【项目化情境与问题】
某学习小组在参观画展时，一同学发现作品甲的边框是矩形，它的长、宽、周长$ C_甲 $和面积$ S_甲 $分别如图①所示。这名同学据此提出了一个有趣的问题：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半？

【项目探究】
小组成员对该同学提出的问题进行了如下探究，从矩形甲入手，逐次递进。
探究1：小组成员研究过后得知，一定存在另一个矩形乙，使得$ \frac{C_乙}{C_甲} = \frac{S_乙}{S_甲} = \frac{1}{2} $。设矩形乙的长为$ x $，宽为$ y $，请你完成图②的填空。
$ x= $，$ y= $，$ C_乙= $，$ S_乙= $
探究2：是否存在矩形丙，使得$ \frac{C_丙}{C_乙} = \frac{S_丙}{S_乙} = \frac{1}{2} $成立？若存在，请求出矩形丙的长和宽；若不存在，请说明理由。

【项目成果应用】
(1)已知矩形A的长为$ m $，宽为1($ m＞1 $)，若一定存在矩形B，使得$ \frac{C_B}{C_A} = \frac{S_B}{S_A} = \frac{1}{2} $成立，请直接写出$ m $的最小值。
(2)已知$ x $和$ y $分别表示矩形B相邻两边的长，矩形B的面积为4，且$ x,y $满足的一次函数图象如图所示，结合刚才的研究解答下列问题：
①满足条件的矩形B相邻两边的长是多少？
②满足$ \frac{C_B}{C_A} = \frac{S_B}{S_A} = \frac{1}{2} $的矩形A的相邻两边长是多少？

探究1：
探究2：不存在.
理由:假设存在矩形丙,使得$\frac{C_{丙}}{C_{乙}}=\frac{S_{丙}}{S_{乙}}=\frac{1}{2}$成立,
则$C_{丙}=\frac{C_{乙}}{2}=\frac{28}{2}=14,S_{丙}=\frac{S_{乙}}{2}=\frac{48}{2}=24.$
设矩形丙的一条边长为a,则其邻边长为7-a,
$\therefore S_{丙}=a· (7-a)=-a^{2}+7a=24,即a^{2}-7a+24=0.$
$\therefore \Delta=(-7)^{2}-4× 1× 24=-47＜0,$
$\therefore$方程无解,$\therefore$不存在矩形丙,使得$\frac{C_{丙}}{C_{乙}}=\frac{S_{丙}}{S_{乙}}=\frac{1}{2}$成立.
(1)$m$ 的最小值为 $3+2\sqrt{2}$.
(2)设矩形 B 的周长为 $k$,
$\because x$ 和 $y$ 分别表示矩形 B 相邻两边的长,矩形 B 的面积为 4,
$\therefore 2(x+y)=k,xy=4.\therefore y=-x+\frac{k}{2}.$
$\because$直线 $y=-x+\frac{k}{2}$ 过点(0,4.5),
$\therefore k=9.\therefore x+y=4.5.$
①解方程组 $\begin{cases} x+y=4.5,\\ xy=4, \end{cases}$
得$\begin{cases} x=\frac{9+\sqrt{17}}{4},\\ y=\frac{9-\sqrt{17}}{4} \end{cases}$或$\begin{cases} x=\frac{9-\sqrt{17}}{4},\\ y=\frac{9+\sqrt{17}}{4}, \end{cases}$
$\therefore$满足条件的矩形 B 的相邻两边长为$\frac{9+\sqrt{17}}{4}$和$\frac{9-\sqrt{17}}{4}$.
②由题意可知 $C_A=2k=18,S_A=2S_B=8.$
设矩形 A 的相邻两边长是 $m,n$,
$\therefore \begin{cases} 2(m+n)=18,\\ mn=8, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=8,\\ n=1 \end{cases}$或$\begin{cases} m=1,\\ n=8, \end{cases}$
$\therefore$矩形 A 的相邻两边长为 1 和 8.