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12 设$M=2a^2+2a+1$，$N=3a^2-2a+7$，其中$a$为实数，则$M$与$N$的大小关系是 （
A.$M≥ N$
B.$M＞N$
C.$N≥ M$
D.$N＞M$
D
）A.$M≥ N$
B.$M＞N$
C.$N≥ M$
D.$N＞M$
答案
12. D
解析
【分析】
比较两个代数式的大小，常用作差法：先计算两个代数式的差，再通过变形判断差的正负性，若差＞0，则被减数大；若差＜0，则减数大；若差=0，则两者相等。本题我们可以计算N与M的差，利用完全平方公式将差配方，再结合平方的非负性判断差的正负，即可得出M、N的大小关系。
【解析】
采用作差法比较大小：
计算$N - M$，代入代数式得：
$\begin{aligned}N-M&=(3a^2 - 2a + 7)-(2a^2 + 2a + 1)\\&=3a^2 - 2a + 7 - 2a^2 - 2a - 1\\&=a^2 -4a +6\end{aligned}$
对结果配方，构造完全平方式：
$a^2 -4a +6 = (a^2 -4a +4) + 2 = (a-2)^2 + 2$
∵ $a$为实数，根据平方的非负性，$(a-2)^2 ≥ 0$
∴ $(a-2)^2 + 2 ≥ 0 + 2 = 2 ＞ 0$，即$N-M＞0$
∴ $N ＞ M$
【答案】
D
【知识点】
作差法比较大小、完全平方公式、非负数的性质
【点评】
本题考查整式大小比较的常用方法，解题的核心是掌握作差法的步骤，能熟练运用完全平方公式对多项式进行配方，结合非负数的性质判断差的符号。
【难度系数】
0.7
比较两个代数式的大小，常用作差法：先计算两个代数式的差，再通过变形判断差的正负性，若差＞0，则被减数大；若差＜0，则减数大；若差=0，则两者相等。本题我们可以计算N与M的差，利用完全平方公式将差配方，再结合平方的非负性判断差的正负，即可得出M、N的大小关系。
【解析】
采用作差法比较大小：
计算$N - M$，代入代数式得：
$\begin{aligned}N-M&=(3a^2 - 2a + 7)-(2a^2 + 2a + 1)\\&=3a^2 - 2a + 7 - 2a^2 - 2a - 1\\&=a^2 -4a +6\end{aligned}$
对结果配方，构造完全平方式：
$a^2 -4a +6 = (a^2 -4a +4) + 2 = (a-2)^2 + 2$
∵ $a$为实数，根据平方的非负性，$(a-2)^2 ≥ 0$
∴ $(a-2)^2 + 2 ≥ 0 + 2 = 2 ＞ 0$，即$N-M＞0$
∴ $N ＞ M$
【答案】
D
【知识点】
作差法比较大小、完全平方公式、非负数的性质
【点评】
本题考查整式大小比较的常用方法，解题的核心是掌握作差法的步骤，能熟练运用完全平方公式对多项式进行配方，结合非负数的性质判断差的符号。
【难度系数】
0.7
13（2025 南京玄武期末）比较大小：$\sqrt{7}-2$
＜
1.（填“＞”“＜”或“=”）答案
13. ＜
解析
【分析】
要比较$\sqrt{7}-2$和1的大小，可先通过夹逼法估算出$\sqrt{7}$的取值范围，再根据不等式的基本性质，对$\sqrt{7}$的范围同时减2，得到$\sqrt{7}-2$的取值范围，最后和1对比即可得出结果。
【解析】
解：
∵$4＜7＜9$，
∴$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，
不等式两边同时减2，不等号方向不变，可得：
$2-2＜\sqrt{7}-2＜3-2$，
即$0＜\sqrt{7}-2＜1$，
∴$\sqrt{7}-2＜1$。
【答案】
＜
【知识点】
无理数的估算，实数大小比较，不等式的基本性质
【点评】
本题是比较含无理数的代数式大小的基础题，解题核心是用夹逼法确定无理数的整数范围，再结合不等式性质推导所求代数式的范围，即可快速比较大小。
