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11 如图，在$△ ABC$中，$AB=8$，$BC=6$，$∠ B$为锐角且$\cos B=\dfrac{1}{2}$，求$\tan C$的值。
答案
11. $2\sqrt{3}$
解析
【分析】
要求$\tan C$的值，需将$∠ C$放在直角三角形中求解，因此先过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，构造出两个直角三角形。首先在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，利用已知的$\cos B$和$AB$的长度求出$BD$、$AD$的长，再结合$BC$的长度求出$CD$的长，最后在$\mathrm{Rt}△ ADC$中根据正切的定义即可求出$\tan C$的值。
【解析】
解：过点$A$作$AD⊥ BC$，垂足为$D$，则$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\cos B=\dfrac{BD}{AB}$，已知$AB=8$，$\cos B=\dfrac{1}{2}$，
$\therefore BD=AB·\cos B=8×\dfrac{1}{2}=4$，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，
$\because BC=6$，$\therefore CD=BC-BD=6-4=2$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\tan C=\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题是基础的解直角三角形题型，解题核心是通过作高构造直角三角形，灵活运用锐角三角函数的定义和勾股定理计算相关边长，掌握构造直角三角形的思路是解题的关键。
【难度系数】
0.75
要求$\tan C$的值，需将$∠ C$放在直角三角形中求解，因此先过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，构造出两个直角三角形。首先在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，利用已知的$\cos B$和$AB$的长度求出$BD$、$AD$的长，再结合$BC$的长度求出$CD$的长，最后在$\mathrm{Rt}△ ADC$中根据正切的定义即可求出$\tan C$的值。
【解析】
解：过点$A$作$AD⊥ BC$，垂足为$D$，则$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\cos B=\dfrac{BD}{AB}$，已知$AB=8$，$\cos B=\dfrac{1}{2}$，
$\therefore BD=AB·\cos B=8×\dfrac{1}{2}=4$，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，
$\because BC=6$，$\therefore CD=BC-BD=6-4=2$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\tan C=\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题是基础的解直角三角形题型，解题核心是通过作高构造直角三角形，灵活运用锐角三角函数的定义和勾股定理计算相关边长，掌握构造直角三角形的思路是解题的关键。
【难度系数】
0.75
12 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线。过点A作AE⊥CD,垂足为点M,交BC于点E,AM=2CM。
(1) 求sinB的值。
(2) 若CD=√5,求BC的长。
(1) 求sinB的值。
(2) 若CD=√5,求BC的长。
答案
12.(1) 由 $∠ ACB = 90°$, $AE ⊥ CD$, 可得 $∠ CAE = ∠ ECM$。由 $∠ ACB = 90°$, $CD$ 是 $AB$ 边上的中线, 可得 $CD = BD$, 所以 $∠ B = ∠ ECM$, 所以 $∠ B = ∠ CAE$, 所以 $\sin B = \sin ∠ CAE = \frac{CM}{AC} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
(2) 因为 $CD = \sqrt{5}$, 所以 $AB = 2CD = 2\sqrt{5}$, 所以 $AC = AB · \sin B = 2\sqrt{5} × \frac{\sqrt{5}}{5} = 2$, 所以 $BC = 2AC = 4$。
(2) 因为 $CD = \sqrt{5}$, 所以 $AB = 2CD = 2\sqrt{5}$, 所以 $AC = AB · \sin B = 2\sqrt{5} × \frac{\sqrt{5}}{5} = 2$, 所以 $BC = 2AC = 4$。
解析
【分析】
(1) 求$\sin B$的值时，先利用直角三角形斜边中线性质可得$CD=BD$，推出$∠ B=∠ BCD$；再结合$∠ ACB=90°$、$AE⊥ CD$，根据同角的余角相等可证$∠ CAE=∠ BCD$，等量代换得$∠ B=∠ CAE$，即可将求$\sin B$转化为求$\mathrm{Rt}△ ACM$中$∠ CAE$的正弦值，结合$AM=2CM$的条件即可计算。
(2) 求$BC$的长时，先利用直角三角形斜边中线性质求出斜边$AB$的长度，再结合(1)中得到的$\sin B$的值求出$AC$的长度，最后通过勾股定理即可算出$BC$的长度。
【解析】
(1) 解：
$\because ∠ ACB=90°$，$AE⊥ CD$，
$\therefore ∠ CAE+∠ ACM=90°$，$∠ ECM+∠ ACM=90°$，
$\therefore ∠ CAE=∠ ECM$（同角的余角相等）。
又$\because ∠ ACB=90°$，$CD$是$AB$边上的中线，
$\therefore CD=BD=AD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
$\therefore ∠ B=∠ ECM$，
$\therefore ∠ B=∠ CAE$。
设$CM=x$，$\because AM=2CM$，$\therefore AM=2x$，
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{(2x)^2+x^2}=\sqrt{5}x$，
