登录
16.已知$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2+(2a-1)x+a^2=0$的两个实数根，且$(x_1+2)(x_2+2)=11$，求$a$的值.
答案
16.依题意，
有$x_1+x_2=1-2a,x_1· x_2=a^2$.
又$(x_1+2)(x_2+2)=11$,
$\therefore x_1x_2+2(x_1+x_2)+4=11$.
$\therefore a^2+2(1-2a)-7=0$,
$a^2-4a-5=0$.
$\therefore a=5$或$a=-1$.
又$\because \Delta=(2a-1)^2-4a^2=1-4a≥0$,
$\therefore a≤\frac{1}{4}$.
$\therefore a=5$不合题意,舍去.
$\therefore a=-1$.
有$x_1+x_2=1-2a,x_1· x_2=a^2$.
又$(x_1+2)(x_2+2)=11$,
$\therefore x_1x_2+2(x_1+x_2)+4=11$.
$\therefore a^2+2(1-2a)-7=0$,
$a^2-4a-5=0$.
$\therefore a=5$或$a=-1$.
又$\because \Delta=(2a-1)^2-4a^2=1-4a≥0$,
$\therefore a≤\frac{1}{4}$.
$\therefore a=5$不合题意,舍去.
$\therefore a=-1$.
17.已知一元二次方程$x^2 -4x +k=0$有两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围；
(2)如果$k$是符合条件的最大整数,且一元二次方程$x^2 -4x +k=0$与$x^2 +mx -1=0$有一个相同的根,求此时$m$的值.
(1)求$k$的取值范围；
(2)如果$k$是符合条件的最大整数,且一元二次方程$x^2 -4x +k=0$与$x^2 +mx -1=0$有一个相同的根,求此时$m$的值.
答案
17.(1)$\because$一元二次方程$x^2-4x+k=0$有两个不相等的实数根，
$\therefore \Delta=16-4k＞0. \therefore k＜4$.
(2)当$k=3$时,解$x^2-4x+3=0$,
得$x_1=3,x_2=1$.
当$x=3$时,$m=-\frac{8}{3}$;
当$x=1$时,$m=0$.
$\therefore \Delta=16-4k＞0. \therefore k＜4$.
(2)当$k=3$时,解$x^2-4x+3=0$,
得$x_1=3,x_2=1$.
当$x=3$时,$m=-\frac{8}{3}$;
当$x=1$时,$m=0$.