【难度系数】
0.8
要比较$\sqrt{7}-2$和1的大小，可先通过夹逼法估算出$\sqrt{7}$的取值范围，再根据不等式的基本性质，对$\sqrt{7}$的范围同时减2，得到$\sqrt{7}-2$的取值范围，最后和1对比即可得出结果。
【解析】
解：
∵$4＜7＜9$，
∴$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，
不等式两边同时减2，不等号方向不变，可得：
$2-2＜\sqrt{7}-2＜3-2$，
即$0＜\sqrt{7}-2＜1$，
∴$\sqrt{7}-2＜1$。
【答案】
＜
【知识点】
无理数的估算，实数大小比较，不等式的基本性质
【点评】
本题是比较含无理数的代数式大小的基础题，解题核心是用夹逼法确定无理数的整数范围，再结合不等式性质推导所求代数式的范围，即可快速比较大小。
【难度系数】
0.8
14（2025南京期末）比较大小：$\sqrt{3}+\sqrt{6}$
＞
3.（填“＞”“＜”或“=”）答案
14. ＞
解析
【分析】
要比较两个正数的大小，可利用“对于正数a、b，若a²＞b²，则a＞b”的平方法求解。本题中$\sqrt{3}+\sqrt{6}$和3都是正数，因此先分别计算二者的平方，再通过比较平方的大小，即可反推出原数的大小关系。
【解析】
解：$\because \sqrt{3}+\sqrt{6}＞0$，$3＞0$
分别计算二者的平方：
$(\sqrt{3}+\sqrt{6})^2=(\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2$
$=3 + 2\sqrt{18} + 6$
$=9 + 2\sqrt{18}$
$3^2=9$
$\because \sqrt{18}＞0$，$\therefore 9 + 2\sqrt{18} ＞9$，即$(\sqrt{3}+\sqrt{6})^2 ＞ 3^2$
$\therefore \sqrt{3}+\sqrt{6} ＞ 3$
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较，二次根式运算，完全平方公式
【点评】
本题是实数比较大小的基础题，平方法是比较含二次根式的正数大小的常用技巧，解题时要注意二次根式的运算规则，保证展开和计算准确。
【难度系数】
0.8
要比较两个正数的大小，可利用“对于正数a、b，若a²＞b²，则a＞b”的平方法求解。本题中$\sqrt{3}+\sqrt{6}$和3都是正数，因此先分别计算二者的平方，再通过比较平方的大小，即可反推出原数的大小关系。
【解析】
解：$\because \sqrt{3}+\sqrt{6}＞0$，$3＞0$
分别计算二者的平方：
$(\sqrt{3}+\sqrt{6})^2=(\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2$
$=3 + 2\sqrt{18} + 6$
$=9 + 2\sqrt{18}$
$3^2=9$
$\because \sqrt{18}＞0$，$\therefore 9 + 2\sqrt{18} ＞9$，即$(\sqrt{3}+\sqrt{6})^2 ＞ 3^2$
$\therefore \sqrt{3}+\sqrt{6} ＞ 3$
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较，二次根式运算，完全平方公式
【点评】
本题是实数比较大小的基础题，平方法是比较含二次根式的正数大小的常用技巧，解题时要注意二次根式的运算规则，保证展开和计算准确。
【难度系数】
0.8
15（2025高邮期末）比较$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$与$\frac{1}{2}$的大小.
