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21.如果一个三角形的三边长分别为$a,b,c$,记$p=\frac{a+b+c}{2}$,那么这个三角形的面积为$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.这个公式叫“海伦公式”,它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式.
如图,在$△ ABC$中,$a=8,b=7,c=9$.
(1)求$p$的值;
(2)求$△ ABC$的面积;
(3)过点$A$作$AD⊥ BC$,垂足为$D$,求线段$CD$的长.
如图,在$△ ABC$中,$a=8,b=7,c=9$.
(1)求$p$的值;
(2)求$△ ABC$的面积;
(3)过点$A$作$AD⊥ BC$,垂足为$D$,求线段$CD$的长.
答案
21.解:(1)$\because a=8,b=7,c=9$，
$\therefore p=\frac{8+7+9}{2}=12$.
(2)$S_{△ ABC}=\sqrt{12×(12-8)×(12-7)×(12-9)}$
$=\sqrt{12×4×5×3}$
$=12\sqrt{5}$.
(3)$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC·AD$
$\therefore \frac{1}{2}×8×AD=12\sqrt{5}$.
$\therefore AD=3\sqrt{5}$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$AC=7,AD=3\sqrt{5}$，
$\therefore CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{49-45}=2$.
$\therefore p=\frac{8+7+9}{2}=12$.
(2)$S_{△ ABC}=\sqrt{12×(12-8)×(12-7)×(12-9)}$
$=\sqrt{12×4×5×3}$
$=12\sqrt{5}$.
(3)$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC·AD$
$\therefore \frac{1}{2}×8×AD=12\sqrt{5}$.
$\therefore AD=3\sqrt{5}$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$AC=7,AD=3\sqrt{5}$，
$\therefore CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{49-45}=2$.
