8.「2026江苏无锡江阴期中，★☆」如图，在$△ ABC$中，$BC＞AB$，$BD$平分$∠ ABC$，下列结论一定正确的是（）


A.$AD+AB=AB+CD$
B.$AB+AC=DB+DC$
C.$AD+AB＜BC+CD$
D.$AB+AC＜DB+DC$

8.C 如图, 在 $BC$ 上截取 $BE=BA$, 连接 $DE$,
$\because BD$ 平分 $∠ ABC$,
$\therefore ∠ ABD= ∠ EBD$,
又$\because BD=BD$,
$\therefore △ ABD≌△ EBD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AD=ED,\therefore AD+AB=ED+BE$,
在 $△ CDE$ 中, $ED＜CE+CD$,
$\therefore AD+AB=ED+BE＜CE+CD+BE=BC+CD$,
即 $AD+AB＜BC+CD$.故选 C.

9.「★☆」如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=41°,则∠ABE的度数为 ()


A.121°
B.131°
C.141°
D.151°

9.B 如图, 找 $G,H$ 两点, 连接 $GD,CG,BH,HE,BD$,
由题意得, $GD=HE=1,CG=BH=4$,
$∠ CGD = ∠ BHE = 90°,\therefore △ CGD≌△ BHE(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ GCD=∠ HBE$,
$\because CG// BD,\therefore ∠ CAB=∠ ABD$,
$\because ∠ CFB$ 是 $△ ACF$ 的一个外角,
$\therefore ∠ CFB=∠ CAB+∠ GCD=41°$,
$\therefore ∠ ABD+∠ HBE=41°$,
$\because ∠ DBH=90°$,
$\therefore ∠ ABE=∠ ABD+∠ DBH+∠ HBE=90°+41°=131°.$

10.「2026 江苏南京理工附中月考，★☆」如图,在$△ PAB$中,$∠ A=∠ B$,$M,N,K$分别是$PA,PB,AB$上的点,且$AM=BK$,$BN=AK$.若$∠ MKN=40°$,则$∠ P$的度数为________.

10.答案 $100°$
解析 在 $△ AMK$ 和 $△ BKN$ 中,
$\begin{cases} AM=BK, \\ ∠ A=∠ B, \\ AK=BN, \end{cases}$
$\therefore △ AMK≌△ BKN(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ AMK=∠ BKN$,
$\because ∠ A+∠ AMK=∠ MKB=∠ MKN+∠ BKN$,
$\therefore ∠ A=∠ MKN=40°$,
又$\because ∠ A=∠ B,\therefore ∠ P=180°-∠ A-∠ B=100°.$

11.「2026陕西延安月考，★☆」如图,在$△ ABC$和$△ ADE$中,$∠ BAC = ∠ DAE = 90°$,$AB = AC$,$AD = AE$,$C$,$D$,$E$三点在同一条直线上,连接$BD$,$BE$.以下四个结论:①$BD = CE$;②$BD ⊥ CE$;③$∠ ADB = ∠ AEC$;④$BE = AD + AB$.其中结论正确的有(填序号).

11.答案 $\boldsymbol {①②③}$
解析 $\because ∠ BAC = ∠ DAE = 90°,\therefore ∠ BAC+∠ DAC = ∠ DAE+∠ DAC$, 即 $∠ BAD = ∠ CAE$,
在 $△ ABD$ 和 $△ ACE$ 中,
$\begin{cases} AD=AE, \\ ∠ BAD=∠ CAE, \\ AB=AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE \ (\mathrm{SAS}),\therefore BD = CE, ∠ ABD = ∠ ACE, ∠ ADB = ∠ AEC$, 故①③正确.
如图, 已知$∠ 1+∠ 2+∠ BAC=180°=∠ 4+∠ 3+∠ BDC$,
$\because ∠ 1=∠ 4,∠ 2=∠ 3,\therefore ∠ BDC=∠ BAC=90°$,
$\therefore BD ⊥ CE$, 故②正确.
$\because B,A,E$ 三点不一定在同一条直线上,
$\therefore BE≤ AB+AE=AB+AD$, 故④不正确.
综上, ①②③正确.

12. 核心素养 推理能力 聚焦 中考 过程性学习 「2026天津红桥期中」在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$是射线$CB$上一动点（不与点$B$，$C$重合），以$AD$为一边在$AD$的右侧作$△ ADE$，使$AD=AE$，$∠ DAE = ∠ BAC$，连接$CE$.
(1)如图，当$∠ BAC = 90°$，点$D$在线段$CB$上时，探究$BD$与$CE$的数量关系和位置关系，并说明理由.
(2)设$∠ BAC = α$，$∠ DCE = β$.
①如图，当点$D$在线段$CB$上，$∠ BAC ≠ 90°$时，请探究$α$与$β$之间的数量关系，并证明你的结论.
②如图，当点$D$在线段$CB$的延长线上，且$∠ BAC ≠ 90°$时，请将图3补充完整，并直接写出此时$α$与$β$之间的数量关系为.

12.解析 (1)$BD=CE,BD⊥ CE$.理由如下:
$\because ∠ DAE = ∠ BAC = 90°, AB = AC,\therefore ∠ ACB = ∠ B = 45°, ∠ BAD = 90°-∠ CAD = ∠ CAE$,
在 $△ ABD$ 和 $△ ACE$ 中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAD=∠ CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS}),\therefore BD=CE,∠ ACE=∠ B=45°$,
$\therefore ∠ BCE=∠ ACB+∠ ACE=90°,\therefore BD ⊥ CE.$
(2)①$\boldsymbol α+β=180°$.
证明: 同(1)可得 $△ ABD≌△ ACE,\therefore ∠ ADB=∠ AEC$,
$\because ∠ ADB+∠ ADC=180°,\therefore ∠ AEC+∠ ADC=180°$,
$\because$ 四边形 $ADCE$ 的内角和为 $360°,\therefore ∠ DAE+∠ DCE=180°,\because ∠ DAE=∠ BAC=α,∠ DCE=β,\therefore α+β=180°.$
②补全图形, 如图所示,
$\because ∠ DAE = ∠ BAC,\therefore ∠ DAE - ∠ BAE = ∠ BAC - ∠ BAE$, 即 $∠ BAD = ∠ CAE$,
在 $△ ABD$ 和 $△ ACE$ 中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAD=∠ CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ ABD=∠ ACE$,
$\because ∠ ABD = ∠ ACB + ∠ BAC, ∠ ACE = ∠ ACB + ∠ DCE$,
$\therefore ∠ BAC=∠ DCE$, 即 $α=β$.故答案为 $α=β.$