答案
15. 解:因为$\frac{\sqrt{5}-2}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}-3}{2}＜0$,所以$\frac{\sqrt{5}-2}{2}＜\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
比较两个实数大小可优先采用作差法：将两个数相减，通过判断差的正负即可确定两数的大小关系。本题中两个数分母相同，作差计算更简便；接下来判断差的符号时，可借助算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根越大，估算出$\sqrt{5}$的范围，进而判断差的正负，最终得出大小结论。
【解析】
解：采用作差法比较两数大小：
$\frac{\sqrt{5}-2}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}-2-1}{2}=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$
∵$5＜9$，根据被开方数越大算术平方根越大，可得$\sqrt{5}＜\sqrt{9}=3$
∴$\sqrt{5}-3＜0$，则$\frac{\sqrt{5}-3}{2}＜0$，即$\frac{\sqrt{5}-2}{2}-\frac{1}{2}＜0$
因此$\frac{\sqrt{5}-2}{2}＜\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-2}{2}＜\frac{1}{2}$
【知识点】
作差法比较大小，无理数的估算
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，作差法是比较实数大小的核心常用方法，解题关键是正确估算无理数的取值范围，进而判断差的正负，熟练掌握该方法可为后续代数式大小比较类题目打好基础。
【难度系数】
0.8
比较两个实数大小可优先采用作差法：将两个数相减，通过判断差的正负即可确定两数的大小关系。本题中两个数分母相同，作差计算更简便；接下来判断差的符号时，可借助算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根越大，估算出$\sqrt{5}$的范围，进而判断差的正负，最终得出大小结论。
【解析】
解：采用作差法比较两数大小：
$\frac{\sqrt{5}-2}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}-2-1}{2}=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$
∵$5＜9$，根据被开方数越大算术平方根越大，可得$\sqrt{5}＜\sqrt{9}=3$
∴$\sqrt{5}-3＜0$，则$\frac{\sqrt{5}-3}{2}＜0$，即$\frac{\sqrt{5}-2}{2}-\frac{1}{2}＜0$
因此$\frac{\sqrt{5}-2}{2}＜\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-2}{2}＜\frac{1}{2}$
【知识点】
作差法比较大小，无理数的估算
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，作差法是比较实数大小的核心常用方法，解题关键是正确估算无理数的取值范围，进而判断差的正负，熟练掌握该方法可为后续代数式大小比较类题目打好基础。
【难度系数】
0.8
16 比较大小：$-\dfrac{1}{3}$
＞
$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.（填“＞”“＜”或“=”）答案
16. ＞
解析
【分析】
要比较两个负数的大小，依据“两个负数相比较，绝对值大的数反而小”的规则求解即可。解题步骤分为三步：第一步分别计算两个数的绝对值；第二步比较两个绝对值的大小，其中含无理数的绝对值可以通过估算平方根的近似值判断大小；第三步根据负数比较大小的规则推导原数的大小关系。
【解析】
解：根据两个负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，解题如下：
1. 计算两个数的绝对值：
$\left| -\dfrac{1}{3} \right| = \dfrac{1}{3} \approx 0.333$
$\left| -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right| = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx \dfrac{1.414}{2} \approx 0.707$
