绩较好。
（3）根据方差公式计算初中代表队成绩的方差：
$\begin{aligned}s^2_{初中}&=\frac{1}{5}[(75-85)^2+(80-85)^2+(85-85)^2+(85-85)^2+(100-85)^2]\\&=\frac{1}{5}[100+25+0+0+225]\\&=\frac{1}{5}×350\\&=70\end{aligned}$
因为初中代表队的方差小于高中代表队的方差，方差越小成绩越稳定，所以初中代表队的选手成绩较为稳定。
【答案】
(1)$a=85\quad b=85\quad c=80$
(2)初中代表队
(3)$s^2_{初中}=70,初中代表队$
【知识点】
统计量计算，方差的意义，统计量实际应用
【点评】
本题结合生活中的竞赛场景考查统计相关知识，需要熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的定义和计算方法，能结合不同统计量的特征分析实际问题，属于统计模块的基础常考题。
【难度系数】
0.7
（1）求a、b、c的值需先明确对应统计量的定义：a为初中代表队成绩的平均数，用所有成绩总和除以人数即可计算；b为初中代表队成绩的中位数，将成绩从小到大排序后取中间位置的数即可；c为高中代表队成绩的众数，找成绩中出现次数最多的数即可。
（2）比较两队成绩优劣时，若平均数相同，中位数越高说明队里中等水平的成绩越好，整体成绩更优。
（3）根据方差公式代入初中队成绩计算数值，方差越小说明成绩波动越小、越稳定，对比两队方差大小即可判断稳定性。
【解析】
（1）已知初中代表队5名选手的决赛成绩为75、80、85、85、100：
① 平均数计算：$a=\frac{75+80+85+85+100}{5}=\frac{425}{5}=85$；
② 把初中成绩从小到大排序为75、80、85、85、100，第3个数据为中位数，即$b=85$；
③ 统计高中代表队成绩，80出现次数最多，故众数$c=80$。
（2）由题意可知初、高中代表队决赛成绩的平均数相同，初中代表队成绩的中位数85大于高中代表队的中位数，因此初中代表队的选手成绩较好。
（3）根据方差公式计算初中代表队成绩的方差：
$\begin{aligned}s^2_{初中}&=\frac{1}{5}[(75-85)^2+(80-85)^2+(85-85)^2+(85-85)^2+(100-85)^2]\\&=\frac{1}{5}[100+25+0+0+225]\\&=\frac{1}{5}×350\\&=70\end{aligned}$
因为初中代表队的方差小于高中代表队的方差，方差越小成绩越稳定，所以初中代表队的选手成绩较为稳定。
【答案】
(1)$a=85\quad b=85\quad c=80$
(2)初中代表队
(3)$s^2_{初中}=70,初中代表队$
【知识点】
统计量计算，方差的意义，统计量实际应用
【点评】
本题结合生活中的竞赛场景考查统计相关知识，需要熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的定义和计算方法，能结合不同统计量的特征分析实际问题，属于统计模块的基础常考题。
【难度系数】
0.7