$\therefore \sin∠ CAE=\frac{CM}{AC}=\frac{x}{\sqrt{5}x}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore \sin B=\sin∠ CAE=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
(2) 解：
$\because CD$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边$AB$的中线，$CD=\sqrt{5}$，
$\therefore AB=2CD=2\sqrt{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore AC=AB·\sin B=2\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}=2$。
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{20-4}=\sqrt{16}=4$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{5}}{5}$；(2) $4$
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，锐角三角函数，勾股定理
【点评】
本题综合考查了直角三角形的性质与解直角三角形的应用，解题的关键是通过角的互余关系和斜边中线的性质完成角的等量转化，将未知角的三角函数值转化到已知边长关系的直角三角形中求解，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 求$\sin B$的值时，先利用直角三角形斜边中线性质可得$CD=BD$，推出$∠ B=∠ BCD$；再结合$∠ ACB=90°$、$AE⊥ CD$，根据同角的余角相等可证$∠ CAE=∠ BCD$，等量代换得$∠ B=∠ CAE$，即可将求$\sin B$转化为求$\mathrm{Rt}△ ACM$中$∠ CAE$的正弦值，结合$AM=2CM$的条件即可计算。
(2) 求$BC$的长时，先利用直角三角形斜边中线性质求出斜边$AB$的长度，再结合(1)中得到的$\sin B$的值求出$AC$的长度，最后通过勾股定理即可算出$BC$的长度。
【解析】
(1) 解：
$\because ∠ ACB=90°$，$AE⊥ CD$，
$\therefore ∠ CAE+∠ ACM=90°$，$∠ ECM+∠ ACM=90°$，
$\therefore ∠ CAE=∠ ECM$（同角的余角相等）。
又$\because ∠ ACB=90°$，$CD$是$AB$边上的中线，
$\therefore CD=BD=AD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
$\therefore ∠ B=∠ ECM$，
$\therefore ∠ B=∠ CAE$。
设$CM=x$，$\because AM=2CM$，$\therefore AM=2x$，
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{(2x)^2+x^2}=\sqrt{5}x$，
$\therefore \sin∠ CAE=\frac{CM}{AC}=\frac{x}{\sqrt{5}x}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore \sin B=\sin∠ CAE=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
(2) 解：
$\because CD$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边$AB$的中线，$CD=\sqrt{5}$，
$\therefore AB=2CD=2\sqrt{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore AC=AB·\sin B=2\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}=2$。
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{20-4}=\sqrt{16}=4$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{5}}{5}$；(2) $4$
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，锐角三角函数，勾股定理
【点评】
本题综合考查了直角三角形的性质与解直角三角形的应用，解题的关键是通过角的互余关系和斜边中线的性质完成角的等量转化，将未知角的三角函数值转化到已知边长关系的直角三角形中求解，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
13 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,sin A=$\frac{4}{5}$,BC=8,D是AB中点,过点B作直线CD的垂线,垂足为点E。
(1) 求cos∠ABE的值。
(2) 连接AE,求四边形AEBC的面积。
(1) 求cos∠ABE的值。
(2) 连接AE,求四边形AEBC的面积。
答案
13.(1) 由题意可得 $AC = 6$, $BC = 8$, $AB = 10$。因为 $∠ ACB = 90°$, $D$ 是 $AB$ 中点, 所以 $CD = BD$, 所以 $∠ CBA = ∠ BCD$。又因为 $∠ ACB = ∠ E = 90°$, 所以 $△ ABC ∽ △ BCE$, 所以 $\frac{AC}{BE} = \frac{AB}{BC} = \frac{BC}{CE}$, 所以 $BE = \frac{24}{5}$, $CE = \frac{32}{5}$, 所以 $DE = CE - CD = \frac{32}{5} - 5 = \frac{7}{5}$, 所以 $\cos ∠ ABE = \frac{BE}{BD} = \frac{\frac{24}{5}}{5} = \frac{24}{25}$。
(2) 因为 $D$ 是 $AB$ 中点, 所以 $S_{△ ABE} = 2S_{△ BDE} = 2 × \frac{1}{2} × \frac{7}{5} × \frac{24}{5} = \frac{168}{25}$, 所以 $S_{\mathrm{四边形} AEBC} = S_{△ ABE} + S_{△ ABC} = \frac{168}{25} + \frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{768}{25}$。