2. 比较绝对值的大小：
因为$0.333 ＜ 0.707$，所以$\dfrac{1}{3} ＜ \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
3. 推导原数大小：
根据负数比较大小的规则，绝对值更小的负数更大，因此$-\dfrac{1}{3} ＞ -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
【答案】
＞
【知识点】
负数比较大小；实数大小比较；无理数估算
【点评】
本题是基础类题目，核心考查负数比较大小的法则，解题时注意不要混淆正数、负数比较大小的逻辑，通过估算无理数的近似值可快速辅助判断大小。
【难度系数】
0.8
要比较两个负数的大小，依据“两个负数相比较，绝对值大的数反而小”的规则求解即可。解题步骤分为三步：第一步分别计算两个数的绝对值；第二步比较两个绝对值的大小，其中含无理数的绝对值可以通过估算平方根的近似值判断大小；第三步根据负数比较大小的规则推导原数的大小关系。
【解析】
解：根据两个负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，解题如下：
1. 计算两个数的绝对值：
$\left| -\dfrac{1}{3} \right| = \dfrac{1}{3} \approx 0.333$
$\left| -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right| = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx \dfrac{1.414}{2} \approx 0.707$
2. 比较绝对值的大小：
因为$0.333 ＜ 0.707$，所以$\dfrac{1}{3} ＜ \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
3. 推导原数大小：
根据负数比较大小的规则，绝对值更小的负数更大，因此$-\dfrac{1}{3} ＞ -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
【答案】
＞
【知识点】
负数比较大小；实数大小比较；无理数估算
【点评】
本题是基础类题目，核心考查负数比较大小的法则，解题时注意不要混淆正数、负数比较大小的逻辑，通过估算无理数的近似值可快速辅助判断大小。
【难度系数】
0.8
17（2025丹阳期中）2，$\sqrt{5}$，$\sqrt[3]{7}$三个数的大小关系中正确的是 （
A.$2＜\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}$
B.$2＜\sqrt[3]{7}＜\sqrt{5}$
C.$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$
D.$\sqrt[3]{7}＜\sqrt{5}＜2$
C
）A.$2＜\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}$
B.$2＜\sqrt[3]{7}＜\sqrt{5}$
C.$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$
D.$\sqrt[3]{7}＜\sqrt{5}＜2$
答案
17. C
解析
【分析】
要比较含有平方根、立方根的正实数的大小，可利用“正数的同次乘方后大小关系不变”的规律，通过乘方去掉根号，转化为整数比较大小。第一步先比较2和$\sqrt{5}$的大小，可将两数同时平方；第二步比较2和$\sqrt[3]{7}$的大小，可将两数同时立方；最后整合两个比较结果即可得出三个数的大小顺序。
【解析】
1. 比较2和$\sqrt{5}$的大小：
两数均为正数，分别平方得：$2^2=4$，$(\sqrt{5})^2=5$，
∵$4＜5$，
∴$2＜\sqrt{5}$。
2. 比较2和$\sqrt[3]{7}$的大小：
两数均为正数，分别立方得：$2^3=8$，$(\sqrt[3]{7})^3=7$，
∵$7＜8$，
∴$\sqrt[3]{7}＜2$。
结合两个结论可得：$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
实数大小比较、乘方比较法、平方根与立方根运算
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，核心是掌握带根号实数的比较技巧，通过同次乘方去根号将陌生的无理数比较转化为熟悉的整数比较，能有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
要比较含有平方根、立方根的正实数的大小，可利用“正数的同次乘方后大小关系不变”的规律，通过乘方去掉根号，转化为整数比较大小。第一步先比较2和$\sqrt{5}$的大小，可将两数同时平方；第二步比较2和$\sqrt[3]{7}$的大小，可将两数同时立方；最后整合两个比较结果即可得出三个数的大小顺序。
【解析】
1. 比较2和$\sqrt{5}$的大小：
两数均为正数，分别平方得：$2^2=4$，$(\sqrt{5})^2=5$，
∵$4＜5$，
∴$2＜\sqrt{5}$。
2. 比较2和$\sqrt[3]{7}$的大小：
两数均为正数，分别立方得：$2^3=8$，$(\sqrt[3]{7})^3=7$，
∵$7＜8$，
∴$\sqrt[3]{7}＜2$。
结合两个结论可得：$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
实数大小比较、乘方比较法、平方根与立方根运算
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，核心是掌握带根号实数的比较技巧，通过同次乘方去根号将陌生的无理数比较转化为熟悉的整数比较，能有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
18（2025 苏州期末）比较大小：$-π$
＞
$-\sqrt{2}-2$.（填“＞”“＜”或“=”）答案
18. ＞
解析
【分析】
要比较两个负数的大小，依据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”的法则，我们可以先分别求出两个数的绝对值，通过估算常见无理数的近似值，计算出两个绝对值的大小，再反向推导原负数的大小关系即可。
【解析】
根据负数比较大小的规则：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。
1. 计算两个数的绝对值：
$|-π|=π\approx3.14$，
$|-\sqrt{2}-2|=\sqrt{2}+2$，其中$\sqrt{2}\approx1.414$，因此$\sqrt{2}+2\approx1.414+2=3.414$。
2. 比较绝对值的大小：
因为$3.14＜3.414$，即$π＜\sqrt{2}+2$。
3. 推导原数大小：
根据负数比较大小的法则，绝对值小的负数更大，因此$-π＞-\sqrt{2}-2$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 负数比较大小法则
2. 无理数的估算
【点评】
本题是实数大小比较的常规题型，解题核心是熟练掌握负数比较大小的规则，结合常见无理数的近似值估算即可快速求解，注意不要混淆$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的近似值，也不要记错负数比较大小的反向逻辑。
【难度系数】
0.7
要比较两个负数的大小，依据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”的法则，我们可以先分别求出两个数的绝对值，通过估算常见无理数的近似值，计算出两个绝对值的大小，再反向推导原负数的大小关系即可。
【解析】
根据负数比较大小的规则：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。
1. 计算两个数的绝对值：
$|-π|=π\approx3.14$，
$|-\sqrt{2}-2|=\sqrt{2}+2$，其中$\sqrt{2}\approx1.414$，因此$\sqrt{2}+2\approx1.414+2=3.414$。
2. 比较绝对值的大小：
因为$3.14＜3.414$，即$π＜\sqrt{2}+2$。
3. 推导原数大小：
根据负数比较大小的法则，绝对值小的负数更大，因此$-π＞-\sqrt{2}-2$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 负数比较大小法则
2. 无理数的估算
【点评】
本题是实数大小比较的常规题型，解题核心是熟练掌握负数比较大小的规则，结合常见无理数的近似值估算即可快速求解，注意不要混淆$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的近似值，也不要记错负数比较大小的反向逻辑。
【难度系数】
0.7
19 比较大小：$\sqrt[3]{-25}$
＞
$-3$，$\dfrac{\sqrt{401}-5}{4}$ ＞
$3.75$.（填“＞”“＜”或“=”）答案
19. ＞ ＞
解析
【分析】