(2) 因为 $D$ 是 $AB$ 中点, 所以 $S_{△ ABE} = 2S_{△ BDE} = 2 × \frac{1}{2} × \frac{7}{5} × \frac{24}{5} = \frac{168}{25}$, 所以 $S_{\mathrm{四边形} AEBC} = S_{△ ABE} + S_{△ ABC} = \frac{168}{25} + \frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{768}{25}$。
解析
【分析】
(1) 首先在Rt△ABC中，结合sinA的取值和BC的长度求出AB、AC的长度；再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到CD=BD，推出∠CBA=∠BCD，结合两个直角相等证明△ABC∽△BCE，求出BE、CE的长度；最后在Rt△BED中根据余弦的定义即可求出cos∠ABE的值。
(2) 计算四边形AEBC的面积时，可将其拆分为△ABC和△ABE的面积之和，利用D是AB中点的性质，可知△ABE的面积等于2倍△BDE的面积，先算出△BDE的面积即可得到△ABE的面积，再加上△ABC的面积即可得到四边形的总面积。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，已知BC=8，代入得$\frac{8}{AB}=\frac{4}{5}$，解得$AB=10$。
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
∵D是AB中点，∠ACB=90°，
∴$CD=BD=\frac{1}{2}AB=5$，
∴∠CBA=∠BCD。
又
∵∠ACB=∠E=90°，
∴△ABC∽△BCE，
∴$\frac{AC}{BE}=\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CE}$，代入数值得$\frac{6}{BE}=\frac{10}{8}=\frac{8}{CE}$，
解得$BE=\frac{24}{5}$，$CE=\frac{32}{5}$。
∴$DE=CE-CD=\frac{32}{5}-5=\frac{7}{5}$，
在Rt△BED中，$\cos∠ABE=\frac{BE}{BD}=\frac{\frac{24}{5}}{5}=\frac{24}{25}$。
(2)
∵D是AB中点，
∴$S_{△ABE}=2S_{△BDE}$，
$S_{△BDE}=\frac{1}{2}×DE×BE=\frac{1}{2}×\frac{7}{5}×\frac{24}{5}=\frac{84}{25}$，
∴$S_{△ABE}=2×\frac{84}{25}=\frac{168}{25}$。
又$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×6×8=24=\frac{600}{25}$，
∴$S_{四边形AEBC}=S_{△ABE}+S_{△ABC}=\frac{168}{25}+\frac{600}{25}=\frac{768}{25}$。
【答案】
(1) $\frac{24}{25}$；(2) $\frac{768}{25}$
【知识点】
解直角三角形，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题综合考查了直角三角形性质、相似三角形应用、三角函数定义和不规则图形面积计算，解题时需要理清图形中的边角关系，合理转化已知条件，将不规则图形拆分为规则图形计算面积，属于常见的几何综合题型。
【难度系数】
0.6
(1) 首先在Rt△ABC中，结合sinA的取值和BC的长度求出AB、AC的长度；再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到CD=BD，推出∠CBA=∠BCD，结合两个直角相等证明△ABC∽△BCE，求出BE、CE的长度；最后在Rt△BED中根据余弦的定义即可求出cos∠ABE的值。
(2) 计算四边形AEBC的面积时，可将其拆分为△ABC和△ABE的面积之和，利用D是AB中点的性质，可知△ABE的面积等于2倍△BDE的面积，先算出△BDE的面积即可得到△ABE的面积，再加上△ABC的面积即可得到四边形的总面积。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，已知BC=8，代入得$\frac{8}{AB}=\frac{4}{5}$，解得$AB=10$。
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
∵D是AB中点，∠ACB=90°，
∴$CD=BD=\frac{1}{2}AB=5$，
∴∠CBA=∠BCD。
又
∵∠ACB=∠E=90°，
∴△ABC∽△BCE，
∴$\frac{AC}{BE}=\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CE}$，代入数值得$\frac{6}{BE}=\frac{10}{8}=\frac{8}{CE}$，
解得$BE=\frac{24}{5}$，$CE=\frac{32}{5}$。
∴$DE=CE-CD=\frac{32}{5}-5=\frac{7}{5}$，
在Rt△BED中，$\cos∠ABE=\frac{BE}{BD}=\frac{\frac{24}{5}}{5}=\frac{24}{25}$。
(2)
∵D是AB中点，
∴$S_{△ABE}=2S_{△BDE}$，
$S_{△BDE}=\frac{1}{2}×DE×BE=\frac{1}{2}×\frac{7}{5}×\frac{24}{5}=\frac{84}{25}$，
∴$S_{△ABE}=2×\frac{84}{25}=\frac{168}{25}$。
又$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×6×8=24=\frac{600}{25}$，
∴$S_{四边形AEBC}=S_{△ABE}+S_{△ABC}=\frac{168}{25}+\frac{600}{25}=\frac{768}{25}$。
【答案】
(1) $\frac{24}{25}$；(2) $\frac{768}{25}$
【知识点】
解直角三角形，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题综合考查了直角三角形性质、相似三角形应用、三角函数定义和不规则图形面积计算，解题时需要理清图形中的边角关系，合理转化已知条件，将不规则图形拆分为规则图形计算面积，属于常见的几何综合题型。
【难度系数】
0.6