比较两个实数大小可根据数的类型选择合适方法：①比较$\sqrt[3]{-25}$和$-3$时，利用立方根的性质，先比较两个数立方的大小，结合负数比较大小“绝对值大的反而小”的规律判断；②比较$\dfrac{\sqrt{401}-5}{4}$和$3.75$时，先将小数转化为同分母分数，只需比较分子大小，再通过估算$\sqrt{401}$的取值范围即可判断。
【解析】
1. 比较$\sqrt[3]{-25}$和$-3$：
计算$-3$的立方得$(-3)^3=-27$，
根据立方根的性质：若$a＞b$，则$\sqrt[3]{a}＞\sqrt[3]{b}$，
因为$-25＞-27$，所以$\sqrt[3]{-25}＞\sqrt[3]{-27}=-3$，第一个空填$＞$。
2. 比较$\dfrac{\sqrt{401}-5}{4}$和$3.75$：
先将$3.75$化为分数：$3.75=\dfrac{15}{4}$，
两个分数分母相同，只需比较分子$\sqrt{401}-5$和$15$的大小，
移项得只需比较$\sqrt{401}$和$20$的大小，
计算得$20^2=400$，因为$401＞400$，所以$\sqrt{401}＞\sqrt{400}=20$，
因此$\sqrt{401}-5＞20-5=15$，可得$\dfrac{\sqrt{401}-5}{4}＞\dfrac{15}{4}=3.75$，第二个空填$＞$。
【答案】
$＞$；$＞$
【知识点】
实数大小比较；立方根的性质；二次根式估算
【点评】
本题考查实数比较大小的常用方法，乘方法（平方、立方）、同分母分数比分子法是解决这类题的常用技巧，熟练掌握无理数的估算和根式的基本性质是解题关键。
【难度系数】
0.8
比较两个实数大小可根据数的类型选择合适方法：①比较$\sqrt[3]{-25}$和$-3$时，利用立方根的性质，先比较两个数立方的大小，结合负数比较大小“绝对值大的反而小”的规律判断；②比较$\dfrac{\sqrt{401}-5}{4}$和$3.75$时，先将小数转化为同分母分数，只需比较分子大小，再通过估算$\sqrt{401}$的取值范围即可判断。
【解析】
1. 比较$\sqrt[3]{-25}$和$-3$：
计算$-3$的立方得$(-3)^3=-27$，
根据立方根的性质：若$a＞b$，则$\sqrt[3]{a}＞\sqrt[3]{b}$，
因为$-25＞-27$，所以$\sqrt[3]{-25}＞\sqrt[3]{-27}=-3$，第一个空填$＞$。
2. 比较$\dfrac{\sqrt{401}-5}{4}$和$3.75$：
先将$3.75$化为分数：$3.75=\dfrac{15}{4}$，
两个分数分母相同，只需比较分子$\sqrt{401}-5$和$15$的大小，
移项得只需比较$\sqrt{401}$和$20$的大小，
计算得$20^2=400$，因为$401＞400$，所以$\sqrt{401}＞\sqrt{400}=20$，
因此$\sqrt{401}-5＞20-5=15$，可得$\dfrac{\sqrt{401}-5}{4}＞\dfrac{15}{4}=3.75$，第二个空填$＞$。
【答案】
$＞$；$＞$
【知识点】
实数大小比较；立方根的性质；二次根式估算
【点评】
本题考查实数比较大小的常用方法，乘方法（平方、立方）、同分母分数比分子法是解决这类题的常用技巧，熟练掌握无理数的估算和根式的基本性质是解题关键。
【难度系数】
0.8
20（2025常州武进期中）若数$m$在数轴上的位置如图所示，则$m,-m,\frac{1}{m},-\frac{1}{m}$这四个数中最小的是（
A.$m$
B.$-m$
C.$\frac{1}{m}$
D.$-\frac{1}{m}$
D
）A.$m$
B.$-m$
C.$\frac{1}{m}$
D.$-\frac{1}{m}$
答案
20. D
解析
【分析】
首先观察数轴，可得出m的取值范围是$0＜m＜1$，要比较$m、-m、\frac{1}{m}、-\frac{1}{m}$的大小，可采用特殊值法：选取一个满足$0＜m＜1$的具体数值代入四个代数式，计算出结果后直接比较大小，即可快速得到最小的数；也可根据不等式的性质分别推导四个数的取值范围，再排序判断最小值。
【解析】
由数轴可知$0＜m＜1$，我们选取符合条件的特殊值，令$m=\frac{1}{2}$：
1. 计算各代数式的值：
$m=\frac{1}{2}$，
$-m=-\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{m}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$，
$-\frac{1}{m}=-\frac{1}{\frac{1}{2}}=-2$；
2. 比较四个数的大小：
$-2＜-\frac{1}{2}＜\frac{1}{2}＜2$，即$-\frac{1}{m}＜-m＜m＜\frac{1}{m}$，因此四个数中最小的是$-\frac{1}{m}$。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用、实数大小比较、倒数的性质
【点评】
本题结合数轴考查实数大小的比较，特殊值法是解决这类选择题的常用简便方法，既降低了推导难度，又能快速得到正确结果，需要熟练掌握这种解题技巧。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴，可得出m的取值范围是$0＜m＜1$，要比较$m、-m、\frac{1}{m}、-\frac{1}{m}$的大小，可采用特殊值法：选取一个满足$0＜m＜1$的具体数值代入四个代数式，计算出结果后直接比较大小，即可快速得到最小的数；也可根据不等式的性质分别推导四个数的取值范围，再排序判断最小值。
【解析】
由数轴可知$0＜m＜1$，我们选取符合条件的特殊值，令$m=\frac{1}{2}$：
1. 计算各代数式的值：
$m=\frac{1}{2}$，
$-m=-\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{m}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$，
$-\frac{1}{m}=-\frac{1}{\frac{1}{2}}=-2$；
2. 比较四个数的大小：
$-2＜-\frac{1}{2}＜\frac{1}{2}＜2$，即$-\frac{1}{m}＜-m＜m＜\frac{1}{m}$，因此四个数中最小的是$-\frac{1}{m}$。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用、实数大小比较、倒数的性质
【点评】
本题结合数轴考查实数大小的比较，特殊值法是解决这类选择题的常用简便方法，既降低了推导难度，又能快速得到正确结果，需要熟练掌握这种解题技巧。
【难度系数】
0.7
21 (2025昆山期末)若$0＜a＜1$,则下列四个不等式中正确的是 (
A.$\sqrt{a}＜1＜\frac{1}{\sqrt{a}}$
B.$\sqrt{a}＜\frac{1}{\sqrt{a}}＜1$
C.$\frac{1}{\sqrt{a}}＜\sqrt{a}＜1$
D.$1＜\frac{1}{\sqrt{a}}＜\sqrt{a}$
A
)A.$\sqrt{a}＜1＜\frac{1}{\sqrt{a}}$
B.$\sqrt{a}＜\frac{1}{\sqrt{a}}＜1$
C.$\frac{1}{\sqrt{a}}＜\sqrt{a}＜1$
D.$1＜\frac{1}{\sqrt{a}}＜\sqrt{a}$
答案
21. A
解析
【分析】
本题是已知a的取值范围，比较三个含a的式子的大小，可通过两种思路解题：1. 特殊值法：对于取值范围确定的选择题，可选取一个满足0＜a＜1的具体数值代入三个式子计算，再比较结果大小，方法简便快捷；2. 性质推导法：利用算术平方根的性质和不等式的性质，先推导$\sqrt{a}$和1的大小关系，再推导$\frac{1}{\sqrt{a}}$和1的大小关系，最终完成排序。
【解析】
方法一：特殊值法
取符合$0＜a＜1$的特殊值，例如令$a=0.25$，
计算得：$\sqrt{a}=\sqrt{0.25}=0.5$，$\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1}{0.5}=2$，
比较大小可得：$0.5＜1＜2$，即$\sqrt{a}＜1＜\frac{1}{\sqrt{a}}$，对应选项A。
方法二：性质推导法
已知$0＜a＜1$，
根据算术平方根的性质，不等式两边同时开算术平方根，不等号方向不变，可得$0＜\sqrt{a}＜1$；
因为$\sqrt{a}$是正数，对不等式$\sqrt{a}＜1$两边同时取倒数，不等号方向改变，可得$\frac{1}{\sqrt{a}}＞1$；
综上可得大小关系为$\sqrt{a}＜1＜\frac{1}{\sqrt{a}}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
实数大小比较，算术平方根的性质，不等式的性质
【点评】
本题是比较实数大小的基础题型，特殊值法是解决这类范围确定的选择题的常用技巧，能大幅提升解题效率；也可通过不等式相关性质推导得出结论，需熟练掌握0到1之间的正数开平方、取倒数后的大小变化规律。
【难度系数】
0.8
本题是已知a的取值范围，比较三个含a的式子的大小，可通过两种思路解题：1. 特殊值法：对于取值范围确定的选择题，可选取一个满足0＜a＜1的具体数值代入三个式子计算，再比较结果大小，方法简便快捷；2. 性质推导法：利用算术平方根的性质和不等式的性质，先推导$\sqrt{a}$和1的大小关系，再推导$\frac{1}{\sqrt{a}}$和1的大小关系，最终完成排序。
【解析】
方法一：特殊值法
取符合$0＜a＜1$的特殊值，例如令$a=0.25$，
计算得：$\sqrt{a}=\sqrt{0.25}=0.5$，$\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1}{0.5}=2$，
比较大小可得：$0.5＜1＜2$，即$\sqrt{a}＜1＜\frac{1}{\sqrt{a}}$，对应选项A。
方法二：性质推导法
已知$0＜a＜1$，
根据算术平方根的性质，不等式两边同时开算术平方根，不等号方向不变，可得$0＜\sqrt{a}＜1$；
因为$\sqrt{a}$是正数，对不等式$\sqrt{a}＜1$两边同时取倒数，不等号方向改变，可得$\frac{1}{\sqrt{a}}＞1$；
综上可得大小关系为$\sqrt{a}＜1＜\frac{1}{\sqrt{a}}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
实数大小比较，算术平方根的性质，不等式的性质
【点评】
本题是比较实数大小的基础题型，特殊值法是解决这类范围确定的选择题的常用技巧，能大幅提升解题效率；也可通过不等式相关性质推导得出结论，需熟练掌握0到1之间的正数开平方、取倒数后的大小变化规律。
【难度系数】
0.8
22 若$0＜x＜1$，则在$x,\frac{1}{x},\sqrt{x},x^2$中，最小的是
$x^2$
。答案
22. $x^2$
解析
【分析】
本题要求比较0＜x＜1时四个代数式的大小，对于给定取值范围的代数式比较问题，最简便的方法是特殊值代入法：我们可以在0到1的范围内选取一个方便计算的具体数值，分别代入四个代数式算出结果，再比较结果的大小就能快速得出答案；也可以利用0到1之间实数的运算性质：大于0小于1的数，平方后比本身小，开平方后比本身大，倒数大于1，直接推导大小关系。
【解析】
采用特殊值法求解，在0＜x＜1范围内取$x=\frac{1}{4}$（取其他符合范围的数也可）：
1. 分别计算四个代数式的值：
$x=\frac{1}{4}=0.25$
$\frac{1}{x}=1÷\frac{1}{4}=4$
$\sqrt{x}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}=0.5$
$x^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}=0.0625$
2. 比较大小可得：$0.0625＜0.25＜0.5＜4$，即$x^2＜x＜\sqrt{x}＜\frac{1}{x}$
因此四个数中最小的是$x^2$。
【答案】
$x^2$
【知识点】
实数大小比较、特殊值法应用、乘方与开方运算
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，利用特殊值法可以快速、准确地得到答案，是解决限定范围的代数式大小比较问题的常用技巧，熟练掌握该方法能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题要求比较0＜x＜1时四个代数式的大小，对于给定取值范围的代数式比较问题，最简便的方法是特殊值代入法：我们可以在0到1的范围内选取一个方便计算的具体数值，分别代入四个代数式算出结果，再比较结果的大小就能快速得出答案；也可以利用0到1之间实数的运算性质：大于0小于1的数，平方后比本身小，开平方后比本身大，倒数大于1，直接推导大小关系。
【解析】
采用特殊值法求解，在0＜x＜1范围内取$x=\frac{1}{4}$（取其他符合范围的数也可）：
1. 分别计算四个代数式的值：
$x=\frac{1}{4}=0.25$
$\frac{1}{x}=1÷\frac{1}{4}=4$
$\sqrt{x}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}=0.5$
$x^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}=0.0625$
2. 比较大小可得：$0.0625＜0.25＜0.5＜4$，即$x^2＜x＜\sqrt{x}＜\frac{1}{x}$
因此四个数中最小的是$x^2$。
【答案】
$x^2$
【知识点】
实数大小比较、特殊值法应用、乘方与开方运算
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，利用特殊值法可以快速、准确地得到答案，是解决限定范围的代数式大小比较问题的常用技巧，熟练掌握该方法能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
